Operation Manual

Seite 14-6
Der Punkt (x
o
,y
o
) ist ein relatives Maximum, wenn ∂
2
f/∂x
2
< 0, oder ein relatives
Minimum, wenn ∂
2
f/∂x
2
> 0. Der Wert Δ wird als Diskriminante bezeichnet.
Wenn Δ = (∂
2
f/∂x
2
)⋅(∂
2
f/∂y
2
)-[∂
2
f/∂x∂y]
2
< 0, liegt eine als Sattelpunkt
bezeichnete Bedingung vor, wobei die Funktion bei x ein Maximum erreicht,
wenn y als Konstante beibehalten wird, während gleichzeitig ein Minimum
erreicht wird, wenn x als Konstante beibehalten wird, oder umgekehrt.
Beispiel 1 – Bestimmen Sie die Extrempunkte (sofern vorhanden) der Funktion
f(X,Y) = X
3
-3X-Y
2
+5. Wir definieren zunächst die Funktion f(X/Y) und ihre
Ableitungen fX(X,Y) = ∂f/∂X, fY(X,Y) = ∂f/∂Y. Anschließend lösen wir
gleichzeitig die Gleichungen fX(X,Y) = 0 und fY(X,Y) = 0:
Wir finden kritische Punkte bei (X,Y) = (1,0) und (X,Y) = (-1,0). Zum Berechnen
der Diskriminante berechnen wir die zweiten Ableitungen fXX(X,Y) = ∂
2
f/∂X
2
,
fXY(X,Y) = ∂
2
f/∂X/∂Y und fYY(X,Y) = ∂
2
f/∂Y
2
.
Das letzte Ergebnis gibt an, dass die Diskriminante Δ = -12X lautet. Für (X,Y) =
(1,0) ist daher Δ<0 (Sattelpunkt) und für (X,Y) = (-1,0) ist Δ>0 und ∂
2
f/∂X
2
<0
(relatives Maximum). Die unten dargestellte, vom Taschenrechner erzeugte und
mit dem Computer bearbeitete Abbildung veranschaulicht diese beiden Punkte: