Operation Manual

Seite 14-10
Jacobimatrix einer Koordinatentransformation
Betrachten Sie die Koordinatentransformation x = x(u,v), y = y(u,v). Die
Jacobimatrix dieser Transformation wird definiert als
Wenn Sie mit dieser Transformation ein Integral berechnen, lautet der zu
verwendende Ausdruck ,
wobei R' der durch die Koordinaten (u,v) angegebene Bereich R ist.
Doppeltes Integral in Polarkoordinaten
Zur Transformation von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten
verwenden wir x(r,θ) = r cos θ und y(r, θ) = r sin θ. Somit lautet die Jacobimatrix
der Transformation
Bei diesem Ergebnis werden Integrale in Polarkoordinaten als
geschrieben, wobei der Bereich R' in Polarkoordinaten R’ = {α < θ < β, f(θ) < r
< g(θ)} lautet.
Doppelte Integrale in Polarkoordinaten können in den Taschenrechner
eingegeben werden, wenn sichergestellt wird, dass die Jacobimatrix |J| = r im
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
==
v
y
u
y
v
x
u
x
JJ det)det(||
∫∫∫∫
=
'
||)],(),,([),(
RR
dudvJvuyvuxdydxyx φφ
r
θrθ
θrθ
θ
y
r
y
θ
x
r
x
J =
⋅
⋅−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
)cos()sin(
)sin()cos(
||
∫∫∫∫
=
β
α
φφ
)(
)(
'
),(),(
θg
θf
R
rdrdθθrdAθr