Operation Manual

Seite 13-26
Wenn x
0
gleich Null ist, wird die Reihe als MacLaurin-Reihe bezeichnet, d. h.
Taylor-Polynom und Rest
In der Realität können nicht alle Glieder einer unendlichen Reihe berechnet
werden. Stattdessen berechnen wir mit einem Polynom der Ordnung k, P
k
(x)
einen Näherungswert für die Reihe und schätzen die Ordnung eines Residuums
R
k
(x), sodass
,
d. h.
Das Polynom P
k
(x) wird als Taylor-Polynom bezeichnet. Die Ordnung des
Residuums wird als eine kleine Größe h = x-x
0
geschätzt, d. h., das Polynom
wird bei einem Wert von x berechnet, der sehr nah an x
0
liegt. Das Residuum
wird durch
,
angegeben, wobei ξ eine Zahl nahe x = x
0
ist. Da ξ im Gegensatz zu einem
Schätzwert für das Residuum normalerweise nicht bekannt ist, geben wir einen
Schätzwert für die Ordnung des Residuums in Bezug auf h an, d. h., wir sagen,
dass R
k
(x) einen Fehler der Ordnung h
n+1
aufweist, oder R ≈ O(h
k+1
). Wenn h
eine kleine Zahl ist, z. B. h<<1, ist h
k+1
in der Regel sehr klein, d. h.
h
k+1
<<h
k
<< …<< h << 1. Je größer daher für x nahe x
0
die Zahl der Elemente
im Taylor-Polynom ist, desto niedriger ist die Ordnung des Residuums.
∑
∞
=
⋅=
0
)(
!
)0(
)(
n
n
n
x
n
f
xf
∑∑
∞
+==
−⋅+−⋅=
1
)(
0
)(
)(
!
)(
)(
!
)(
)(
kn
n
o
o
n
k
n
n
o
o
n
xx
n
xf
xx
n
xf
xf
).()()( xRxPxf
kk
+=
1
)1(
!
)(
)(
+
+
⋅=
k
k
k
h
k
f
xR
ξ