Operation Manual

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wobei cC0, cC1, und cC2 Integrationskonstanten sind. Dieses Ergebnis scheint
sehr kompliziert zu sein, kann aber vereinfacht werden durch Verwendung von
K1 = (10*cC0-(7+cC1-cC2))/40, K2 = -(6*cC0-(cC1+cC2))/24,
und
K3 = (15*cC0+(2*cC1-cC2))/15.
Die Lösung lautet dann:
y = K
1
⋅e
–3x
+ K
2
⋅e
5x
+ K
3
⋅e
2x
.
Der Grund für die komplizierte Kombination von Konstanten in der Lösung des
LDEC ist, dass LDEC für die Errechnung der Lösung intern Laplace-
Transformationen verwendet (später in diesem Kapitel behandelt), welche die
Lösung einer ODE in eine algebraische Lösung umwandeln. Die Kombination
von Konstanten ist auf die Ausklammerung der Exponentialterme, nach Erhalt
der Lösung für die Laplace-Transformation, zurückzuführen.
Beispiel 2
– Mithilfe der Funktion LDEC werden nicht-homogene ODEs gelöst:
d
3
y/dx
3
-4⋅(d
2
y/dx
2
)-11⋅(dy/dx)+30⋅y = x
2
.
Geben Sie Folgendes ein:
'X^2' ` 'X^3-4*X^2-11*X+30' ` LDEC μ
Die Lösung, die hier teilweise im EquationWriter angezeigt wird, lautet:
Wenn Sie die Kombination der Konstanten, welche die Exponentialterme
begleiten, mit einfachen Werten ersetzen, kann der Ausdruck vereinfacht
werden zu: y = K
1
⋅e
–3x
+ K
2
⋅e
5x
+ K
3
⋅e
2x
+ (450⋅x
2
+330⋅x+241)/13500.
Wir erkennen die ersten drei Terme als allgemeine Lösung der homogenen
Gleichung (siehe Bsp. 1 oben). Wenn y
h
die Lösung für die homogene
Gleichung darstellt, d.h. y
h
= K
1
⋅e
–3x
+ K
2
⋅e
5x
+ K
3
⋅e
2x
, können Sie beweisen,
dass die verbleibenden Terme in der oben angeführten Lösung, d.h. y
p
=
(450⋅x
2
+330⋅x+241)/13500 eine spezielle Lösung der ODE darstellen.