hp 49g+ calculadora gráfica guia do usuário H Edição 4 Número de peça HP F2228-90010
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Prefácio Você tem em suas mãos um computador numérico e simbólico compacto que facilitará o cálculo e a análise matemática de problemas em uma variedade de disciplinas; de matemática elementar, engenharia avançada e assuntos científicos. Embora mencionada como uma calculadora por causa de seu formato compacto similar aos dispositivos de cálculo manuais típicos, a hp 49g+ deve ser vista como um computador programável/gráfico.
calculadora. Para as operações simbólicas a calculadora inclui um sistema algébrico de computador (CAS) poderoso, que permite selecionar diferentes modos de operação, ex. números complexos e reais ou exatos, (simbólicos) e modo aproximado (numérico). O visor pode ser ajustado para fornecer expressões similares à dos livros, que podem ser úteis para trabalhar com as matrizes, vetores, frações, adições, derivadas e integrais.
Índice Capítulo 1 - Introdução, 1-1 Operações básicas, 1-1 Baterias, 1-1 Ligar e desligar a calculadora , 1-2 Ajustar o contraste do visor, 1-2 Conteúdo do visor da calculadora, 1-2 Menus, 1-4 Menu SOFT e CHOOSE boxes, 1-4 Selecionar os menus SOFT ou CHOOSE boxes, 1-5 O menu TOOL, 1-7 Configurar a hora e a data, 1-7 Apresentação do teclado da calculadora, 1-11 Selecionar os modos da calculadora, 1-13 Modo de operação, 1-13 Formato de número e ponto ou vírgula decimal, 1-18 Medida de ângulo, 1-23 Sistema de
Editar expressões algébricas , 2-9 Usar o Editor de Equação (EQW) para criar expressões, 2-11 Criar expressões aritméticas, 2-12 Editar expressões aritméticas, 2-17 Criar expressões algébricas, 2-20 Editar expressões algébricas, 2-22 Criar e editar somatórios, derivadas e integrais, 2-30 Organizar dados na calculadora, 2-34 Funções para manipular variáveis, 2-35 O diretório HOME, 2-36 O subdiretório CASDIR, 2-36 Digitar diretórios e nomes das variáveis, 2-39 Criar subdiretórios, 2-40 Mover através dos sub-d
A função inversa, 3-3 Adição, subtração, multiplicação e divisão, 3-3 Usar parênteses, 3-4 Função de valor absoluto (módulo), 3-4 Quadrados e raízes quadradas, 3-5 Potências e raízes, 3-5 Logaritmos de base 10 e potência de 10, 3-5 Usar as potências de 10 ao inserir dados, 3-6 Logaritmos naturais e funções exponenciais, 3-6 Funções trigonométricas, 3-6 Funções trigonométricas inversas, 3-6 Diferenças entre funções e operadores, 3-7 Funções com números reais no menu MTH, 3-8 Funções hiperbólicas e suas inver
Capítulo 4 - Cálculos com números complexos, 4-1 Definições, 4-1 Configurar a calculadora para modo COMPLEX, 4-1 Inserir números complexos, 4-2 A representação polar de um número complexo, 4-3 Operações simples com números complexos, 4-4 Alterar o sinal de um número complexo, 4-5 Inserir o número imaginário da unidade, 4-5 O menu CMPLX, 4-5 Menu CMPLX através do menu MTH, 4-6 Menu CMPLX no teclado, 4-8 Funções aplicadas a números complexos, 4-8 Funções do menu MTH, 4-9 Função DROITE: equação de uma linha re
FACTORS, 5-10 LGCD, 5-10 PROPFRAC, 5-10 SIMP2, 5-11 Menu INTEGER, 5-11 Menu POLYNOMIAL, 5-11 Menu MODULO, 5-12 Aplicações do menu ARITHMETIC, 5-13 Aritmética modular, 5-13 Anéis arítméticos finitos na calculadora, 5-15 Polinômios, 5-19 Aritmética modular com polinômios, 5-19 A função CHINREM, 5-20 A função EGCD, 5-20 A função GCD, 5-20 A função HERMITE, 5-21 A função HORNER, 5-21 A variável VX, 5-22 A função LAGRANGE, 5-22 A função LCM, 5-23 A função LEGENDRE, 5-23 A função PCOEF, 5-23 A função PROOT, 5-23
Menu Menu Menu Menu de de de de conversão conversão conversão conversão de de de de UNIDADES, 5-29 BASE, 5-29 TRIGONOMETRICA, 5-29 MATRIZES, 5-29 Menu de conversão REESCREVER , 5-29 Capítulo 6 - Soluções para equações individuais, 6-1 A solução simbólica das equações algébricas, 6-1 Função ISOL, 6-1 Função SOLVE, 6-2 Função SOLVEVX, 6-4 Função ZEROS, 6-5 Menu numerical solver, 6-5 Equações de polinômios, 6-6 Cálculos financeiros, 6-10 Resolver as equações com uma icógnita através de NUM.
Aplicação 1 – Solução de triângulos, 7-10 Aplicação 2 – Velocidade e aceleração nas coordenadas polares, 7-19 Capítulo 8 - Operações com listas, 8-1 Definições, 8-1 Criar e armazenar listas, 8-1 Compor e decompor listas, 8-2 Operações com listas de números, 8-3 Alterar os sinais, 8-3 Adição, subtração, multiplicação e divisão, 8-3 Funções de números reais do teclado, 8-5 Funções de número real no menu MTH, 8-6 Exemplos de funções que usam dois argumentos, 8-6 Lista de números complexos, 8-7 Listas de objet
Armazenar os vetores nas variáveis, 9-3 Usar o Matrix Writer (MTRW) para inserir os vetores, 9-3 Construir um vetor com ARRY, 9-6 Identificar, extrair e inserir os elementos dos vetores, 9-7 Operações simples com os vetores, 9-9 Alterar os sinais, 9-9 Adição e subtração, 9-10 Multiplicação e divisão por uma escalar, 9-10 Função de valor absoluto, 9-10 O menu MTH/VECTOR, 9-11 Magnitude, 9-11 Produto escalar, 9-11 Produto vetorial, 9-12 Decompor um vetor, 9-12 Construir um vetor bidimensional, 9-13 Construir
Digitar na matriz diretamente para a pilha, 10-3 Criar matrizes com as funções da calculadora, 10-4 As funções GET e PUT, 10-6 Funções GETI e PUTI, 10-7 Função SIZE, 10-8 Função TRN, 10-8 Função CON, 10-9 Função IDN, 10-9 Função RDM, 10-10 Função RANM, 10-11 Função SUB, 10-12 Função REPL, 10-12 Função DIAG, 10-13 Função DIAG , 10-13 Função VANDERMONDE, 10-14 Função HILBERT, 10-15 Um programa para construir uma matriz a partir de listas, 10-15 A lista representa as colunas da matriz, 10-16 Listas representa
Adição e subtração, 11-2 Multiplicação, 11-2 Caracterizar uma matriz (O menu NORM da matriz), 11-6 Função ABS, 11-7 Função SNRM, 11-8 Funções RNRM e CNRM, 11-8 Função SRAD, 11-9 Função COND, 11-9 Função RANK, 11-11 Função DET, 11-12 Função TRACE, 11-14 Função TRAN, 11-14 Operações adicionais de matriz (o menu OPER da matriz), 11-14 Função AXL, 11-15 Função AXM, 11-15 Função LCXM, 11-16 Solução de sistemas lineares, 11-17 Usar o solucionador numérico para os sistemas lineares, 11-17 Solução de mínimo quadrad
Função LU, 11-51 Matrizes ortogonais e decomposição de valor singular, 11-51 Função SCHUR, 11-52 Função LQ, 11-53 Função QR, 11-53 Formas quadráticas de matriz, 11-53 O menu QUADF, 11-54 Aplicações lineares, 11-56 Função IMAGE, 11-56 Função ISOM, 11-56 Função KER, 11-57 Função MKISOM, 11-57 Capítulo 12 - Gráficos, 12-1 As opções gráficas na calculadora, 12-1 Plotar uma expresão do formulário y = f(x), 12-2 Algumas operações úteis de PLOT para plotagens de FUNÇÃO, 12-5 Salvar um gráfico para uso podterior,
Campos de inclinação, 12-36 Plotagens Fast 3D, 12-38 Plotagens aramadas, 12-39 Plotagens de Contorno Ps, 12-42 Plotagens de divisão Y, 12-43 Plotagens mapa de grade, 12-45 Plotagens de superfície Pr parametrica, 12-46 A variável VPAR, 12-47 Desenho interativo, 12-47 DOT+ e DOT-, 12-48 MARK, 12-49 LINE, 12-49 TLINE, 12-50 BOX, 12-50 CIRCL, 12-50 LABEL, 12-51 DEL, 12-51 ERASE, 12-51 MENU, 12-51 SUB, 12-51 REPL, 12-51 PICT , 12-52 X,Y , 12-52 Aplicar o zoom de aumento e redução na exibição de gráficos, 12-52 Z
Capítulo 13 - Aplicações de cálculo, 13-1 O menu CALC (Cálculo), 13-1 Limites de derivadas, 13-1 Limite de função, 13-2 Derivadas, 13-3 Funções DERIV e DERVX, 13-3 O menu DERIV&INTEG, 13-4 Calcular as derivadas com ∂, 13-4 A regra de cadeia, 13-6 Derivadas das equações, 13-7 Derivadas implicitas, 13-7 Aplicações das derivadas, 13-8 Analisar os gráficos de funções, 13-8 Função DOMAIN, 13-9 Função TABVAL, 13-10 Função SIGNTAB, 13-10 Função TABVAR, 13-11 Usar as derivadas para calcular os pontos extremos, 13-1
Capítulo 14 - Aplicações de cálculo multivariáveis, 14-1 Funções multivariadas, 14-1 Derivadas parciais, 14-1 Derivadas de ordem superior, 14-3 A regra de cadeia para derivadas parciais, 14-4 Diferencial total de uma função z = z (x,y), 14-5 Determinação extrema nas funções de duas variáveis, 14-5 Usar a função HESS para análise extrema, 14-6 Integrais múltiplas, 14-8 Jacobiana da transformação de coordenada, 14-9 Integrais duplas nas coordenadas polares, 14-9 Capítulo 15 - Aplicações de análise vetorial,
Definições, 16-11 A transformada de Laplace inversa na calculadora, 16-11 Teoremas da transformada de Laplace, 16-13 Função delta de Dirac e de etapa de Heaviside, 16-16 Aplicações da transformada de Laplace na solução de linear ODEs, lineares, 16-18 Série de Fourier, 16-28 Função FOURIER, 16-29 Série Fourier para a função quadrática, 16-30 Série Fourier para uma onda triangular, 16-36 Série Fourier para uma onda quadrada, 16-40 Aplicações da série Fourier nas equações diferenciais, 16-43 Transformadas de F
Função RSBERR, 16-78 Capítulo 17 - Aplicações de probabilidade, 17-1 O submenu MTH/PROBABILITY..
