Operation Manual

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Fourier-Kosinustransformation
Inverse-Kosinustransformation
Fourier-Transformation (echte)
Inverse Fourier-Transformation (echte)
Beispiel 1
– Bestimmen Sie die Fourier-Transformation der Funktion f(t) = exp(- t)
für t >0 und f(t) = 0 für t<0.
Das kontinuierliche Spektrum F(ω) wird mit dem folgenden Integral berechnet:
Dieses Ergebnis kann durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit der
Konjugierten des Nenners vereinfacht werden, d. h. 1-iω. Das Ergebnis lautet
nun:
∫
∞
−
⋅⋅⋅==
0
1
)sin()()()}({ dttFtfF
s
ωωω F
∫
∞
⋅⋅⋅⋅==
0
)cos()(
2
)()}({ dtttfFtfc ω
π
ω F
∫
∞
−
⋅⋅⋅==
0
1
)cos()()()}({ dttFtfF
c
ωωω F
∫
∞
∞−
−
⋅⋅⋅== dtetfFtf
ti ω
π
ω
)(
2
1
)()}({F
∫
∞
∞−
−−
⋅⋅== dteFtfF
ti ω
ωω )()()}({
1
F
∫∫
+−
∞
∞→
+−
=
ε
ω
ε
ω
ππ
0
)1(
0
)1(
2
1
lim
2
1
dtedte
titi
.
1
1
2
1
1
))1(exp(1
2
1
lim
ω
π
ω
ω
π
ε
ii
ti
+
⋅=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+−−
=
∞→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅=
+
⋅=
ω
ω
ωπωπ
ω
i
i
ii
F
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
)(