Operation Manual

Seite 11-56
Orthogonalmatrizen und Singulärwertzerlegung
Eine quadratische Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spalten Einheitsvektoren
darstellen, die zueinander orthogonal sind. Die Matrix U = [v
1
v
2
… v
n
] mit
den Spaltenvektoren v
i
, i = 1, 2, …, n und der Eigenschaft v
i
•
v
j
= δ
ij
, wobei δ
ij
die Kronecker-Deltafunktion darstellt, ist daher eine Orthogonalmatrix. Aus
diesen Bedingungen folgt außerdem, dass U⋅ U
T
= I.
Die Singulärwertzerlegung (SVD) einer rechteckigen Matrix A
m×n
erfolgt daher
durch Bestimmung der Matrizen U, S und V, sodass A
m×n
= U
m×m
⋅S
m×n
⋅V
T
n×n
, wobei U und V Orthogonalmatrizen sind und S eine Diagonalmatrix ist.
Die diagonalen Elemente von S werden als Singulärwerte
von A bezeichnet
und sind in der Regel so angeordnet, dass für i = 1, 2, …, n-1 gilt, dass s
i
≥
s
i+1
. Die Spalten [u
j
] von U und [v
j
] von V sind die entsprechenden
Singulärvektoren
.
Funktion SVD
Im RPN-Modus ist der Eingabewert für die Funktion SVD (Singular Value
Decomposition, Singulärwertzerlegung) eine Matrix A
n×m
. Die Funktion gibt auf
den Ebenen 3, 2 bzw. 1 des Stacks die Matrizen U
n×n
und V
m×m
sowie einen
Vektor s zurück. Die Dimension des Vektors s ist gleich dem Minimum der
beiden Werte n bzw. m. Die Matrizen U und V entsprechen der bereits
erläuterten Definition für die Singulärwertzerlegung, während der Vektor s die
Hauptdiagonale der bereits eingeführten Matrix S darstellt.
Beispielsweise ergibt die folgende Eingabe im RPN-Modus: [[5,4,-
1],[2,-3,5],[7,2,8]] SVD
3: [[-0,27 0,81 –0,53][-0,37 –0,59 –0,72][-0,89 3,09E-3 0,46]]
2: [[ -0,68 –0,14 –0,72][ 0,42 0,73 –0,54][-0,60 0,67 0,44]]
1: [ 12,15 6,88 1,42]