O submenu FIT, 18-19 O submenu SUMS, 18-19 Exemplo de operações de menu STAT, 18-19 Intervalos de confiança, 18-23 Estimativa dos intervalos de confiança, 18-24 Definições, 18-24 Intervalos de confiança para a média de população quando a sua variação for conhecida, 18-25 Intervalos de confiança para a média de população quando a sua variação for desconhecida, 18-25 Intervalo de confiança para um protocolo, 18-26 Distribuições de amostras de diferenças e somas de estatísticas, 1826 Intervalos de confiança pa
Ajuste de polinômio, 18-61 Selecionar o melhor ajuste, 18-65 Capítulo 19 - Números em bases diferentes, 19-1 Definições, 19-1 O menu BASE, 19-1 Funções HEC, DEC, OCT e BIN, 19-2 Conversão entre os sistemas de números, 19-3 Tamanho da palavra, 19-4 Operações com os números inteiros binários, 19-5 O menu LOGIC, 19-5 O menu BIT, 19-6 O menu BYTE, 19-7 Números hexadecimais para referências de pixel, 19-7 Capítulo 20 - Personalizar os menus e teclado, 20-1 Personalizar os menus, 20-1 O menu PRG/MODES/MENU, 20-
Navegar através dos submenus RPN, 21-7 Funções listadas pelo submenu, 21-7 Atalhos no menu PRG, 21-9 Seqüência de teclas para comandos normalmente usados, 21-11 Programas para gerar listas de números, 21-13 Exemplos de programação sequencial, 21-15 Programas gerados pela definição de uma função, 21-15 Programas que simulam uma seqüência de operações de pilha, 21-17 Entrada de dados interativa nos programas, 21-20 Prompt com um texto de entrada, 21-21 Uma função com um texto de entrada, 21-22 Texto de entrad
ERR0, 21-68 LASTARG, 21-68 Submenu IFERR, 21-68 Usuário RPL que programa na modalidade algébrica, 21-69 Capítulo 22 - Programas para manipulação de gráficos, 22-1 O menu PLOT, 22-1 Tecla definida pelo usuário para o menu PLOT, 22-1 Descrição do menu PLOT, 22-2 Gerar as plotagens com o programas, 22-14 Gráficos bidimensionais, 22-15 Gráficos tridimensionais, 22-15 A variável EQ, 22-16 Exemplos de plotagens interativas usando o menu PLOT, 22-16 Exemplos de plotagens geradas por programas, 22-19 Desenhar os c
Um programa para calcular as resistências principais, 22-41 Organizar as variáveis no subdiretório, 22-42 Um segundo exemplo de cálculos de círculo de Mohr, 22-42 Um formulário de entrada para o programa de círculo de Mohr, 22-44 Capítulo 23 - Segmentos de caractere/textos, 23-1 As funções relacionadas com a string no submenu TYPE, 23-1 Concatenação de segmento, 23-2 O menu CHARS, 23-2 A lista de caracteres, 23-4 Capítulo 24 - Objetos e sinalizadores da calculadora, 24-1 A descrição dos objetos da calcula
Objetos de backup, 26-3 Backup dos objetos na porta de memória , 26-4 Backup e restaurar HOME, 26-4 Armazenar, excluir e restaurar os objetos de backup , 26-5 Usar os dados dos objetos de backup, 26-6 Os cartões SD, 26-7 Armazenar os objetos no cartão SD, 26-7 Restaurar um objeto de cartão SD, 26-8 Excluir um objeto do cartão SD, 26-8 Usar as bibliotecas, 26-9 Instalar e anexar uma biblioteca, 26-9 Números de biblioteca, 26-9 Apagar uma biblioteca, 26-9 Criar bibliotecas, 26-10 Bateria de backup, 26-10 Apê
Capítulo 1 Introdução Este Capítulo fornece informações básicas sobre a operação de sua calculadora. Os exercícios são criados para familiarizá-lo com as operações e configurações básicas antes de fazer operações mais avançadas. Operações básicas Os seguintes exercícios foram criados para dar uma idéia geral sobre o hardware de sua calculadora. Baterias A calculadora usa 3 baterias AAA (LR03) como alimentação principal e uma bateria de lítio CR 2032 para backup de memória.
b. Insira a bateria de lítio CR2032. Certifique-se de que o lado positivo (+) esteja voltado para cima. c. Substitua a bateria e pressione a placa no seu local original. Depois de instalar as baterias, pressione [ON] para ligar a calculadora. Aviso: Quando o ícone de bateria com carga baixa for exibido, é necessário substituir as baterias logo que for possível. Entretanto, evite remover a bateria de backup e as baterias principais ao mesmo tempo para evitar perda de dados.
Na parte superior do visor você encontrará duas linhas com informações que descrevem as configurações da calculadora. A primeira linha mostra os caracteres: RAD XYZ HEX R= 'X' Para obter detalhes sobre o significado destas especificações, consulte o capítulo 2. A segunda linha mostra os caracteres: { HOME }indica que o diretório HOME é o diretório atual do arquivo na memória da calculadora. No capítulo 2 você aprenderá que pode salvar os dados na sua calculadora armazenando-os em arquivos ou variáveis.
Menus Os seis símbolos associados com as teclas A até F fazem parte de um menu de funções. Uma vez que a calculadora tem apenas seis teclas, serão apenas exibidos 6 símbolos de cada vez. Entretanto, um menu pode ter mais do que seis entradas. Cada grupo de 6 entradas é chamado de Página de menu. O menu atual, conhecido como menu TOOL (veja abaixo), tem oito entradas arranjadas em duas páginas. A página seguinte contendo as duas entradas seguintes do menu fica disponível ao pressionar a tecla L (menu NeXT).
Esta CHOOSE box é chamada BASE MENU e fornece uma lista de funções enumeradas de 1. HEX x a 6. B R. Este visor irá constituir a primeira página deste menu CHOOSE box mostrando seis funções. Você pode navegar através do menu usando as teclas com as setas , —˜, localizadas no lado direito superior do teclado, logo abaixo das teclas E e F. Para executar qualquer função dada, ressalte primeiro o nome da função usando as teclas com as setas , —˜, ou pressione o número correspondente à função na CHOOSE box.
SOFT pressione a tecla @ @CHK@@ (C) seguido por @@@OK@@@ (F). Pressione @@@OK@@@ (F) novamente para retornar ao visor de operação da calculadora. Se pressionar agora ‚ã em vez da CHOOSE box, apresentado anteriormente, o visor mostrará agora seis símbolos de menu como a primeira página do menu: Para navegar através das funções deste menu pressione a tecla L para mover para a próxima página ou „«(associada com a tecla L) para mover para a página anterior.
3. Informações adicionais sobre os menus SOFT e CHOOSE boxes são apresentados no capítulo 2 deste manual.
executar as tarefas programadas. Esta seção mostrará não apenas como definir a hora e dia, mas também os conceitos básicos do uso das CHOOSE boxes e como inserir dados na caixa de diálogo. As caixas de diálogos da sua calculadora são similares às caixas de diálogo do computador. Para definir a hora e a data usamos a CHOOSE box TIME como uma função alternativa para a tecla 9. Combinar o botão vermelho, ‚, com a tecla 9 ativa a CHOOSE box TIME. Esta operação pode também ser representada como ‚Ó.
Pressione a tecla !!@@OK#@ F para completar a operação. O valor de 11 é agora mostrado no campo hora e o campo de minuto é automaticamente ressaltado: Alteremos o campo de minuto para 25, pressionando: 25 !!@@OK#@ . O segundo campo é agora ressaltado. Suponha que deseje alterar o campo de segundos para 45, use: 45 !!@@OK#@ O campo de formato de hora é agora ressaltado.
Use as teclas com as setas, —˜, para selecionar entre estas três opções (AM, PM, 24 horas). Pressione a tecla !!@@OK#@ F para fazer a operação. Definir a hora Depois de definir a opção do formato de hora, o formulário de entrada SET TIME AND DATE será exibido: Para definir a data configure primeiro o seu formato. O formato padrão é D/M/Y (dia/mês/ano). Para modificar este formato pressione a tecla de seta para baixo.
Ressalte a sua escolha usando as teclas de seta, — ˜, e pressione a tecla !!@@OK#@ F para fazer a seleção. Apresentação do teclado da calculadora A figura abaixo mostra um diagrama do teclado da calculadora com a numeração de suas linhas e colunas.
A figura mostra 10 linhas de teclas combinadas com 3, 5 ou 6 colunas. A linha 1 tem 6 teclas, a linha 2 e 3 têm 3 teclas cada e a linha 4 até 10 têm 5 teclas cada. Existem 4 teclas de setas no lado direito do teclado no espaço ocupado pelas linhas 2 e 3. Cada tecla tem três, quatro ou cinco funções. A função principal da tecla corresponde ao símbolo mais proeminente na tecla.
Selecionar os modos da calculadora Esta seção considera que você agora, pelo menos em parte, está familiarizado com o uso de seleções e caixas de diálogos (se não estiver, consulte o Capítulo 2). Pressione o botão H (segunda coluna na segunda linha do teclado) para mostrar o seguinte formulário de entrada CALCULATOR MODES: Pressione a tecla !!@@OK#@ Fpara retornar ao inicial. Exemplos diferentes de seleção de modos da calculadora são mostrados a seguir.
3 ⋅ 5 − 23 3⋅3 2.5 +e 1 3 Para inserir esta expressão na calculadora usaremos primeiro o Editor de Equação, ‚O. Identifique as seguintes teclas no teclado, além das teclas numéricas: !@.#*+-/R Q¸Ü‚Oš™˜—` O Editor de Equação é um modo de exibição no qual você pode construir expressões matemáticas usando representações matemáticas incluindo frações, derivadas, integrais, raízes, etc.
Você pode também digitar a expressão diretamente no visor sem usar o Editor de Equação, conforme a seguir: R!Ü3.*!Ü5.1./ !Ü3.*3.™™ /23.Q3+!¸2.5` para obter o mesmo resultado. Altere o modo de operação para RPN pressionando primeiro o botão H. Selecione o modo de operação RPN usando a tecla \ ou pressionando a tecla @CHOOS. Pressione a tecla !!@@OK#@ F para completar a operação.
Observe a posição do y e do x nas duas últimas operações. A base na operação exponencial é y (nível de memória 2) enquanto que o expoente é x (nível de memória 1) antes que a tecla Q seja pressionada. De forma similar, na operação de raiz cúbica, y (nível de memória 2) é a quantidade de sinal de raiz e x (nível 1 da pilha) é a raiz. Tente o seguinte exercício envolvendo 3 fatores: (5 + 3) × 2 5`3+ Calcule (5 +3) primeiro. 2X Conclua o cálculo.
Embora RPN requer um pouco mais de atenção do que o modo algébrico (ALG), existem diversas vantagens em usar RPN. Por exemplo, no modo RPN você pode ver a equação se desenrolar passo a passo. Isto é extremamente útil para detectar um possível erro de entrada. Além disso, ao obter mais conhecimento sobre este modo e aprender mais dicas poderá calcular a expressão de forma mais rápida e usar menos teclas.
Para obter mais informações sobre os sinalizadores do sistema da calculadora, consulte o capítulo 2. Formato de número e ponto ou vírgula decimal Alterar o formato do número permite que você personalize a forma que números reais são exibidos pela calculadora. Verá que esta característica é extremamente útil nas operações com potências de dez ou para limitar o número de decimais em um resultado.
• Formatos fixos com decimais: Pressione o botão H. Depois, use a tecla de seta para baixo, ˜, para selecionar a opção Number format. Pressione a tecla virtual do menu @CHOOS ( B) e selecione a opção Fixed com a tecla de seta abaixo ˜. Observe que o modo Number Format é confgurado para Fix seguido de zero (0). Este número indica que o número de decimais sejam mostrados depois do ponto decimal no visor da calculadora.
menu @CHOOS ( B) e selecione a opção Fixed com a tecla de seta para baixo ˜. Pressione a tecla de seta a direita, ™, para ressaltar o zero na frente da opção Fix. Pressione a tecla virtual do menu @CHOOS e usando as teclas de setas, —˜ selecione, por exemplo, 3 decimais. Pressione a tecla !!@@OK#@ para completar a seleção: Pressione a tecla !!@@OK#@ retornar ao visor da calculadora. agora é mostrado como: O número Observe como o número é mostrado arredondado, não truncado. Assim, o número 123.
O formato científico é principalmente usado quando resolve problemas de física onde os números são normalmente apresentados com precisão limitada por uma potência de dez. Para configurar este formato, pressione o botão H e depois use a tecla de seta depara baixo, ˜, para selecionar a opção Number format. Pressione a tecla virtual do menu @CHOOS ( B) e selecione a opção Fixed com a tecla de seta para baixo ˜. Mantenha o número 3 na frente de Sci.
Pressione a tecla !!@@OK#@ para retornar ao visor da calculadora: número agora é mostrado conforme a seguir: O Dado que este número tem três dígitos na parte inteira, é mostrado com quatro números significativos e uma potência de zero de dez, enquanto usa o formato engenharia. Por exemplo, o número 0.
Medida de ângulo As funções trigonométricas, por exemplo, exigem argumentos que representem ângulos planos. A calculadora fornece três modos Angle Measure diferentes para trabalhar com ângulos, conforme a seguir: • Degrees: Existem 360 graus (360o) em uma circunferência completa ou 90 graus (90o) em um ângulo reto. Esta representação é principalmente usada em geometria básica, engenharia mecânica ou estrutural e levantamentos.
Sistema de coordenadas A seleção de sistema de coordenadas afeta a forma em que os vetores e números complexos são exibidos e inseridos. Para aprender mais sobre os números e vetores complexos, consulte os capítulos 4 e 9, respectivamente, neste manual.
x = ρ ⋅ sin(φ ) ⋅ cos(θ ) y = ρ ⋅ sin(φ ) ⋅ sin(θ ) z = ρ ⋅ cos(φ ) ρ = x2 + y2 + z2 y θ = tan −1 x x2 + y2 −1 φ = tan z Para alterar o sistema de coordenadas na sua calculadora, siga estes passos: • Pressione o botão H. Depois, use a tecla de seta para baixo, ˜, duas vezes. Selecione o modo Angle Measure usando a tecla \ (segunda coluna e quinta linhalinha do teclado) ou pressionando o tecla virtual do menu @CHOOS ( B).
A opção _Beep pode ser útil para avisar ao usuário sobre os erros. Você pode querer desmarcar esta opção se estiver usando sua calculadora em uma sala de aula ou biblioteca. A opção _Key Click pode ser útil como uma forma audível de verificar se cada toque foi inserido corretamente. A última opção _Last Stack é muito útil para recuperar a última operação se for preciso usá-la para um novo cálculo.
Selecionar os modos de exibição O visor da calculadora pode ser personalizado com as suas preferências selecionado diferentes modos de exibição. Para ver as configurações CAS opcionais use o seguinte: • Pressione o botão H para ativar formulário de entrada CALCULATOR MODES. Dentro do formulário de entrada CALCULATOR MODES, pressione o tecla virtual do menu @@DISP@ (D) para exibir o formulário de entrada DISPLAY MODES.
você pode exibir até 9 níveis da pilha. Siga estas instruções para selecionar sua fonte de exibição: Pressione o botão H para ativar formulário de entrada CALCULATOR MODES. Dentro do formulário de entrada CALCULATOR MODES, pressione o tecla virtual do menu @@DISP@ (D) para exibir o formulário de entrada DISPLAY MODES. O campo Font é ressaltado e a opção Ft8_0:system 8 é selecionada. Este é o valor padrão da fonte do visor.
_Full page _Indent Permite que você coloque o cursor depois do final da linha. Avanço automático do cursor ao introduzir mudança de linha Instruções para uso da linha de edição são apresentadas no capítulo 2 deste guia. Selecionar as propriedades da pilha Pressione o botão H para ativar formulário de entrada CALCULATOR MODES. Dentro do formulário de entrada CALCULATOR MODES, pressione o tecla virtual do menu @@DISP@ (D) para exibir o formulário de entrada DISPLAY MODES.
Selecionar as propriedades do Editor de Equação (EQW) Pressione o botão H para ativar formulário de entrada CALCULATOR MODES. Dentro do formulário de entrada CALCULATOR MODES, pressione o tecla virtual do menu @@DISP@ (D) para exibir o formulário de entrada DISPLAY MODES. Pressione a tecla de seta para baixo, ˜, três vezes, para obter a linha EQW (Editor de Equação). Esta linha mostra duas propriedades que podem ser alteradas.
definição. Isto significa que a parte superior do visor conterá duas linhas, uma mostrando as configurações atuais da calculadora e a segunda mostrando o subdiretório atual dentro da memória da calculadora (estas linhas foram descritas anteriormente no manual). O usuário pode selecionar alterar esta configuração para 1 ou 0 para reduzir o número de linhas do cabeçalho no visor. Selecionar o visor do relógio Pressione o botão H para ativar formulário de entrada CALCULATOR MODES.
Capítulo 2 Apresentando a calculadora Neste capítulo apresentamos um número de operações básicas da calculadora incluindo o uso do Editor de Equação e a manipulação de objetos de dados. Estude os exemplos neste capítulo para ter uma idéia da capacidade da calculadora para aplicações futuras. Objetos da calculadora Qualquer número, expressão, caractere, variável, etc. que pode ser criada e manipulada na calculadora é mencionado como um objeto. Alguns dos tipos mais úteis de objetos são listados abaixo.
Se o modo aproximado (APPROX) for selecionado no CAS (consulte o apêndice C), os números inteiros serão automaticamente convertidos para números reais. Se não estiver planejando usar o CAS, pode ser uma boa idéia mudar diretamente para o modo aproximado. Consulte o apêndice C para obter mais detalhes. Misturar números inteiros e números reais ou trocar erradamente um número inteiro por um número real é muito comum.
Associados aos programas estão os objetos dos tipos 6 e 7, Global e Nomes locais , respectivamente. Estes nomes ou variáveis, são usados para armazenar quaisquer tipos de objetos. O conceito de nomes globais ou locais é relacionado ao escopo ou alcance da variável em um dado programa. Um objeto algébrico, ou simplesmente, um algébrico (objeto do tipo 9), é uma expressão algébrica válida incluída entre apóstrofos.
Criar as expressões aritméticas Neste exemplo, selecionamos o modo de operação algébrico e um formato Fix com 3 decimais para o visor. Vamos digitar agora a expressão aritmética. 1.0 7.5 5.0 ⋅ 3.0 − 2.0 3 1.0 + Para inserir esta expressão use a seguinte combinação de teclas: 5.*„Ü1.+1./7.5™/ „ÜR3.-2.Q3 A expressão resultante é: 5.*(1.+1./7.5)/(ƒ3.-2.^3).
Se a expressão for inserida entre aspas, no entanto, a calculadora reproduzirá a expressão como foi inserida. No exemplo a seguir, inserimos a mesma expressão conforme acima, mas usando aspas. Para este caso definimos o modo de operação para algébrico, o modo CAS para Exact (desmarcar _Approx) e a configuração do visor para Textbook. A combinação de teclas para inserir a expressão é a seguinte: ³5*„Ü1+1/7.
Pressione ` novamente para manter duas cópias da expressão disponível na pilha para avaliação. Avaliamos primeiro a expressão usando a função EVAL, e a próxima usando a função NUM: Primeiro, avaliamos a expressão usando a função EVAL. Esta expressão é semi-simbólica no sentido de que existem componentes de ponto flutuante para o resultado, como também um √3.
1 7.5 . A expressão incorreta foi em vez da expressão em questão: 5 ⋅ 3 − 23 1+ inserida usando: ³5*„Ü1+1/1.75™/„Ü R5-2Q3` Para inserir a linha de edição use „˜. O visor apresenta agora a seguinte expressão: O cursor de edição é mostrado como uma seta à esquerda cintilante sobre o primeiro caractere na linha a ser editada.
• Pressione ` para retornar à pilha. A expressão editada está agora disponível na pilha. Editar uma linha de entrada estando a calculadora no modo de operação algébrico é exatamente o mesmo que no modo RPN. Você pode repetir este exemplo no modo algébrico para verificar esta afirmação. Criar expressões algébricas As expressões algébricas incluem não apenas números, mas também nomes de variáveis.
Editar expressões algébricas Editar a expressão algébrica com um editor linear é similar àquela da expressão aritmética (consulte o exercício acima). Suponha que desejemos alterar a expressão inserida acima para ler x2 2L 1 + R +2 L R+x b Para editar a expressão algébrica usando o editor linear use „˜. Isto ativa o editor linear, mostrando a expressão a ser editada conforme a seguir: O cursor de edição é mostrado como uma seta à esquerda cintilante sobre o primeiro caractere na linha a ser editada.
• • • • • Pressione a tecla com a seta para a direita, ™, uma vez, e a tecla de exclusão ƒ, uma vez, para excluir os parênteses à direita do conjunto inserido acima. Pressione a tecla com a seta para a direita, ™, quatro vezes, para mover o cursor para a direita de b Digite „Ü para inserir um segundo conjunto de parênteses. Pressione a tecla de exclusão, ƒ, uma vez, para excluir o parêntese esquerdo do conjunto inserido acima. Pressione ` para retornar ao visor normal da calculadora.
Para ver a expressão inteira no visor, podemos alterar a opção _Small Stack Disp no formulário de entrada DISPLAY MODES (consulte o capítulo 1). Depois de efetuar esta alteração, o visor mostrará o seguinte: Nota: Para usar letras Gregas e outros caracteres nas expressões algébricas use o menu CHARS. Este menu é ativado pela combinação de teclas … ±. Os detalhes são apresentados no apêndice D.
@EVAL: Permite avaliar, simbólica ou numericamente, uma expressão ressaltada no visor do editor de equação (similar a …µ) @FACTO: permite fatorar uma expressão ressaltada no visor do eEditor de Equação (se a fatoração for possível). @SIMP: permite simplificar uma expressão ressaltada no visor do Editor de equação (tanto quanto pode ser simplificada de acordo com as regras algébricas do CAS).
O cursor é mostrado como uma tecla voltada para a esquerda. O cursor indica o local atual de edição. Digitando um caractere, nome de função ou operação será apresentado o caractere ou caracteres correspondentes no local do cursor. Por exemplo, para o cursor no local indicado acima, digite agora: *„Ü5+1/3 A expressão editada terá a seguinte forma: Suponha que você deseje substituir o valor entre parênteses no denominador (ex., 5+1/3) por (5+π2/2).
Suponha que você deseja agora adicionar a fração 1/3 para esta expressão inteira, ex. você quer inserir a expressão: 5 5 + 2 ⋅ (5 + 2 π ) 2 + 1 3 Primeiro, precisamos ressaltar totalmente o primeiro termo usando as teclas da seta para a direita (™) ou da seta para cima (—), repetidamente, até que a expressão inteira seja ressaltada, ex.
