Operation Manual

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Gleichung einer Ebene im Raum
Nehmen wir an, dass wir einen Punkt P
0
(x
0
,y
0
,z
0
) im Raum haben und einen
Vektor N = N
x
i+N
y
j+N
z
k senkrecht (normal) zu einer Ebene, welche den Punkt
P
0
enthält. Unser Problem ist es, die Gleichung für diese Ebene zu finden. Wir
können einen Vektor mit dem Startpunkt P
0
und dem Endpunkt P(x,y,z), ein
willkürlicher Punkt auf dieser Ebene, erstellen. Somit ist dieser Vektor r = P
0
P =
(x-x
0
)i+ (y-y
0
)j + (z-z
0
)k senkrecht zu dem normalen Vektor N, da r sich
vollständig in der Ebene befindet. Wir haben gesehen, dass für zwei
zueinander senkrechte Vektoren N und r, N•r =0 ist. Somit können wir dieses
Ergebnis zur Ermittlung der Gleichung der Ebene verwenden.
Um diesen Ansatz zu veranschaulichen, nehmen wir an, der Punkt P
0
ist P
0
(2,3,-
1) und der Normalvektor N = 4i+6j+2k, dann können wir den Vektor N und
den Punkt P
0
als zwei Vektoren, wie unten gezeigt, eingeben. Als Letztes geben
wir noch den Vektor [x,y,z] ein:
Dann berechnen wir den Vektor P
0
P = r als ANS(1) – ANS(2), d. h.
Schließlich nehmen wir das Skalarprodukt von ANS(1) und ANS(4) und setzen
dies gleich Null, um die Operation N•r =0 zu vervollständigen: