Operation Manual

Seite 16-17
• Grenzwerttheorem für den Anfangswert: Sei F(s) = L{f(t)}, dann gilt:
• Grenzwerttheorem für den endgültigen Wert
: Sei F(s) = L{f(t)}, dann gilt:
Dirac’sche Deltafunktion und Heavisides Schrittfunktion
Bei der Analyse von Kontrollsystemen ist es üblich, eine Funktionsart zu
verwenden, die bestimmte physikalische Vorfälle, wie die plötzliche Aktivierung
eines Schalters (Heavisides Schrittfunktion, H(t)) oder eine plötzliche,
momentane Spitze im Eingang eines Systems (Dirac’sche Deltafunktion δ(t))
darstellen. Sie sind Teil einer Klasse von Funktionen, die als generalisierte oder
symbolische Funktionen bekannt sind [als Beispiel siehe Friedman, B., 1956,
Principles and Techniques of Applied Mathematics, Dover Publications Inc.,
New York (1990 Nachdruck)].
Die formale Definition der Dirac’schen Deltafunktion
δ(x) ist δ(x) = 0 für x ≠0
und
Wenn f(x) eine kontinuierliche Funktion ist, dann gilt:!
Eine Interpretation für das oben genannte Integral nach Friedman (1990) ist,
dass die Funktion δ den Wert der Funktion f(x) bei x = x
0
. „herausgreift“. Die
Dirac’sche Deltafunktion ist typischerweise von einem Aufwärtspfeil beim Punkt
x = x0 gekennzeichnet der anzeigt, dass die Funktion einen „Nicht-Null“-Wert
nur bei diesem speziellen Wert von x
0
hat.
Heavisides Schrittfunktion
, H(x), wird definiert als:
)].([lim)(lim
0
0
sFstff
st
⋅==
∞→→
)].([lim)(lim
0
sFstff
st
⋅==
→∞→
∞
∫
∞
−∞
= .0.1)( dxx δ
∫
∞
−∞
=− ).()()(
00
xfdxxxxf δ