Avaliar a expressão Para avaliar a expressão (ou partes da expressão) dentro do editor de equação, ressalte a parte que deseja avaliar e pressione a tecla do menu soft @EVAL D. Por exemplo, para avaliar a expressão inteira neste exercício, primeiro, ressalte a expressão inteira pressionando ‚ ‘. Em seguida, pressione a tecla do menu soft @EVAL D. Se sua calculadora estiver configurada para o modo Exact CAS (ex.
Avaliar a sub-expressão Suponha que você deseje avaliar apenas a expressão entre parênteses no denominador da primeira fração na expressão acima. É necessário usar as teclas com as setas para selecionar a sub-expressão. Aqui está uma forma de fazê-lo: ˜ Ressaltar apenas a primeira fração. ˜ Ressaltar o numerador da primeira fração. ™ Ressaltar o denominador da primeira fração ˜ Ressaltar o primeiro termo no denominador da primeira fração. ™ Ressaltar o segundo termo no denominador da primeira fração.
Então, pressione a tecla do menu virtual @EVAL D para obter: Tentemos agora uma avaliação numérica deste termo.
E usaremos as características de edição do editor de equação para transformá-la na seguinte expressão: Nos exercícios anteriores usamos as teclas com as setas para ressaltar as subexpressões para avaliação. Neste caso, as usaremos para ativar um cursor de edição especial.
Depois, pressione a tecla com a seta para baixo (˜) para ativar o cursor de edição ressaltando o 3 no denominador de π 2/3. Pressione a tecla com a seta para a esquerda (š) uma vez para ressaltar o expoente 2 na expressão π 2/3. Depois, pressione a tecla de exclusão (ƒ) uma vez para alterar o cursor para cursor de inserção. Pressione ƒ uma vez mais para excluir o 2, e depois 5 inserir um 5. Pressione a tecla com a seta para cima (—) três vezes para ressaltar a expressão π 2/3.
Em resumo, para editar uma expressão no editor de equação, é necessário usar as teclas com as setas (š™—˜) para ressaltar a expressão onde as funções serão aplicadas (ex. os casos da raiz quadrada e LN acima). Use a tecla com a seta para baixo (˜) em qualquer local, repetidamente, para ativar o cursor de edição. Neste modo, use as teclas com as setas para a direita ou esquerda (š™) para mover de um termo para outro na expressão.
Neste exemplo usamos diversas letras minúsculas em inglês , ex. (~„x), diversas letras gregas ex. λ (~‚n) e até uma combinação de letras gregas e inglesas chamadas de ∆y (~‚c~„y). Lembre-se de que para inserir uma letra minúscula, é necessário usar a combinação: ~„ seguida da letra que você deseja inserir. Além disso, você pode copiar sempre os caracteres especiais usando o menu CHARS (…±) se você não quiser memorizar a combinação de teclas pressionadas que a produziu.
Editar expressões algébricas A edição das equações algébricas segue as mesmas regras da edição das equações algébricas. A saber: • Use as teclas com as setas (š™—˜) para ressaltar as expressões • Use a tecla com a seta para baixo (˜) para ativar o cursor de edição. Neste modo, use as teclas com as setas para esquerda ou para direita (š™) para mover de um termo para outro na expressão. • No ponto de edição, use a tecla de exclusão (ƒ) para ativar o cursor de inserção e continuar com a edição da expressão.
9. 3 no termo √3 10. o 2 na fração 2/√3 A qualquer momento podemos transformar o cursor de edição no cursor de inserção pressionando a tecla de exclusão (ƒ). Usemos estes dois cursores (o cursor de edição e o de inserção) para transformar a expressão atual na seguinte: Se você acompanhou o exercício imediatamente acima, você deverá ter o cursor de edição no número 2 no primeiro fator da expressão.
Algumas expressões algébricas não podem ser mais simplicadas. Tente a seguinte combinação de teclas: —D. Você verá que nada acontece, a não ser ressaltar o argumento inteiro da função LN. Isto é porque esta expressão não pode ser mais avaliada (ou simplificada) de acordo com as normas do CAS. Tente estas teclas: —D não produzem novamente quaisquer alterações na expressão.
Este visor mostra o argumento da função SIN, a saber, 3 LN (θ ) 3 θ , transformada em e . Isto talvez não pareça uma simplificação, porém subtende-se que a função da raiz cúbica foi substituída pelas funções inversas exp-LN. Fatorar uma expressão Neste exercício tentaremos fatorar uma expressão de polinômio. Para continuar com o exercício anterior, pressione a tecla `. Depois, abra o editor de equação pressionando a tecla ‚O.
pressione a tecla do menu soft @FACTO para obter: Pressione ‚¯para recuperar a expressão original. Agora, selecionemos a expressão inteira pressionando a tecla com a seta para cima (—) uma vez. E pressione a tecla @FACTO para obter Pressione ‚¯para recuperar a expressão original.
Pressione a tecla do menu soft !!@@OK#@ (F) para obter: Depois, pressione a tecla L para recuperar o menu editor de equação original e pressione a tecla @EVAL@ (D) para avaliar esta derivada. O resultado é: Usar o menu HELP Pressione a tecla L para mostrar as teclas do menu virtual @CMDS e @HELP . Pressione a tecla @HELP para obter a lista dos comandos CAS. Depois, pressione ~ d ˜ ˜ ˜ para selecionar o comando DERVX.
localizadas nas linhas 2 e 3 das primeiras colunas.
As funções BEGIN e END não são necessárias nas operações do editor de equações, desde que podemos selecionar os segmentos de caracteres usando as teclas de setas. As funções BEGIN e END são mais úteis para editar uma expressão com o editor de linha.
Pressione a tecla ` para sair do editor de equação. Criar e editar somatórios, derivadas e integrais Somatórios, derivadas e integrais são normalmente usados para cálculo, probabilidade e estatística. Nesta seção mostramos alguns exemplos dessas operações criadas com o editor de equação. Somatórios Usemos o editor de equação para inserir o seguinte somatório: ∞ 1 ∑k k =1 2 Pressione a tecla ‚O para ativar do editor de equação. Depois pressione ‚½para inserir o sinal de somatório.
Para recuperar o somatório use ‚¯. Para avaliar o somatório novamente, você pode usar a tecla do menu soft D. Isto mostrá novamente que 1 π2 . = ∑ 2 6 k =1 k ∞ Você pode usar o editor de equação para provar que ∞ 1 ∑ k = +∞ . k =1 Este somatório (representa uma série infinita) é considerado como divergente.
Para ver a expressão correspondente no editor de linha, pressione as teclas ‚— e A do menu soft para mostrar: Isto indica que a expressão geral para a derivada na linha de ediçãoou na pilha é: ∂variable(function of variables) Pressione ` para retornar ao editor de equação. O visor apresentará não a derivada inserida, mas o seu valor simbólico, a saber, Para recuperar a expressão da derivada use ‚¯. Para avaliar a derivada novamente, você pode usar a tecla do menu soft D.
é d ( ) . A calculadora, no entanto, não distingue entre derivadas parciais dx e totais. Integrais definidas Usaremos o editor de equação para inserir a seguinte integral definida: ∫ τ 0 t ⋅ sin(t ) ⋅ dt . Pressione a tecla ‚O para ativar o editor de equação. Depois pressione ‚Á para inserir o sinal da integral. Observe que o sinal, quando inserido no visor do editor de equação, fornece os locais de entrada para os limites da integração, o integrando, e a variável da integração.
As integrais duplas são também possíveis. Por exemplo, que avalia para 36. A avaliação parcial é possível, por exemplo: Esta integral avalia para 36. Organizar dados na calculadora Você pode organizar dados na sua calculadora armazenando as variáveis em uma árvore de diretório. Para compreender a memória da calculadora, observe primeiro o diretório de arquivo.
@CANCL (E): Cancela a ação @@OK@@ (F): Aprova a seleção Por exemplo, para alterar o diretório para CASDIR, pressione a tecla com a seta para baixo, ˜, e pressione @CHDIR (A). Esta ação fecha a janela do File Manager e retorna para o visor normal da calculadora. Você observará que a segunda linha a partir da parte superior do visor começa agora com os caracteres { HOME CASDIR } indicando que o diretório atual é o CASDIR dentro do diretório HOME.
@SORT Seleciona as variáveis de acordo com um critério de seleção Se você pressionar a tecla L, o último conjunto de funções fica disponível: @XSEND Para enviar a variável com o protocolo XModem @CHDIR Para alterar o diretório Para se mover entre os diferentes comandos do menu soft, você pode usar não apena a tecla NEXT (L), como também a tecla PREV („«). O usuário é convidado a tentar usar estas funções sozinho. Suas aplicações são objetivas.
apêndice C). Para ver o conteúdo do diretório, podemos usar a combinação de teclas: „¡que abre o Gerenciador de arquivo novamente: Desta vez o CASDIR é ressaltado no visor. Para ver o conteúdo do diretório, pressione a tecla @@OK@@ (F) ou `, para obter o seguinte visor: O visor mostra uma tabela descrevendo as variáveis contidas no diretório CASDIR. Estas são variáveis pré-definidas na memória da calculadora que define certos parâmetros para a operação CAS (consulte pêndice C).
Variáveis CASDIR na pilha Pressionando a tecla $ fecha o visor anterior e retorna para o visor normal da calculadora. Por padrão, retornamos ao menu TOOL: Podemos ver as variáveis contidas no diretório atual, CASDIR, pressionando a tecla J (primeira tecla na segunda linha a partir da parte superior do teclado). Isto produz a seguinte tela: Pressionando a tecla L apresentará mais uma variável armazenada neste diretório: • • • Para ver o conteúdo das variáveis EPS, por exemplo, usemos ‚@EPS@.
PERIOD VX EPS Estas variáveis são Período para funções trigonométricas (padrão = 2π) Nome de variável independente padrão (padrão = X) Valor de pequeno incremento (épsilon), (padrão = 10-10) usadas para a operação de CAS. Digitar diretórios e nomes das variáveis Para nomear subdiretórios, e algumas vezes variáveis, você terá que digitar os segmentos de letras de uma vez, podendo ou não serem combinados com números.
O visor da calculadora mostrará o seguinte (o lado esquerdo é o modo algébrico e o lado direito é o modo RPN): Nota: Se o sinalizador do sistema 60 for configurado, você pode bloquear o teclado alfabético pressionando apenas ~. Consulte o capítulo 1 para obter mais detalhes sobre sinalizadores de sistema. Criar subdiretórios Subdiretórios podem ser criados usando o ambiente FILES ou o comando CRDIR. As duas abordagens para criar subdiretórios são apresentadas a seguir.
mostrando que apenas um objeto existe atualmente no diretório HOME, a saber, o sub-diretório CASDIR. Criemos outro subdiretório chamado MANS (para MANualS) onde armazenamos variáveis desenvolvidas como exercícios neste manual. Para criar este subdiretório digite primeiro: L @@NEW@@ (C) . Isto produzirá a seguinte forma de entrada: O campo de entrada Object , o primeiro campo de entrada no formulário, é ressaltado por padrão.
