Operation Manual

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Kapitel 4
Berechnungen mit komplexen Zahlen
In diesem Kapitel finden Sie Beispiele zur Berechnung und Anwendungen von
Funktionen mit komplexen Zahlen.
Definitionen
Eine komplexe Zahl z ist eine als z = x + iy geschriebene Zahl, wobei x und y
reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit, definiert durch i
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= -1 darstellt.
Die Zahl x+iy hat einen reellen Teil x = Re(z) und einen imaginären Teil y =
Im(z). Wir können uns eine komplexe Zahl als ein Punkt P(x,y) in der x-y-Ebene
vorstellen, wobei die x-Achse als reelle Achse und die y-Achse als die
imaginäre Achse bezeichnet wird. Somit wird die Schreibweise einer
komplexen Zahl in Form von x+iy als Kartesische Darstellung bezeichnet. Eine
alternative Kartesische Darstellung ist das geordnete Paar z = (x,y). Die polare
Darstellung einer komplexen Zahl lautet z = re
i θ
= r ⋅ cos θ + i r ⋅ sin θ , wobei r =
|z| =der Betrag der komplexen Zahl z ist, und
θ = Arg(z) =
arctan(y/x) das Argument der komplexen Zahl z darstellt. Das Verhältnis
zwischen der Kartesischen und der polaren Darstellung einer komplexen Zahl
ergibt sich aus der Euler Formel: e
i θ
= cos θ + i sin θ. Die konjugiert komplexe
Zahl einer komplexen Zahl z = x + iy = re
i θ
, ist ⎯ z = x – iy = re
-i θ
. Die konjugiert
komplexe Zahl von i kann als Spiegelung von z an der reellen (x) Achse
betrachtet werden. Ähnlich kann die Negative von z, –z = -x-iy = - re
i θ
, als die
Spiegelung von z am Ursprung betrachtet werden.
Einstellen des Taschenrechners auf den COMPLEX-Modus
Bei der Arbeit mit komplexen Zahlen ist es von Vorteil, den Taschenrechner in
den Komplex-Modus umzustellen. Verwenden Sie dazu die Tastenfolge
H)@@CAS@ ˜˜™ @@CHK@@ .
Der COMPLEX Modus wird in der CAS MODES Anzeige ausgewählt, indem
die Option _Complex mit einem Häkchen versehen wird, d. h.
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yx +