Operation Manual

Blz. 14-5
dz/dt = (dy/dt)⋅(∂z/∂y) + (dx/dt)⋅(∂z/∂x).
Een andere versie van de kettingregel is van toepassing als z = f(x,y), x =
x(u,v), y = y(u,v), dus z = f[x(u,v), y(u,v)]. De volgende formules geven de
kettingregel voor deze situatie aan:
Uiterste waarden in functies van twee variabelen bepalen
Als de functie z = f(x,y) een uiterst punt (extrema) bij (x
o
,y
o
) moet hebben,
moeten de afgeleiden ∂f/∂x en ∂f/∂y op dit punt verdwijnen. Dit zijn
noodzakelijke voorwaarden. De toereikende voorwaarden waarbij de functie
uiterste waarden bij punt (x
o
,y
o
) heeft, zijn ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0 en Δ = (∂
2
f/
∂x
2
)⋅ (∂
2
f/∂y
2
)-[∂
2
f/∂x∂y]
2
> 0. Het punt (x
o
,y
o
) is een relatief maximum als ∂
2
f/
∂x
2
< 0, of een relatief minimum als ∂
2
f/∂x
2
> 0. De waarde Δ wordt gezien als
de discriminant.
Als Δ = (∂
2
f/∂x
2
)⋅ (∂
2
f/∂y
2
)-[∂
2
f/∂x∂y]
2
< 0 bestaat er een voorwaarde die we
een zadelpunt noemen, waarbij de functie een maximum in x bereikt als we y
constant houden, terwijl we een minimum krijgen als we x constant houden, of
andersom.
Voorbeeld 1 – Bepaal de uiterste waarden (als deze er zijn) van de functie
f(X,Y) = X
3
-3X-Y
2
+5. We definiëren eerst de functie f(X,Y) en de afgeleiden
fX(X,Y) = ∂f/∂X, fY(X,Y) = ∂f/∂Y. Daarna lossen we de vergelijkingen fX(X,Y) =
0 en fY(X,Y) = 0 tegelijkertijd op:
Differentiaaltotale van een functie z = z(x,y)
Uit de laatste vergelijking, als we vermenigvuldigen met dt, krijgen we de dif-
ferentiaaltotale van de functie z = z(x,y), dus dz = (∂z/∂x)⋅dx + (∂z/∂y)⋅dy.
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
,