Operation Manual

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• Vielfachheit der Nullstellen oder Pole: die Anzahl des Auftretens einer
Nullstelle, z. B. hat P(X) = (X+1)
2
(X-3) die Nullstellen {-1, 3} mit den
Vielfachheiten {2,1}
• Kreisteilungs-Polynom (P
n
(X)): ein Polynom des Grades EULER(n), dessen
Nullstellen die primitiven n-ten Wurzeln von Eins sind, z. B. P
2
(X) = X+1,
P
4
(X) = X
2
+1
• Bézouts Polynomgleichung: A(X) U(X) + B(X)V(X) = C(X)
Nachstehend finden Sie spezifische Anwendungsbeispiele von Polynomen.
Modulare Arithmetik mit Polynomen
Auf die gleiche Art, wie wir einen endlichen arithmetischen Ring für Zahlen in
einem vorangegangenen Abschnitt definiert haben, können wir auch einen
endlichen arithmetischen Ring für Polynome mit einem gegebenen Polynom als
Modul definieren. So können wir z. B. ein bestimmtes Polynom P(X) als P(X) = X
(mod X
2
) definieren oder ein anderes Polynom als Q(X) = X + 1 (mod X-2).
Ein Polynom P(X) ist Teil eines arithmetischen Ringes von Polynomen des Moduls
M(X), wenn es ein drittes Polynom Q(X) gibt, und zwar so, dass (P(X) – Q(X)) ein
Vielfaches von M(X) darstellt. Dann würden wir schreiben: P(X)
≡ Q(X) (mod
M(X)). Letzterer Ausdruck wird als “P(X) ist kongruent mit Q(X) modulo M(X)”
interpretiert.
Die Funktion CHINREM
CHINREM steht für CHINese REMainder (Chinesischer Restesatz). Die in
diesem Befehl kodierte Operation löst ein System von Kongruenten unter
Anwendung des Chinesischen Restesatz-Theorems . Dieser Befehl kann mit
Polynomen (wie auch mit Integer-Zahlen, Funktion ICHINREM) verwendet
werden. Die Eingabe besteht aus zwei Vektoren [Ausdruck_1, Modulo_1] und
[Ausdruck_2, Modulo_2]. Die Ausgabe ist ein Vektor [Ausdruck_3, Modulo_3],
wobei Modulo_3 aus dem Produkt (Modulo_1)
⋅ (Modulo_2) ermittelt wird.
Beispiel: CHINREM([X+1, X^2-1],[X+1,X^2]) = [X+1,-(X^4-X^2)]
Aussage des Chinesische Restsatz-Theorems für Ganzzahlen
Wenn m
1
, m
2
,…,m
r
paarweise teilerfremde natürliche Zahlen und a
1
, a
2
, …,
a
r
beliebige Integer-Zahlen sind, dann gibt es genau eine Integer-Zahl x, welche
gleichzeitig die folgenden Kongruenzen erfüllt: x
≡ a
1
(mod m
1
), x ≡ a
2
(mod