Operation Manual

Blz. 18-23
bepaald waarschijnlijkheidsniveau. De eindpunten van het interval noemen we
betrouwbaarheidsgrenzen en het interval (a,b) noemen we het
betrouwbaarheidsinterval.
Definities
Stel dat (C
l
,C
u
) een betrouwbaarheidsinterval is met een onbekende parameter
θ.
• Het betrouwbaarheidsniveau of de betrouwbaarheidscoëfficiënt is de
hoeveelheid (1-α), waarbij 0 < α < 1, zodat P[C
l
< θ < C
u
] = 1 - α, waarbij
P[ ] staat voor een kans (zie hoofdstuk 17). De vorige uitdrukking definieert
de zogenaamde tweezijdige betrouwbaarheidsgrens.
• Een lager eenzijdig betrouwbaarheidsinterval wordt gedefinieerd als Pr[C
l
< θ] = 1 - α.
• Een hoger eenzijdig betrouwbaarheidsinterval wordt gedefinieerd als Pr[θ
< C
u
] = 1 - α.
• De parameter α staat bekend als het significantieniveau. Typische waarden
van α zijn 0.01, 0.05, 0.1, behorende bij de betrouwbaarheidsniveaus
van respectievelijk 0.99, 0.95 en 0.90.
Betrouwbaarheidsintervallen voor het populatiegemiddelde als de
populatievariantie bekend is
Stel dat ⎯X het gemiddelde is van een willekeurige steekproef met de grootte n,
opgemaakt uit een oneindige populatie met bekende standaardafwijking σ.
Het centrale, tweezijdige betrouwbaarheidsinterval 100(1-α) % [dus 99%,
95%, 90%, enz.] voor het populatiegemiddelde μ is (⎯X−z
α/2
⋅σ/√n , ⎯X+z
α/
2
⋅σ/√n ), waarbij z
α/2
een standaard normale variabele is die wordt
overschreden met een waarschijnlijkheid van α /2. De standaardfout van het
steekproefgemiddelde, ⎯X, is ⋅σ/√n.
De eenzijdige bovenste en onderste 100(1-α) % betrouwbaarheidsgrenzen
voor het populatiegemiddelde μ zijn respectievelijk X+z
α
⋅σ/√n en ⎯X−z
α
⋅σ/√n.
Een onderste, eenzijdige betrouwbaarheidsinterval wordt gedefinieerd als (-∞ ,
X+z
α
⋅σ/√n) en een bovenste, eenzijdige betrouwbaarheidsinterval als (X−z
α
⋅σ/
√n,+∞). U ziet dat we in de laatste twee intervallen de waarde z
α
, en niet z
α/2
hebben gebruikt.
Over het algemeen wordt de waarde z
k
in de standaard normale verdeling
gedefinieerd als de waarde van z waarvan de kans op overschrijding k is, dus