Depois, criaremos um sub-diretório chamado INTRO (para INTROdução), dentro de MANS, para manter as variaveis criadas como exercício para as seções subseqüentes deste capítulo. Pressione a tecla $ para retornar ao visor normal da calculadora (o menu TOOLS será mostrado). Depois, pressione J para mostrar o conteúdo do diretório HOME nas etiquetas da tecla do menu soft.
Pressione „°. Isto produzirá o seguinte menu de seleção para a programação: Use a tecla com a seta para baixo (˜) para selecionar a opção 2. MEMORY… ou apenas pressione 2. Depois, pressione @@OK@@. Isto produzirá o seguinte menu de seleção: Use a tecla com a seta para baixo (˜) para selecionar a opção 5. DIRECTORY… ou apenas pressionar 5. Depois, pressione @@OK@@. Isto produzirá o seguinte menu de seleção: Use a tecla com a seta para baixo (˜) para selecionar a opção 5. CRDIR e pressione @@OK@@.
Comando CRDIR no modo RPN Para usar CRDIR no modo RPN, é necessário ter o nome do diretório já disponível na pilha antes de acessar o comando. Por exemplo: ~~„~chap2~` Depois acesse o comando CRDIR através dos meios descritos acima ou, ex.
tecla @@OK@@ para listar o conteúdo do diretório no visor. Selecione o subdiretório (ou variável) que deseja excluir. Pressione L@PURGE. Um visor similar ao seguinte será apresentado: O segmento ‘S2’ neste formulário é o nome do subdiretório que está sendo excluído.
Use a tecla com a seta para baixo (˜) para selecionar a opção 2. MEMORY… Depois, pressione @@OK@@. Isto produzirá o seguinte menu de seleção: Use a tecla com a seta para baixo (˜) para selecionar a opção 5. DIRECTORY. Depois pressione @@OK@@ Isto resultará no seguinte menu de seleção: Use a tecla com a seta para baixo (˜) para selecionar a opção 6. PGDIR, e pressione @@OK@@.
Pressione @@OK@@, para obter: Depois, pressione )@@S3@@ para inserir ‘S3’ como o argumento para PGDIR. Pressione ` para excluir o subdiretório: Comando PGDIR no modo RPN Para usar PGDIR no modo RPN, é necessário ter o nome do diretório, entre aspas, já disponível na pilha antes de acessar o comando. Por exemplo: ³~s2` Em seguida acesse o comando PGDIR através dos meios descritos acima, ex.
Usar o comando PURGE do menu TOOL O menu TOOL está disponível pressionando a tecla I (modos Algebraic e RPN mostrados): O comando PURGE está disponível pressionando a tecla @PURGE (E). Nos exemplos seguintes desejamos excluir o subdiretório S1: • Modo Algébrico: Insira @PURGE J)@@S1@@` • Modo RPN: Insira J³@S1@@ `I@PURGE J Variáveis Variáveis são como arquivos em um disco rígido de computador.
Criar variáveis Para criar uma variável, podemos usar o menu FILES ao longo das linhas dos exemplos mostrados acima para criar um subdiretório. Por exemplo, dentro do subdiretório {HOME MANS INTRO}, criado em um exemplo anterior, queremos armazenar as seguintes variáveis com os valores mostrados: Nome Conteúdo Tipo A 12.5 real -0.25 real α A12 3×105 real Q ‘r/(m+r)' algébrico R [3,2,1] vetor z1 3+5i complexo p1 << → r 'π*r^2' >> programa Usar o menu FILES Usaremos o menu FILES para inserir a variável A.
Para inserir a variável A (veja a tabela acima) inserimos primeiro seu conteúdo, ou seja, o número 12.5 e depois seu nome, A, conforme a seguir: 12.5 @@OK@@ ~a@@OK@@. O que resulta no seguinte visor: Pressione @@OK@@ , novamente para criar a variável. A nova variável é mostrada na seguinte relação de variáveis: A relação indica uma variável real (|R), cujo nome é A e que ocupa 10.5 bytes de memória. Para ver o conteúdo da variável neste visor, pressione L@VIEW@.
Usar o comando STO Uma forma simples de criar uma variável é usar o comando STO (ex. a tecla K). Fornecemos os exemplos em ambos os modos Algebric e RPN, criando o resíduo das variáveis sugeridas acima, a saber: Nome α A12 Q R z1 p1 Conteúdo -0.25 3×105 ‘r/(m+r)' [3,2,1] 3+5i << → r 'π*r^2' >> Tipo real real algébrico vetor complexo programa Modo algébrico Use as seguintes teclas para armazenar o valor de –0.25 na variável α: 0.25\ K ~‚a.
O visor, nesta altura, apresentará o seguinte formato: Você verá seis das sete variáveis listadas na parte inferior do visor: p1, z1, R, Q, A12, α. Modo RPN Use as seguintes teclas para armazenar o valor de –0.25 na variável α: 0.25\` ~‚a`. O visor apresentará o seguinte formato: Esta expressão significa que o valor –0.25 está pronto para ser armazenado em α. Pressione K para criar a variável.
O visor, neste momento apresentará o seguinte: Você verá seis das sete variáveis listadas na parte inferior do visor: p1, z1, R, Q, A12, α. Verificar o conteúdo das variáveis Como um exercício de observação dos conteúdos das variáveis, usaremos as sete variáveis inseridas no exercício acima. Mostramos como usar o menu FILES para ver o conteúdo de uma variável em um exercício anterior quando criamos a variável A. Nesta seção mostraremos uma forma simples de analisar o conteúdo de uma variável.
Nota: Ao pressionarmos @@@p1@@ ` estamos tentando ativar (executar) o programa p1. Entretanto, este programa solicita uma entrada numérica. Tente o seguinte exercício: $@@@p1@ „Ü5`. O resultado é: O programa tem a seguinte estrutura: « → r 'π*r^2' » Os símbolos « » indicam um programa na linguagem RPL do usuário (a linguagem original do programa das calculadoras HP 28/48, disponível na série HP 49G). Os caracteres → r indicam que uma entrada de dados, mencionada como r, deve ser fornecida para o programa.
Observe que para executar o programa no modo RPN, você deve apenas inserir a entrada (5) e pressionar a tecla correspondente no menu virtual. (No modo algébrico, é necessário colocar os parênteses para inserir o argumento). Usar a tecla right-shift ‚ seguida das etiquetas das teclas do menu virtual Esta abordagem para visualizar o conteúdo de uma variável funciona da mesma forma em ambos os modos Algébrico e RPN.
Substituir o conteúdo das variáveis Substituir o conteúdo de uma variável pode ser visto como armazenar um valor diferente no nesmo nome da variável. Assim, os exemplos mostrados acima para criar as variáveis podem ser usados para ilustrar a substituição de um conteúdo da variável.
Usar a variável ANS(1) (modo Algébrico) No modo Algebraic é possível usar a variável ANS(1) para substituir o conteúdo de uma variável. Por exemplo, o procedimento para alterar o conteúdo de z1 para ‘a+bi’ é o seguinte: „î K @@@z1@@ `. Para verificar o novo conteúdo de z1, use: ‚@@@z1@@ Copiar variáveis Os exercícios seguintes mostram as formas diferentes de copiar as variáveis de um subdiretório para outro. Usar o menu FILES Para copiar uma variável de um diretório para outro você pode usar o menu FILES.
Pressione $ @INTRO@ `(modo algébrico) ou $ @INTRO@ (modo RPN) para retornar ao diretório INTRO. Pressione „¡@@OK@ , para produzir a seguinte lista de variáveis em {HOME MANS INTRO}. Use a tecla com a seta abaixo ( ˜) para selecionar a variável R, depois pressione @@COPY@. Use a tecla com a seta para cima ( —) para selecionar o diretório MANS e pressione @@OK@@.
Usar a pilha no modo RPN Para demonstrar o uso da pilha no modo RPN para copiar uma variável de um subdiretório para outro, presumimos que você esteja dentro do subdiretório {HOME MANS INTRO} e que copiaremos o conteúdo da variável z1 no diretório HOME. Use o seguinte procedimento:‚@@z1@ `³@@z1@ ` Este procedimento lista o conteúdo e o nome da variável na pilha. O visor da calculadora será apresentado desta forma: Agora, use „§„§ para mover para o diretório HOME e pressione K para concluir a operação.
Este procedimento pode ser generalizado para copiar três ou mais variáveis. Reordenar variáveis em um diretório Nesta seção ilustramos o uso do comando ORDER para reordenar as variáveis em um diretório. Vamos supor que começamos dentro do subdiretório {HOME MANS} contendo as variáveis, A12, R, Q, z1, A, e o subdiretório INTRO, conforme mostrado abaixo. (Copia A12 de INTRO à MANS). Modo algébrico Neste caso, temos a calculadora configurada para o modo Algébrico.
a lista reordenada é criada usando: „ä )@INTRO @@@@A@@@ @@@z1@@ @@@Q@@@ @@@@R@@@ @@A12@@ ` Então, insira o comando ORDER, como feito anteriormente, ex. „°˜@@OK@@ Seleciona MEMORY do menu de programação ˜˜˜˜ @@OK@@ Seleciona DIRECTORY do menu MEMORY —— @@OK@@ Seleciona ORDER do menu DIRECTORY O resultado é apresentado no seguinte visor: Mover variáveis usando o menu FILES Para mover uma variável de um diretório para outro você pode usar o menu FILES.
Nota: Você pode usar a pilha para mover uma variável combinando copiar e excluir uma variável. Os procedimentos para excluir as variáveis são demostrados na próxima seção. Excluir variáveis As variáveis podem ser excluídas usando a função PURGE. Esta função pode ser acessada diretamente usando o menu TOOLS (I) ou usando o menu FILES „¡@@OK@@ . Usar o comando FILES O comando FILES pode ser usado para excluir uma variável de cada vez.
se agora queremos excluir as variáveis R e Q, simultaneamente, podemos tentar o seguinte exercício. Pressione: I @PURGE@ „ä³ J@@@R!@@ ™ ‚í ³ J@@@Q!@@ Neste momento, o visor mostrará o seguinte comando pronto para ser executado: Para terminar de excluir as variáveis, pressione `. O visor mostrará agora as variáveis restantes: Usar a função PURGE na pilha no modo RPN Começamos novamente no subdiretório {HOME MANS INTRO} contendo agora apenas as variáveis p1, z1, Q, R e α.
‚¯ nesta altura irá desfazer a operação mais recente (20/3), trazendo os termos originais de volta à pilha: Para ilustrar o uso de CMD, vamos inserir as seguintes entradas no modo ALG. Pressione ` depois de cada entrada de dados. Depois, use a função CMD („®) para mostrar os quatro comandos mais recentes inseridos pelo usuário, ex. Você pode usar as teclas com as setas para cima e para baixo (—˜) para navegar através destes comandos e ressaltar qualquer um deles que queira inserir.
Sinalizadores Um sinalizador é um valor Booleano que pode ser ativado ou desativado (verdadeiro ou falso), que especifica uma dada configuração da calculadora ou uma opção em um programa. Os sinalizadores na calculadora são identificados por números. Existem 256 sinalizadores, numerados de -128 a 128. Sinalizadores positivos são chamados de sinalizadores de usuários e estão disponíveis para programação pelo usuário.
soluções serão retornadas pela calculadora, mais provavelmente em uma lista . Ao pressionar a tecla virtual @ @CHK@@ você pdoe alterar o sinalizador do sistema 01 para Valor principal. Esta configuração forçará a calculadora a fornecer um valor individual conhecido como o valor principal da solução. Para visualizar esta operação, configure primeiro o sinalizador do sistema 01 (ex. selecione Valor principal ). Pressione @@OK@@ duas vezes para retornar ao visor normal da calculadora.
‚O~ „t Q2™+5*~ „t+6—— ‚Å0` ` (mantendo uma segunda cópia na pilha RPN) ³~ „t` Use a seguinte sequência de teclas para inserir o comando QUAD: ‚N~q (use as teclas com as setas para cima e para baixo, —˜ , para selecionar o comando QUAD) , pressione @@OK@@ . O visor mostra a solução principal: Agora, altere a configuração do sinalizador 01 para General solutions: H@FLAGS@ @ @CHK@@ @@OK@@ @@OK@@ .
27 ‘X+Y*i’ → (X,Y): Números complexos são representados como pares ordenados 60 [α][α] locks: A sequência ~~ trava o teclado alfabético Pressione @@OK@@ duas vezes para retornar ao visor normal da calculadora. CHOOSE boxes e MENU Soft Em alguns exercícios apresentados neste capítulo vimos listas de menu de comando exibidas no visor. Estas listas de menu são conhecidas como CHOOSE boxes.
H @FLAGS! ——————— O visor mostra o sinalizador 117 não configurado (CHOOSE boxes), conforme mostrado aqui: Pressione a tecla do menu soft @ @CHK@@! para definir o sinalizador 117 para soft MENU. O visor refletirá esta alteração: Pressione duas vezes para retornar ao visor normal da calculadora. Agura, tentemos encontrar o comando ORDER usando teclas similares àquelas usadas acima, ex. começamos com „°.
CHOOSE boxes selecionadas Alguns menus produzirão apenas CHOOSE boxes, ex. • O APPS (APPlicationS Menu), ativado com a tecla G, a primeira tecla na segunda linha do teclado: • CAT (menu CATalog), ativado com a tecla ‚N, a segunda tecla na segunda linha do teclado: • O menu HELP, ativado com I L @HELP • O menu CMDS (CoMmanDS), ativado dentro do editor de equação, ex.
Capítulo 3 Cálculos com números reais Este Capítulo demonstra o uso da calculadora para as operações e funções relacionadas com os números reais. Estas operações são úteis para a maioria dos cálculos na física e engenharia. O usuário deve conhecer o teclado para identificar as funções disponíveis (ex. SIN, COS, TAN, etc.). Além disso, pressupõe-se que o leitor saiba como ajustar o sistema operacional da calculadora, ex.
RAD: radianos, 2π radianos em um círculo completo GRD: grados, 400 grados em um círculo completo 2. Especificação do sistema de coordenadas (XYZ, R∠Z, R∠∠). símbolo ∠ significa uma coordenada angular. XYZ: Cartesiano ou retangular (x,y,z) R∠Z: Coordenadas polares e cilíndricas (r,θ,z) R∠∠: Coordenadas esféricas (ρ,θ,φ) 3. Especificação de base numérica (HEX, DEC, OCT, BIN) HEX: Números decimais (base 16) DEC: Números decimais (base 10) OCT: Números octais (base 8) BIN: Números binários (base 2) 4.
calculadora. Não existe seleção preferida para a medida do ângulo ou para a especificação de base do número. Os cálculos do número real serão demonstrados nos modos Algebraic (ALG) e Reverse Polish Notation (RPN). Alterar sinal de um número, variável ou expressão Use a tecla \. No modo ALG, você pode pressionar \ antes de inserir o número, ex. \2.5`. Resultado = -2,5. No modo RPN, talvez seja necessário inserir pelo menos o primeiro número e depois usar a tecla \, ex. 2.5\. Resultado = -2,5.
De forma alternativa, no modo RPN, você pode separar os operandos com um espaço (#) antes de pressionar a tecla do operador. Exemplos: 3.7#5.2 + 6.3#8.5 4.2#2.5 * 2.3#4.5 / Usar parênteses Os parênteses podem ser usados para operações de grupo como também incluir argumentos de funções. Os parênteses estão disponíveis através da combinação da tecla „Ü. Os parênteses são sempre inseridos em pares. Por exemplo, para calcular (5+3.2)/(7-2.2): No modo ALG: „Ü5+3.2™/„Ü7-2.
Quadrados e raízes quadradas A função da raiz, SQ, está disponível através da combinação de teclas: „º. Ao calcular na pilha no modo ALG, insira a função antes do argumento, ex. „º\2.3` No modo RPN, insira o número primeiro, depois a função, ex. 2.3\„º A função da raiz quadrada √ está disponível através da tecla R. Ao calcular na pilha no modo ALG, insira a função antes do argumento, ex, R123.4` No modo RPN, insira o número primeiro, depois a função, ex. 123.
Usar as potências de 10 ao inserir dados Potências de dez, i.e. números do formato -4.5×10-2, etc., são inseridos usando a tecla V. Por exemplo, no modo ALG: \4.5V\2` Ou no modo RPN: 4.5\V2\` Logaritmos naturais e funções exponenciais Logaritmos naturais (ex. logaritmos de base e = 2.7182818282) são calculados pela combinação de teclas ‚¹ (função LN) enquanto sua função inversa, a função exponencial (função EXP) é calculada usando „¸. No modo ALG, a função é inserida antes do argumento: ‚¹2.45` „¸\2.
combinações de teclas „¼, „¾ e „À, respectivamente. Desde que as funções trigonométricas inversas representam ângulos, a resposta destas funções é dada na medida angular selecionada (DEG, RAD, GRD). Alguns exemplos são mostrados a seguir: No modo ALG: „¼0.25` „¾0.85` „À1.35` No modo RPN: 0.25`„¼ 0.85`„¾ 1.
Funções com números reais no menu MTH O menu MTH (MaTHematics) inclui um número de funções matemáticas mais aplicadas para números reais. Para acessar o menu MTH, use a combinação de teclas „´. Com a configuração padrão de CHOOSE boxes para o sinalizador do sistema 117 (consulte o capítulo 2), o menu MTH mostra a seguinte lista de menu: Como existe um grande número de funções matemáticas disponíveis na calculadora, o menu MTH é selecionado pelo tipo de objeto que a função se aplica.
Usar os menus da calculadora: 1. Dado que a operação das funções MTH (e de muitos outros menus da calculadora) é muito similar, descreveremos em detalhe o uso do menu 4. HYPERBOLIC.. nesta seção com a intenção de descrever a operação geral dos menus da calculadora. Preste bastante atenção ao processo para selecionar diferentes opções. 2. Para selecionar rapidamente as opções enumeradas na lista de menu (ou CHOOSE box), simplesmente pressione o número da opção no teclado.
O visor mostra o resultado principal: No modo RPN, as teclas para fazer este cálculo são as seguintes: 2.5` Insira o argumento na pilha „´ Selecione o menu MTH 4 @@OK@@ Selecione o menu 4. HYPERBOLIC.. 5 @@OK@@ Selecione a função 5. TANH O resultado é: A operação mostrada acima presume que você esteja usando a configuração padrão para o sinalizador de sistema 117 (CHOOSE boxes).
Finalmente, para selecionar, por exemplo, a função tangente (tanh) hiperbólica pressione apenas @@TANH@. Nota: Para ver as opções adicionais nestes menus, pressione a tecla L ou a seqüência de teclas „«. Por exemplo, para calcular tanh(2,5), no modo ALG, quando usar SOFT menus nas CHOOSE boxes, siga este procedimento: „´ @@HYP@ @TANH@ 2.5` Selecione o menu MTH Selecione o menu HYPERBOLIC.. Selecione a função TANH Avalie tanh(2,5) No modo RPN, o mesmo valor é calculado usando: 2.
Funções com números reais Selecionar as opções 5. REAL.. no menu MTH com o sinalizador do sistema 117 configurado para as CHOOSE boxes, gera a seguinte lista do menu: Finalmente, a opção 19. MATH leva o usuário de volta para o menu MTH. As funções restantes são agrupadas em seis grupos diferentes descritos abaixo.
Estas funções exigem dois argumentos. Ilustramos o cálculo de %T(15,45), ex. cálculo 15% de 45. Assumimos que a calculadora é configurada para o modo ALG e que o sinalizador do sistema 117 é configurado para CHOOSE boxes. O procedimento é como segue: „´ Selecione o menu MTH 5 @@OK@@ Selecione o menu 5. REAL.. 3 @@OK@@ Selecione a função 5.
Mínimo e máximo Use estas funções para determinar o valor mínimo e máximo de dois argumentos. MIN(x,y) : valor mínimo de x e y MAX(x,y) : valor máximo de x e y Como exercício, verifique que MIN(-2,2) = -2, MAX(-2,2) = 2 Módulo MOD: y mód. x = resto de y/x, ex. se x e y são números inteiros, y/x = d + r/x, onde d = quociente, r = resto. Neste caso, r = y mód. x. Observe que MOD não é a uma função, mas um operador, ex. no modo ALG, MOD deve ser usado como y MOD x e não como MOD(y,x).
Funções radianas para graus e graus para radianos D→R (x) : converte os graus em radianos R→D (x) : converte os radianos em graus Como exercício, verifique que D R(45) = 0,78539 (ex. 45o = 0,78539rad), R D(1,5) = 85,943669.. (ex. 1,5rad = 85,943669..o). Funções especiais Opção 11. Special functions… no menu MTH inclui as funções seguintes: GAMA: A função gama Γ(α) PSI: n-ézima derivada da função gama Psi: Função Digama, derivada de ln(Gama) A função gama é definida por Γ (α ) = ∫ ∞ 0 xα −1e − x dx .
quando α for um número inteiro positivo. Podemos também usar a função Fatorial para calcular a função gama e vice-versa. Por exemplo, Γ(5) = 4! ou 4~‚2`. A função Fatorial está disponível no menu MTH, até o menu 7. PROBABILITY.. A função PSI , Ψ(x,y), representa a derivada y-th da função Digama, ex. dn Ψ (n, x) = n ψ ( x) , onde ψ(x) é conhecida como a função Digama ou dx função Psi. Para esta função, y deve ser um número inteiro positivo.
As constantes são listadas a seguir: Selecionar qualquer uma destas entradas colocará o valor selecionado, se for um símbolo (ex. e, i, π, MINR ou MAXR) ou um valor (2.71.., (0,1), 3.14.., 1E-499, 9.99..E499) na pilha. Observe que e está disponível no teclado como exp(1), ex. „¸1`, no modo ALG ou 1` „¸ no modo RPN. Além disso, π está disponível diretamente do teclado como „ì. Finalmente, i está disponível usando „¥. Operações com unidades Os números na calculadora podem ter unidades associadas a eles.
A opção 1. Tools.. contém funções usadas para operar com as unidades (discutidas mais tarde). As opções 3. Length.. através de 17.Viscosity.. contém menus com um número de unidades para cada uma das quantidades descritas. Por exemplo, selecionar a opção 8. Force.. mostra os seguintes menus de unidade: O usuário reconhecerá a maioria destas unidades (alguns ex.
