Operation Manual

Seite 16-48
wobei
für n =1,2, …
Die Amplitude A
n
wird als das Spektrum der Funktion bezeichnet und ermittelt
die Größenordnung der Komponente von f(x) mit der Frequenz f
n
= n/T. Die
Grund- oder Fundamentalfrequenz in der Fourier-Reihe ist f
0
= 1/T, somit sind
alle anderen Frequenzen Vielfache dieser Grundfrequenz, d.h. f
n
= n⋅f
0.
Wir
können auch eine Winkelfrequenz, ω
n
= 2nπ/T = 2π⋅f
n
= 2π⋅ n⋅f
0
= n⋅ω
0
,
bestimmen, wobei ω
0
die grundlegende oder fundamentale Winkelfrequenz
der Fourier-Reihe ist.
Bei Verwendung der Winkelfrequenz-Notation wird die Fourier-Reihen-
Entwicklung wie folgt geschrieben:
Eine Zeichnung der Werte A
n
gegen ω
n
ist die typische Darstellung eines
diskreten Spektrums für eine Funktion. Das diskrete Spektrum wird zeigen, dass
die Funktion Komponenten bei Winkelfrequenzen ω
n
aufweist, die ganzzahlige
Vielfache der fundamentalen Winkelfrequenz ω
0
sind.
Nehmen wir an, wir müssen eine nicht periodische Funktion in eine Sinus- und
Kosinus-Komponente entwickeln. Eine nicht periodische Funktion kann man sich
als Funktion mit unendlich großer Periode vorstellen. Somit wird für einen sehr
großen Wert von T die fundamentale Winkelfrequenz ω
0
= 2π/T zu einer sehr
kleinen Größe, z. B. Δω. Die Winkelfrequenz, die ω
n
= n⋅ω
0
= n⋅Δω, (n = 1, 2,
…, ∞) entspricht, nimmt dabei auch Werte an, die näher und näher aneinander
∑
∞
=
+⋅+=
1
0
),cos()(
n
nnn
xAaxf φϖ
,tan,
122
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=+=
−
n
n
nnnn
a
b
baA
φ
∑
∞
=
+⋅+=
1
0
).cos()(
n
nnn
xAaxf φω
()
∑
∞
=
⋅+⋅+=
1
0
sincos
n
nnnn
xbxaa ωω