Operation Manual

Blz. 18-52
Stel dat y
i
= werkelijke gegevenswaarde,
^
y
i
= a + b⋅x
i
= kleinste-
kwadraatvoorspelling van de gegevens. Dan is de voorspellingsfout: e
i
= y
i
-
^
y
i
= y
i
- (a + b⋅x
i
).
Een schatting van σ
2
is de zogenaamde standaard schattingsfout
Betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetoetsing in lineaire
regressie
Hier volgen enkele concepten en vergelijkingen met betrekking tot statistische
inferentie voor lineaire regressie:
• Betrouwbaarheidsgrenzen voor regressiecoëfficiënten:
Voor de richtingscoëffiënt (Β): b − (t
n-2,α/2
)⋅s
e
/√S
xx
< Β < b + (t
n-2,α/
2
)⋅s
e
/√S
xx
,
Voor het snijpunt (Α):
a − (t
n-2,α/2
)⋅s
e
⋅[(1/n)+⎯x
2
/S
xx
]
1/2
< Α < a + (t
n-2,α/2
)⋅s
e
⋅[(1/n)+⎯x
2
/
S
xx
]
1/2
, waarbij t de Student-t-verdeling volgt met ν = n – 2,
vrijheidsgraden, en n staat voor het aantal punten in de steekproef.
• Hypothesetoetsing op de richtingscoëffiënt, Β:
Nulhypothese, H
0
: Β = Β
0
, getoetst tegen de alternatieve hypothese, H
1
: Β
≠Β
0
. De teststatistiek is t
0
= (b -Β
0
)/(s
e
/√S
xx
), waarbij t de Student-t-
verdeling volgt met ν = n – 2, vrijheidsgraden, en n staat voor het aantal
punten in de steekproef. De toets wordt uitgevoerd als die van een
hypothesetoetsing voor een gemiddelde waarde, dus met het
significantieniveau α, bepalen we de kritieke waarden van t, t
α/2
, daarna
verwerpen we H
0
als t
0
> t
α/2
of als t
0
< - t
α/2
.
Als u toetst voor de waarde Β
0
= 0 en nu blijkt dat de toets voorstelt dat u
de nulhypothese, H
0
: Β = 0 niet verwerpt, dan wordt de geldigheid van
een lineaire regressie in twijfel getrokken. De steekproefgegevens
ondersteunen de veronderstelling Β≠ 0 dus niet. Daarom is dit een toets
van de significantie van het regressiemodel.
• Hypothesetoetsing op het snijpunt, Α:
)1(
2
1
2
/)(
)]([
2
1
22
2
2
1
2
xyy
xxxyyy
i
n
i
ie
rs
n
n
n
SSS
bxay
n
s
−⋅⋅
−
−
=
−
−
=+−
−
=
∑
=