Operation Manual

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Wert in einer Spalte zu verwenden. In diesen Fällen vertauschen wir Zeilen vor
der Anwendung der Zeilenoperationen. Dieses Vertauschen von Zeilen wird als
Teilpivotisierung
bezeichnet. Zum Befolgen dieser Empfehlung müssen häufig
Zeilen in der erweiterten Matrix vertauscht werden, wenn eine Gauß- oder
Gauß-Jordan-Elimination durchgeführt wird.
Bei der Pivotisierung während einer Matrixelimination können Sie die
numerische Lösung noch weiter vereinfachen, indem Sie das Element mit dem
größten absoluten Wert in der betreffenden Spalte bzw. Zeile als Pivot-Element
auswählen. Dies erfordert möglicherweise, dass bei einigen
Pivotisierungsoperationen nicht nur Zeilen, sondern auch Spalten vertauscht
werden. Wenn bei der Pivotisierung Zeilen- und Spaltentausch zulässig ist, wird
dieses Verfahren als Totalpivotisierung
bezeichnet.
Beim Vertauschen von Zeilen und Spalten bei der Teil- bzw. Totalpivotisierung ist
es erforderlich, die Tauschvorgänge aufzuzeichnen, da hierbei die Anordnung
der Unbekannten in der Lösung geändert wird. Eine Möglichkeit zum
Aufzeichnen der Spaltentauschvorgänge bei der Teil- bzw. Totalpivotisierung
besteht darin, zu Beginn des Verfahrens eine Permutationsmatrix
P = I
n×n
zu
erstellen. Jeder in der erweiterten Matrix A
aug
erforderliche Zeilen- oder
Spaltentausch wird auch in der Permutationsmatrix als Zeilen- bzw.
Spaltentausch registriert. Wenn die Lösung ermittelt wurde, multiplizieren wir
die Permutationsmatrix mit dem Vektor der Unbekannten x, um die richtige
Anordnung der Unbekannten in der Lösung zu erhalten. Mit anderen Worten,
die endgültige Lösung ist durch P⋅x = b’ definiert, wobei b’ die letzte Spalte in
der erweiterten Matrix darstellt, nachdem die Lösung ermittelt wurde.
Beispiel für Gauß-Jordan-Elimination mit Totalpivotisierung
Die Totalpivotisierung wird anhand eines Beispiels veranschaulicht. Lösen Sie
das folgende Gleichungssystem unter Verwendung von Totalpivotisierung und
Gauß-Jordan-Elimination:
X + 2Y + 3Z = 2,
2X + 3Z = -1,
8X +16Y- Z = 41.
Die erweiterte Matrix und die Permutationsmatrix lauten wie folgt: