Operation Manual

Blz. 16-24
Voorbeeld 3 – Bepaal de oplossing voor de vergelijking d
2
y/dt
2
+y = H(t-3),
waarbij H(t) Heaviside’s stap functie is. Met de Laplace-transformatie kunnen
we L{d
2
y/dt
2
+y} = L{H(t-3)}, L{d
2
y/dt
2
} + L{y(t)} = L{H(t-3)} schrijven. De laatste
term in de uitdrukking is: L{Η(t-3)} = (1/s)⋅e
–3s
. Met Y(s) = L{y(t)} en L{d
2
y/dt
2
}
= s
2
⋅Y(s) - s⋅y
o
– y
1
, waarbij y
o
= h(0) en y
1
= h’(0), is de getransformeerde
vergelijking s
2
⋅Y(s) – s⋅y
o
– y
1
+ Y(s) = (1/s)⋅e
–3s
. Wijzig indien nodig de CAS-
modus in Exact. Gebruik de rekenmachine om Y(s) op te lossen door het
volgende te schrijven:
‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=(1/X)*EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL
De uitkomst is ‘Y=(X^2*y0+(X*y1+EXP(-3*X)))/(X^3+X)’.
We moeten de inverse Laplace-transformatie als volgt gebruiken om de
oplossing te vinden voor de ODE y(t):
OBJ ƒ ƒ Isoleert de rechterzijde van de laatste uitdrukking
ILAP Geeft de inverse Laplace-transformatie
De uitkomst is ‘y1*SIN(X-1)+y0*COS(X-1)-(COS(X-3)-1)*Heaviside(X-3)’.
We schrijven dus als oplossing: y(t) = y
o
cos t + y
1
sin t + H(t-3)⋅(1+sin(t-3)).
Controleer wat de oplossing voor de ODE zou zijn als we de functie LDEC
hadden gebruikt:
‘H(X-3)’ `[ENTER] ‘X^2+1’ ` LDEC
Het resultaat is:
U ziet dat de variabele X in deze uitdrukking eigenlijk staat voor de variabele t
in de originele ODE en dat de variabele ttt in deze uitdrukking een
dummyvariabele is. We kunnen dat als volgt op papier zetten:
.)3(sinsincos)(
0
1
∫
∞
−
⋅⋅−⋅+⋅+⋅= dueuHttCtCoty
ut