Operation Manual

Blz. 13-24
waarbij f
(n)
(x) de n-de afgeleide van f(x) weergeeft met betrekking tot x, f
(0)
(x) =
f(x).
Indien de waarde x
0
nul is, wordt de reeks een Maclaurin-reeks genoemd,
d.w.z.
Taylorpolynoom en geheugensteun
In de praktijk kunnen we niet alle termen in een oneindige reeks evalueren, in
plaats daarvan benaderen we de reeks met een polynoom van de orde k, P
k
(x)
en schatten we de orde van een restterm R
k
(x), zodat
,
d.w.z.
De polynoom P
k
(x) noemen we een Taylorpolynoom. De orde van de restterm
wordt geschat met betrekking tot een kleine hoeveelheid h = x-x
0
, d.w.z. de
polynoom evalueren bij een waarde van x die heel dicht bij x
0
ligt. De restterm,
indien gegeven door
,
waarbij ξ een getal dichtbij x = x
0
is. Omdat ξ gewoonlijk onbekend is, geven
we in plaats van een schatting van de restterm, een schatting van de orde van
de restterm ten opzichte van h, d.w.z. we zeggen dat R
k
(x) een fout heeft van
de orde h
n+1
of R ≈ O(h
k+1
). Als h een klein getal is, bijv. h<<1, dan is h
k+1
gewoonlijk erg klein, d.w.z. h
k+1
<<h
k
<< …<< h << 1. Daarom geldt voor x
dichtbij x
0
, hoe groter het aantal elementen in de Taylorpolynoom, hoe kleiner
de orde van de restterm.
∑
∞
=
⋅=
0
)(
!
)0(
)(
n
n
n
x
n
f
xf
∑∑
∞
+==
−⋅+−⋅=
1
)(
0
)(
)(
!
)(
)(
!
)(
)(
kn
n
o
o
n
k
n
n
o
o
n
xx
n
xf
xx
n
xf
xf
).()()( xRxPxf
kk
+=
1
)1(
!
)(
)(
+
+
⋅=
k
k
k
h
k
f
xR
ξ