Operation Manual

Seite 18-27
• Ein oberes einseitiges Konfidenzintervall wird durch Pr[θ < C
u
] = 1 - α
definiert.
• Der Parameter α wird als Signifikanzniveau bezeichnet. Typische Werte für
α sind 0,01, 0,05 und 0,1, die den Konfidenzniveaus 0,99, 0,95 bzw.
0,90 entsprechen.
Konfidenzintervalle für den Grundgesamtheitsmittelwert bei
bekannter Grundgesamtheitsvarianz
X sei der Mittelwert einer Zufallsstichprobe der Größe n, die einer unendlichen
Grundgesamtheit mit der bekannten Standardabweichung σ entnommen wurde.
Das zentrale zweiseitige Konfidenzintervall 100(1-α)% [d. h. 99 %, 95 %,
90 %, usw.] für den Grundgesamtheitsmittelwert μ ist (⎯X−z
α/2
⋅σ/√n , ⎯X+z
α/
2
⋅σ/√n ), wobei z
α/2
eine normalverteilte Zufallsvariable darstellt, die mit der
Wahrscheinlichkeit α/2 überschritten wird. Der Standardfehler des
Stichprobenmittelwertes ⎯X ist ⋅σ/√n.
Die obere und untere einseitige Vertrauensgrenze 100(1-α)% für den
Grundgesamtheitsmittelwert μ lautet X+z
α
⋅σ/√n bzw. ⎯X−z
α
⋅σ/√n. Somit ist ein
unteres einseitiges Konfidenzintervall durch (-∞ , X+z
α
⋅σ/√n) und ein oberes
einseitiges Konfidenzintervall durch (X−z
α
⋅σ/√n,+∞) definiert. Beachten Sie,
dass wir in diesen letzten beiden Konfidenzintervallen nicht den Wert z
α/2
,
sondern z
α
verwenden.
Im Allgemeinen ist der Wert z
k
in der Standardnormalverteilung als der Wert
von z definiert, dessen Überschreitungswahrscheinlichkeit k ist, d. h. Pr[Z>z
k
] =
k oder Pr[Z<z
k
] = 1 – k. Die Normalverteilung wurde in Kapitel 17 erläutert.
Konfidenzintervalle für den Grundgesamtheitsmittelwert bei
unbekannter Grundgesamtheitsvarianz
⎯X und S sei der Mittelwert bzw. die Standardabweichung einer
Zufallsstichprobe der Größe n, die einer unendlichen Grundgesamtheit mit
Normalverteilung und der unbekannten Standardabweichung σ entnommen
wurde. Das zentrale zweiseitige Konfidenzintervall 100 ⋅ (1-α)% [d. h. 99 %,
95 %, 90 %, usw.] für den Grundgesamtheitsmittelwert μ ist (⎯X− t
n-1, α/2
⋅S /
√n , ⎯X+ t
n-1, α/2
⋅S/√n ), wobei t
n-1, α/2
eine Studentsche t-Verteilung mit dem
Freiheitsgrad ν = n-1 und der Überschreitungswahrscheinlichkeit α/2 darstellt.