Operation Manual

Seite 18-28
Die obere und untere einseitige Vertrauensgrenze 100 ⋅ (1-α)% für den
Grundgesamtheitsmittelwert μ lautet
X + t
n-1, α/2
⋅S/√n bzw. ⎯X− t
n-1, α/2
⋅S /√n.
Kleine und große Stichproben
Für die Studentsche t-Verteilung gilt, dass sie für n>30 nicht von der
Standardnormalverteilung zu unterscheiden ist. Wenn daher bei Stichproben
mit mehr als 30 Elementen die Grundgesamtheitsvarianz nicht bekannt ist,
können Sie dasselbe Konfidenzintervall wie bei bekannter
Grundgesamtheitsvarianz verwenden, müssen jedoch σ durch S ersetzen.
Stichproben mit n>30 werden üblicherweise als große Stichproben bezeichnet,
andernfalls handelt es sich um kleine Stichproben.
Konfidenzintervall für einen Anteil
Eine diskrete Zufallsvariable X folgt einer Bernoulli-Verteilung, wenn X nur zwei
Werte annehmen kann: X = 0 (Fehlschlag) und X = 1 (Erfolg). Wenn X ~
Bernoulli(p) und p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist, ist der Mittelwert bzw.
Erwartungswert von X gleich E[X] = p, und die Varianz lautet Var[X] = p(1-p).
Wenn ein Experiment mit X n-Mal wiederholt wird und k erfolgreiche
Ergebnisse aufgezeichnet werden, ist der Schätzwert p durch p' = k/n definiert,
und der Standardfehler p' ist σ
p’
= √(p⋅(1-p)/n). In der Praxis wird in der Formel
für den Standardfehler p durch den Stichprobenschätzwert für p, d. h. p',
ersetzt.
Bei einer großen Stichprobe mit n>30, n⋅p>5 und n⋅(1-p)>5 ist die
Stichprobenverteilung nahezu eine Normalverteilung. Daher ist das zentrale
zweiseitige Konfidenzintervall 100(1-α)% für den Grundgesamtheitsmittelwert
(p'+z
α/2
⋅σ
p’
, p'+z
α/2
⋅σ
p’
). Bei einer kleinen Stichprobe (n<30) kann mit (p'-t
n-
1,α/2
⋅σ
p’
,p’+t
n-1,α/2
⋅σ
p’
) ein Schätzwert für das Konfidenzintervall ermittelt
werden.