Pressionar a tecla virtual correta abrirá o submenu das unidades para esta seleção em particular. Por exemplo, para o submenu @)SPEED, as seguintes unidades estão disponíveis: Pressionar a tecla virtual @)UNITS o levará de volta para o menu UNITS. Lembre-se de que você pode sempre listar todos os símbolos dos menus no visor usando ‚˜, ex. para o conjunto @)ENRG de unidades os seguintes símbolos serão listados: Nota: Use a tecla L ou a sequência de teclas „«para navegar através dos menus.
(quilômetro quadrado), ha (hectare), a (are), mi^2 (milha quadrada), miUS^2 (milha quadrada americana), acre (acre) VOLUME m^3 (métrico cúbico), st (stere), cm^3 (centímetro cúbico), yd^3 (jarda cúbica), ft^3 (pés cúbico), in^3 (polegada cúbica), l (litro), galUK (galão inglês), galC (galão canadense), gal (galão americano), qt (quart), pt (pint), ml (milímetro), cu (US cup), ozfl (onça americana), ozUK (onça inglesa), tbsp (colher de sopa), tsp (colher de chá), bbl (barril), bu (hectolitro), pk (peck), fbm
PRESSÃO Pa (pascal), atm (atmosfera), bar (bar), psi (libras por polegada quadrada), torr (torr), mmHg (milímetros de mercúrio), inHg (polegadas de mercúrio), inH20 (polegadas de água), TEMPERATURA o C (grau Celsius), o F (grau Fahrenheit), K (Kelvin), o R (grau Rankine), CORRENTE ELÉTRICA (medidas elétricas) V (volt), A (ampère), C (coulomb), Ω (ohm), F (farad), W (watt), Fdy (faraday), H (henry), mho (mho), S (siemens), T (tesla), Wb (weber) ÂNGULO (medidas angulares planar e sólida) (grau sexagesimal), r
Estas unidades são também acessíveis através do catálogo, por exemplo: gmol: lbmol: rpm: dB: ‚N~„g ‚N~„l ‚N~„r ‚N~„d Converter as unidades de base Para converter qualquer uma destas unidades para as unidades padrões no sistema SI, use a função UBASE.
No modo RPN, o sinalizador de sistema117 é configurado para CHOOSE boxes: 1 Inserir 1 (não sublinhe) ‚Û Selecione o menu UNITS — @@OK@@ Selecione a opção VISCOSITY @@OK@@ Selecione a unidade P (poise) ‚Û Selecione o menu UNITS @@OK@@ Selecione o menu TOOLS ˜ @@OK@@ Selecione a função UBASE No modo ALG, o sinalizador de sistema117 é configurado para menus SOFT: ‚Û Selecione o menu UNITS )@TOOLS Selecione o menu TOOLS @UBASE Selecione a função UBASE 1 ‚Ý Insira 1 e sublinhe ‚Û Selecione o menu UNITS „« @)VISC
5 ‚Ý ‚Û 8@@OK@@ @@OK@@ ` Insira um número e sublinhe Selecione o menu UNITS Selecione as unidades de força (8. Force..) Selecione Newtons (N) Insira a quantidade com as unidades na pilha O visor será apresentado como segue: Nota: Se esquecer de sublinhar o resultado será a expressão 5*N, onde N representa aqui um nome possível de variável e não Newtons.
L @)@FORCE @ @@N@@ ` Selecione as unidades de força Selecione Newtons (N) Insira a quantidade com as unidades na pilha A mesma quantidade inserida no modo RPN usa as seguintes teclas: 5 Insira um número (não sublinhe) ‚Û Acesse o menu UNITS L @)@FORCE Selecione as unidades de força @ @@N@@ Selecione Newtons (N) Nota: Vcê pode inserir uma quantidade com as unidades digitando o sublinhado e as unidades com a tecla ~, ex.
(*) No sistema SI, este prefixo é da em vez de D. Use D para deka na calculadora. Para inserir estes prefixos digite apenas o prefixo usando a tecla ~.
Para calcular a divisão,digamos, 3250 mi / 50 h, insira-a como (3250_mi)/(50_h) `: que transformada para as unidades SI com a função UBASE, produz: Adição e subtrãção podem ser executadas, no modo ALG, sem usar os parênteses, ex. 5 m + 3200 mm, pode ser apenas inserida como 5_m + 3200_mm `: Expressões mais complicadas exigem o uso de parênteses, ex. (12_mm)*(1_cm^2)/(2_s) `: Os cálculos de pilha no modo RPN não exigem que você inclua os termos diferentes nos parênteses, ex.
Além disso, tente as seguintes operações: 5_m ` 3200_mm ` + 12_mm ` 1_cm^2 `* 2_s ` / Estas duas últimas operações produzem o seguinte resultado: Nota: As unidades não são permitidas nas expressões inseridas no Editor de Equação.
Tente um dos seguintes exercícios nas suas configurações favoritas da calculadora. O resultado mostrado abaixo foi desenvolvido no modo ALG com o sinalizador de sistema 117 configurado para menu SOFT: Exemplos de CONVERT Estes exemplos produzem o mesmo resultado, ex. para converter 33 watts para btu CONVERT(33_W,1_hp) ` CONVERT(33_W,11_hp) ` Estas operações são mostradas no visor como: Exemplos de UVAL: UVAL(25_ft/s) ` UVAL(0.
UNIT(11.3,1_mph) ` Constantes físicas na calculadora Juntamente com o tratamento das unidades, discutimos o uso de constantes físicas que estão disponíveis na memória da calculadora. As constantes físicas estão contidas em constants library ativadas com o comando CONLIB. Para lançar este comando você pode simplesmente digitá-lo na pilha: ~~conlib~` ou você pode selecionar o comando CONLIB do catálogo de comando, como segue: Primeiro, lance o catálogo usando: ‚N~c.
As teclas correspondentes para o visor CONSTANTS LIBRARY incluem as seguintes funções: SI quando selecionado, os valores das constantes são mostrados em unidades SI ENGL quando selecionado, os valores das constantes são mostrados em unidades inglesas (*) UNIT quando selecionado, as constantes são mostradas como unidades anexadas (*) VALUE quando selecionado, as constantes são mostradas sem unidades STK copia valores (com ou sem as unidades) para a pilha QUIT sai da biblioteca de constantes (*) É ativado ap
Se selecionamos a opção UNITS (pressione @UNITS ) apenas os valores são mostrados (as unidades inglesas são selecionadas neste caso): Para copiar os valores de Vm para a pilha, selecione o nome da variável, pressione !²STK e depois @QUIT@. Para a calculadora configurada para ALG, o visor será apresentado desta forma: O visor mostra o que é chamado de um valor etiquetado, Vm:359.0394. Aqui, Vm, é a etiqueta deste resultado. Qualquer operação aritmética com este número ignorará a etiqueta.
As funções incluem: ZFACTOR: função de fator Z de compressão de gás FANNING: O fator do atrito de fanning para fluxo de fluido DARCY: Fator do atrito de Darcy-Weisbach para fluxo do fluido F0λ: Função de potência da emissão do corpo negro SIDENS: Densidade intrínseca de silicone TDELTA: Função delta de temperatura Na segunda página deste menu (pressione L) encontraremos os seguintes itens: Nesta página existe uma função (TINC) e um número de unidades descritos em uma seção anterior sobre unidades (veja aci
crítica. O valor de xT deve ficar entre 1,05 e 3,0, enquanto o valor de yP deve ficar entre 0 e 30. A seguir um exemplo no modo ALG: Função F0λ A função F0λ (T, λ) calcula a fração (sem dimensão) da energia de emissão total do corpo negro (black body) em temperatura T entre os comprimentos de ondas 0 e λ. Se não anexar nenhuma unidade ao T e λ, fica implícito que T está em K e λ em m.
Função TINC A função TINC(T0,∆T) calcula T0+DT. A operação desta função é similar a função TDELTA em relação ao resultado nas unidades de T0. Caso contrário, a função devolve uma simples adição de valores, ex. Definir e usar funções Os usuários podem definir suas próprias funções usando o comando DEF disponível através da sequência de teclas „à (associadas com a tecla 2).
Assim a variável H contém um programa definido por: << x ‘LN(x+1) + EXP(x)’ >> Este é um programa simples na linguagem de programação padrão da HP série 48 G e também incorporado a série HP 49 G. Esta linguagem de programação é chamada UserRPL.
O conteúdo da variável K é: << α β ‘α+β’ >>. Funções definidas por mais de uma expressão Nesta seção discutiremos o tratamento de funções que são definidas por duas ou mais expressões. Um exemplo de tais funções seria 2 ⋅ x − 1, f (x) = 2 x − 1, x < 0 x > 0 A HP 49 G fornece a função IFTE (Se-Então-Ou) para descrever tais funções.
Para avaliar a função no modo ALG, digite o nome da função, f, seguido pelo número onde deseja avaliá-la, ex., f(2), depois pressione ` No modo RPN, insira um número e pressione @@@f@@@. Verifique, por exemplo, que f(2) = 3, enquanto f(-2) = -5. As funções IFTE combinadas Programar uma função mais complicada como − x, x < −2 x + 1, − 2 ≤ x < 0 g ( x) = x − 1, 0 ≤ x < 2 x2 , x ≥ 2 você pode combinar diversos níveis de função IFTE, i.e.
Capítulo 4 Cálculos com números complexos Este capítulo mostra os exemplos de cálculos e aplicações das funções para os números complexos. Definições Um número complexo z é escrito como z = x + iy, onde x e y são números reais e i é a unidade imaginária definida por i2 = -1. O número complexo x+iy tem uma parte real, x = Re(z), e uma parte imaginária, y = Im(z).
Pressione @@OK@@ duas vezes para retornar a pilha. Inserir números complexos Os números complexos na calculadora podem ser inseridos nas duas representações cartesianas, a saber, x+iy ou (x,y). Os resultados na calculadora serão mostrados no formato de pares ordenados, ex. (x,y). Por exemplo, com a calculadora no modo ALG, o número complexo (3,5,-1,2), é inserido como: „Ü3.5‚í\1.2` Um número complexo pode também ser inserido na forma x+iy. Por exemplo, no modo ALG, 3.5-1.2i é inserido como: 3.5 -1.
Observe que a última entrada mostra um número complexo na forma x+iy. Isto acontece porque o número foi inserido entre as apóstrofes representando uma expressão algébrica. Para avaliar este número use a tecla EVAL ( µ). Logo que a expressão algébrica for avaliada, você recupera o número complexo (3,5,1,2). A representação polar de um número complexo O resultado mostrado acima representa uma representação cartesiana (retangular) do número complexo 3,5-1,2i.
as coordenadas cartesianas, ex., x = r cos θ, y = r sin θ, resultando, neste caso, em (0,3678…, 5,18…). Por outro lado, se o sistema de coordenada for definido para coordenadas cilíndricas (use CYLIN), inserir um número complexo (x,y), onde x e y são números reais, produzirá uma representação polar. Por exemplo, nas coordenadas cilíndricas, insira o número (3.,2.).
x1 + iy1 x + iy1 x 2 − iy 2 x1 x 2 + y1 y 2 x y −x y = 1 ⋅ = + i ⋅ 2 21 12 2 2 2 x 2 + iy 2 x 2 + iy 2 x 2 − iy 2 x2 + y 2 x2 + y 2 Assim, a função inversa INV (ativada com a tecla Y) é definida como x − iy x 1 1 y = ⋅ = 2 +i⋅ 2 2 x + iy x + iy x − iy x + y x + y2 Alterar o sinal de um número complexo Alterar o sinal de um número complexo pode ser conseguido usando a tecla \, ex.
