Operation Manual

Seite 18-58
,
Prognosefehler
Die Regressionskurve von Y auf x ist durch Y = Α + Β⋅x + ε definiert. Bei einer
Menge von n Datenpunkten (x
i
, y
i
) gilt Y
i
= Α + Β⋅x
i
+ ε
I
, (i = 1,2,…,n), mit Y
i
=
unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit dem Mittelwert (Α + Β⋅x
i
) und
der gemeinsamen Varianz σ
2
sowie ε
i
= unabhängige normalverteilte
Zufallsvariablen mit dem Mittelwert Null und der gemeinsamen Varianz σ
2
.
Es sei y
i
= tatsächlicher Datenwert und
^
y
i
= a + b⋅x
i
= Datenprognose der
kleinsten Quadrate. Der Prognosefehler lautet dann: e
i
= y
i
-
^
y
i
= y
i
- (a + b⋅x
i
).
Ein Schätzwert von σ
2
ist der so genannte Standardfehler der Schätzung
Konfidenzintervalle und Hypothesentest bei linearer Regression
Im Folgenden sind einige Konzepte und Gleichungen für statistische
Schlussfolgerungen bei linearer Regression aufgeführt:
• Vertrauensgrenzen für Regressionskoeffizienten:
Für die Steigung (Β): b − (t
n-2,α/2
)⋅s
e
/√S
xx
< Β < b + (t
n-2,α/2
)⋅s
e
/√S
xx
,
Für den Abschnitt (Α):
a − (t
n-2,α/2
)⋅s
e
⋅[(1/n)+⎯x
2
/S
xx
]
1/2
< Α <
a + (t
n-2,α/2
)⋅s
e
⋅[(1/n)+⎯x
2
/S
xx
]
1/2
,
wobei t der Studentschen t-Verteilung mit dem Freiheitsgrad ν = n – 2
entspricht und n die Anzahl der Datenpunkte in der Stichprobe darstellt.
• Hypothesentest für die Steigung Β:
Die Nullhypothese H
0
: Β = Β
0
wird getestet gegen die Alternativhypothese
H
1
: Β≠Β
0
. Die Testkenngröße lautet t
0
= (b -Β
0
)/(s
e
/√S
xx
), wobei t der
Studentschen t-Verteilung mit dem Freiheitsgrad ν = n – 2 entspricht und n
xbya −=
2
x
xy
xx
xy
s
s
S
S
b ==
)1(
2
1
2
/)(
)]([
2
1
22
2
2
1
2
xyy
xxxyyy
i
n
i
ie
rs
n
n
n
SSS
bxay
n
s
−⋅⋅
−
−
=
−
−
=+−
−
=
∑
=