Operation Manual

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Das Ergebnis wird durch d1y(t)⋅d2z(x(t),y(t))+d1x(t)⋅d1z(x(y),y(t)) ausgegeben.
Der Ausdruck d1y(t) bedeutet „die Ableitung von y(t) für die erste unabhängige
Variable, d. h. t“ oder d1y(t) = dy/dt. Entsprechend ist d1x(t) = dx/dt.
Andererseits bedeutet d1z(x(t),y(t)) „die erste Ableitung von z(x,y) für die erste
unabhängige Variable, d. h. x“ oder d1z(x(t),y(t)) = ∂z/∂x. Entsprechend ist
d2z(x(t),y(t)) = ∂z/∂y. Daher muss der obige Ausdruck folgendermaßen
interpretiert werden:
dz/dt = (dy/dt)
⋅(∂z/∂y) + (dx/dt)⋅(∂z/∂x).
Eine andere Variante der Kettenregel wird angewendet, wenn z = f(x,y), x =
x(u,v), y = y(u,v), sodass z = f[x(u,v), y(u,v)]. Die folgenden Formeln stellen die
Kettenregel für diesen Fall dar:
Bestimmen der Extremwerte von Funktionen mit zwei Variablen
Damit die Funktion z = f(x,y) bei (x
o
,y
o
) einen Extrempunkt (Extremwert)
aufweist, müssen ihre Ableitungen ∂f/∂x und ∂f/∂y an diesem Punkt
verschwinden. Dies sind die notwendigen Bedingungen. Die hinreichenden
Bedingungen dafür, dass die Funktion am Punkt (x
o
,y
o
) einen Extremwert
aufweist, sind ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0 und Δ = (∂
2
f/∂x
2
)⋅(∂
2
f/∂y
2
)-[∂
2
f/∂x∂y]
2
> 0.
Totales Differenzial einer Funktion z = z(x,y)
Wenn wir die letzte Gleichung mit dt multiplizieren, erhalten wir das totale Dif-
ferenzial der Funktion z = z(x,y), d. h. dz = (∂z/∂x)⋅dx + (∂z/∂y)⋅dy.
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
,