Operation Manual

Seite 13-21
Partielle Integration und Differenziale
Ein Differenzial einer Funktion y = f(x) ist als dy = f'(x) dx definiert, wobei f'(x)
die Ableitung von f(x) ist. Differenziale werden für die Darstellung kleiner
Inkremente in den Variablen verwendet. Das Differenzial eines Produkts zweier
Funktionen y = u(x)v(x) wird durch dy = u(x)dv(x) + du(x)v(x) oder einfach durch
d(uv) = udv - vdu angegeben. Somit wird das Integral von udv = d(uv) - vdu als
geschrieben. Da gemäß der Definition eines
Differenzials ∫dy = y ist, schreiben wir den vorherigen Ausdruck als
.
Diese, als partielle Integration bezeichnete Formel kann zum Bestimmen eines
Integrals verwendet werden, wenn dv auf einfache Weise integriert werden
kann. Beispielsweise kann das Integral ∫xe
x
dx durch partielle Integration
bestimmt werden, wenn wir u = x, dv = e
x
dx verwenden, da v = e
x
. Wenn du =
dx ist, lautet das Integral ∫xe
x
dx = ∫udv = uv - ∫vdu = xe
x
- ∫e
x
dx = xe
x
- e
x
.
Der Taschenrechner enthält im Menü CALC/DERIV&INTG die Funktion IBP, die
als Argumente die ursprüngliche zu integrierende Funktion, also u(X)*v'(X), und
die Funktion v(X) benötigt und u(X)*v(X) sowie -v(X)*u’(X) zurückgibt. Mit
anderen Worten, die Funktion IBP gibt die beiden Ausdrücke auf der rechten
Seite der Gleichung der partiellen Integration zurück. Für das oben verwendete
Beispiel können wir im ALG-Modus Folgendes schreiben:
∫∫∫
−= vduuvdudv )(
∫∫
−= vduuvudv