Operation Manual

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Die Multiplikation erfolgt nach der Regel, dass wenn j ⋅ k > n ( wobei j ⋅ k = m ⋅ n +
r und m und r positive Integer-Zahlen kleiner als n darstellen), dann ist j
⋅ k ≡ r
(mod n). Das Produkt von j mal k in Modul n-Arithmetik ist im Grunde
genommen der Ganzzahlrest von j
⋅ k/n in der unendlichen Arithmetik, wenn
j
⋅ k>n. So gilt z. B. in Modul 12-Arithmetik 7 ⋅ 3 = 21 = 12 + 9, (oder 7 ⋅ 3/12 =
21/12 = 1 + 9/12, d. h., der Ganzzahlrest von 21/12 ist 9). Wir können nun
7
⋅ 3 ≡ 9 (mod 12) schreiben und das letzte Ergebnis wie folgt lesen: "sieben
mal drei ist kongruent zu neun, Modul zwölf".
Der Divisionsvorgang kann wie folgt über die Multiplikation definiert werden: r/
k
≡ j (mod n), wenn j ⋅ k ≡ r (mod n). Das bedeutet, dass r den Restwert von j ⋅ k/
n darstellen muss. So gilt z. B. 9/7
≡ 3 (mod 12), weil 7⋅3 ≡ 9 (mod 12)
darstellt. Einige Divisionen sind in der modularen Arithmetik nicht erlaubt. So
können Sie z. B. in Modul-12-Arithmetik 5/6 (mod 12) nicht definieren, weil die
Multiplikationstabelle von 6 das Ergebnis 5 in Modul-12-Arithmetik nicht
anzeigt. Nachfolgend die Multiplikationstabelle:
Formale Definition eines endlichen arithmetischen Ringes
Der Ausdruck a
≡ b (mod n) wird als "a ist kongruent zu b, Modulo n"
interpretiert und gilt, wenn (b-a) ein Vielfaches von n ist. Anhand dieser
Definition werden die arithmetischen Regeln wie folgt vereinfacht:
Wenn a
≡ b (mod n) und c ≡ d (mod n),
dann
a+c
≡ b+d (mod n),
a-c
≡ b - d (mod n),
a
×c ≡ b×d (mod n).
Für die Division befolgen Sie die zuvor beschriebenen Regeln. Z. B. ist 17
≡ 5
(mod 6) und 21
≡ 3 (mod 6). Unter Verwendung dieser Regeln können wir
schreiben:
6*0 (mod 12) 0 6*6 (mod 12) 0
6*1 (mod 12) 6 6*7 (mod 12) 6
6*2 (mod 12) 0 6*8 (mod 12) 0
6*3 (mod 12) 6 6*9 (mod 12) 6
6*4 (mod 12) 0 6*10 (mod 12) 0
6*5 (mod 12) 6 6*11 (mod 12) 6