Operation Manual

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und stellt eine komplexe Funktion dar.
Der Absolutbetrag der reellen und imaginären Teile der Funktion kann wie folgt
gezeichnet werden:
Eigenschaften der Fourier-Transformation
Linearität: Wenn a und b Konstanten sind, und f und g Funktionen, dann ist
F{a⋅f + b⋅g} = a F{f }+ b F{g}.
Transformation partieller Ableitungen Sei u = u(x,t). Wenn die Fourier-
Transformation die Variable x umwandelt, dann gilt:
F{∂u/∂x} = iω F{u},
F{∂
2
u/∂x
2
} = -ω
2
F{u},
F{∂u/∂t} = ∂F{u}/∂t, F{∂
2
u/∂t
2
} = ∂
2
F{u}/∂t
2
Faltung: Für Fourier-Transformations-Anwendungen ist die Faltungsfunktion
definiert als:
Anmerkung:
Der Absolutbetrag der Fourier-Transformation |F(ω)| ist das Frequenzspektrum
der ursprünglichen Funktion f(t). Für das oben angeführte Beispiel gilt |F(ω)| =
1/[2π(1+ω
2
)]
1/2
. Die Zeichnung für |F(ω)| gegen ω wurde vorher gezeigt.
Einige Funktionen, wie konstante Werte, sin x, exp(x), x
2
, etc., haben keine
Fourier-Transformation. Funktionen, die gleich schnell genug gegen Null
gehen, wenn x gegen Unendlich geht, haben Fourier-Transformationen.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅−
+
=
22
11
1
2
1
ω
ω
ω
π
i