Menu CMPLX através do menu MTH Presumindo que o sinalizador do sistema 117 esteja configurado para CHOOSE boxes (consulte o capítulo 2), o submenu CMPLX dentro do menu MTH é acessado usando: „´9 @@OK@@ .
Exemplos das aplicações destas funções são mostrados a seguir. Lembre-se de que no modo ALG, a função deve preceder o argumento, enquanto que no modo RPN você insere o argumento primeiro e depois seleciona a função. Alem disso, lembre-se de que você pode obter estas funções como menus virtuais alterando as configurações do sinalizador do sistema 117 (consulte o capítulo 3). O primeiro visor mostra as funções RE, IM e C R. Observe que a última função devolve uma lista {3. 5.
Menu CMPLX no teclado O segundo menu CMPLX é acessível usando a opção right-shift associada com a tecla 1, ex. ‚ß. Com o sinalizador do sistema 117 configurado para CHOOSE boxes, o menu CMPLX do teclado é mostrado conforme os seguintes visores: O menu resultante inclui algumas das funções já apresentadas na seção anterior, a saber, ARG, ABS, CONJ, IM, NEG, RE e SIGN. Inclui também a função i que serve ao mesmo propósito da combinação de teclas „¥, i.e. inserir o número imaginário da unidade i na expressão.
Nota: Ao usar as funções trigonométricas os números complexos os argumentos não são mais ângulos. Portanto, a medida angular selecionada para a calculadora não tem validade nestas funções com argumentos complexos. Para compreender como as funções trigonométricas e outras funções são definidas para os números complexos, consulte um livro sobre variáveis complexas.
Função DROITE: equação de uma linha reta A função DROITE toma como argumento dois números complexos, por exemplo, x1+iy1 e x2+iy2 e retorna para a equação da reta, a saber, y = a+bx que contém os pontos (x1,y1) e (x2,y2). Por exemplo, o segmento de reta entre os pontos A(5,-3) e B(6,2) pode ser encontrada conforme a seguir (exemplo no modo algébrico): A função DROITE é encontrada no catálogo de comandos (‚N).
Capítulo 5 Operações algébricas e aritméticas Um objeto algébrico é qualquer número, nome de variável ou expressão algébrica que pode ser influenciado, manipulado e combinado de acordo com as normas da álgebra. Exemplos de objetos algébricos são apresentados a seguir: • Um número : 12,3, 15,2_m, ‘π’, ‘e’, ‘i’ • Um nome de variável : ‘a’, ‘ux’, ‘width’, etc. • Uma expressão : ‘p*D^2/4’,’f*(L/D)*(V^2/(2*g))’, • Uma equação : ‘Q=(Cu/n)*A(y)*R(y)^(2/3)*So^0.
Operações simples com objetos algébricos Os objetos algébricos podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados e divididos (exceto pelo zero), elevados à potência, usado como argumentos por uma variedade de funções padrões (exponencial, logarítmica, trigonométrica, hiperbólica, etc), como faria com qualquer número real ou complexo.
@@A1@@ + @@A2@@ ` @@A1@@ - @@A2@@ ` @@A1@@ * @@A2@@ ` @@A1@@ / @@A2@@ ` ‚¹@@A1@@ „¸@@A2@@ Os mesmos resultados são obtidos no modo RPN ao usar as seguintes teclas: @@A1@@ ` @@A2@@ + @@A1@@ `@@A2@@ @@A1@@ ` @@A2@@ * @@A1@@ `@@A2@@ / @@A1@@ ` ‚¹ @@A2@@ `„¸ Funções no menu ALG O menu ALG (algébrico) está disponível usando a seqüência de teclas ‚× (associadas com a tecla ‚).
Em vez de listar a descrição de cada função neste manual, o usuário é solicitado a buscar a descrição usando o mecanismo de ajuda da calculadora: I L @)HELP@ ` . Para localizar uma função particular, digite a primeira letra desta função. Por exemplo, para a função COLLECT, digitamos ~c, depois usamos as teclas de setas, —˜, para localizar COLLECT dentro da janela de ajuda. Para concluir a operação pressione @@OK@@.
Assim deixamos que o usuário explore as aplicações das funções no menu ALG (ou ALGB).
TEXPAND: Nota: Lembre-se que, para usar estas ou quaisquer outras funções no modo RPN, é necessário inserir o argumento primeiro e depois a função. Por exemplo, TEXPAND, no modo RPN será definido como: ³„¸+~x+~y` Nesta altura, selecione a função TEXPAND do menu ALG (ou diretamente do catálogo ‚N), para concluir a operação. Outras formas de substituição nas expressões algébricas As funções SUBST, mostradas acima, são usadas para substituir uma variável na expressão.
No modo RPN, isto pode ser conseguido inserindo a primeira expressão onde a substituição será feita (x+x2), seguido pela lista (consulte o capítulo 8) a variável de substiuição, um espaço e o valor a ser substiuido, i.e. {x 2}. A etapa final é pressionar a combinação de teclas: ‚¦.
A última expressão inserida é automaticamente avaliada depois de pressionar a tecla ` produzindo o resultado mostrado acima. Operações com funções transcendentais A calculadora oferece um número de funções que podem ser usadas para substituir as expressões contendo as funções logaritmicas, exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas em termos de identidades trigonométricas das funções exponenciais.
Expansão e fatoração usando funções trigonométricas O menu TRIG, ativado usando ‚Ñ, mostra as seguintes funções: Estas funções permitem simplificar as expressões substituindo algumas categorias de funções trigonométricas por outras. Por exemplo, a função ACOS2S permite substituir a função arccosine (acos(x)) por sua expressão em termos de arcsine (asin(x)). A descrição destes comandos e exemplos de suas aplicações estão disponíveis na ajuda da calculadora (IL@HELP).
número de funções que se aplicam às operações aritméticas. O menu ARITHMETIC é ativado através da combinação de teclas „Þ (associada com a tecla 1). Com o sinalizador do sistema 117 configurado para CHOOSE boxes, „Þ, o resultado é o seguinte menu: Desta lista de menu, as opções de 5 a 9 (DIVIS, FACTORS, LGCD, PROPFRAC, SIMP2) correspondem às funções comuns que se aplicam aos números inteiros ou polinômios. As opções restantes (1. INTEGER, 2. POLYNOMIAL, 3. MODULO e 4.
SIMP2: As funções associadas com os submenus ARITHMETIC: INTEGER, POLYNOMIAL, MODULO e PERMUTATION, são as seguintes: Menu INTEGER EULER IABCUV IBERNOULLI ICHINREM IDIV2 IEGCD IQUOT IREMAINDER ISPRIME? NEXTPRIME PA2B2 PREVPRIME Número inteiros < n, co-primo com n Resolve au + bv = c, com a,b,c = inteiros n--ézimo número Bernoulli Residual chinês para números inteiros Divisão euclidiana de dois números inteiros Retorna u,v, tal que au + bv = gcd(a,b) Quociente euclidiano de dois números inteiros Residual
DIV2 EGDC FACTOR FCOEF FROOTS GCD HERMITE HORNER LAGRANGE LCM LEGENDRE PARTFRAC PCOEF PTAYL QUOT RESULTANT REMAINDER STURM STURMAB Divisão euclidiana de dois polinômios Retorna u,v, de au+bv=gcd(a,b) Fatora um número inteiro ou polinômio Gera as raízes, dadas a fração e a multiplicidade Retorna as raízes e a multiplicidade, dada uma fração Maior divisor comum de 2 números ou polinômios Polinômio Hermite de grau n-ézimo Avaliação Horner de um polinômio Interpolação de polinômio Lagrange Menor divisor comum
MULTMOD POWMOD SUBTMOD A multiplicação de 2 módulos de polinômios pelo módulo atual Eleva o polinômio para a potência do módulo atual Subtração de 2 módulos de polinômios pelo módulo atual Aplicações do menu ARITHMETIC Esta seção apresenta parte do background necessário para a aplicação das funções do menu ARITHMETIC. As definições sobre polinômios, frações de polinômios e aritmética modular são apresentadas a seguir.
horas deste a meia-noite, por exemplo, a cogruência 6+9 ≡ 3 (mod 12), pode ser interpretada como dizer que “seis horas depois da nona hora depois da meia-noite será três horas da tarde.” Outras somas que podem ser definidas na aritmética de módulo 12 são: 2+5 ≡ 7 (mod 12); 2+10 ≡ 0 (mod 12); 7+5 ≡ 0 (mod 12); etc. A regra para a subtração será tal que se j – k < 0, então j-k é definida como j-k+n. Portanto, 8-10 ≡ 2 (mod 12), é lido como“oito menos dez é congruente com dois, módulos doze.
A definição formal de um anel aritmético finito A expressão a ≡ b (mod n) é interpretada como “a é congruente a b, módulo n,” e se mantém se (b-a) for um múltiplo de n. Com esta definição as regras de aritmética simplificam para o seguinte: Se então a ≡ b (mod n) and c ≡ d (mod n), a+c ≡ b+d (mod n), a-c ≡ b - d (mod n), a×c ≡ b×d (mod n). Para a divisão siga as regras apresentadas anteriormente. Por exemplo, 17 ≡ 5 (mod 6) e 21 ≡ 3 (mod 6).
na calculadora inclui os números: (-3,-2,-1,0,1,3,4), enquanto para n = 7 (impar), o anel artimético finito da calculadora é dado por (-3,-2,-1,0,1,2,3). Aritmética modular na calculadora Para lançar o menu artimético modular na calculadora selecione o submenu MODULO dentro do menu ARITHMETIC („Þ). O menu disponível inclui as funções: ADDTMOD, DIVMOD, DIV2MOD, EXPANDMOD, FACTORMOD, GCDMOD, INVMOD, MOD, MODSTO, MULTMOD, POWMOD e SUBTMOD.
Exemplos SUBTMOD 5 - 7 ≡ -2 (mod 12) 11 – 8 ≡ 3 (mod 12) 8 – 4 ≡ 4 (mod 12) 8 - 12 ≡ -4 (mod 12) 5 –10 ≡ -5 (mod 12) Exemplos MULTMOD 6⋅8 ≡ 0 (mod 12) 5⋅6 ≡ 6 (mod 12) 9⋅8 ≡ 0 (mod 12) 11⋅3 ≡ -3 (mod 12) 3⋅2 ≡ 6 (mod 12) Exemplos DIVMOD 12/3 ≡ 4 (mod 12) 25/5 ≡ 5 (mod 12) 66/6 ≡ -1 (mod 12) 12/8 (mod 12) não existe 64/13 ≡ 4 (mod 12) Exemplos DIV2MOD 2/3 (mod 12) não existe 26/12 (mod 12) não existe 125/17 (mod 12) ≡ 1 com resíduo = 0 68/7 ≡ -4 (mod 12) com resíduo = 0 7/5 ≡ -1 (mod 12) com resíduo
EXPANDMOD(17) ≡ 5 (mod 12) EXPANDMOD(6) ≡ 6 (mod 12) A inversa modular de um número Digamos que um número k pertença a um anel aritmético finito do módulo n, então a inversa modular de k, ex., 1/k (mod n), é um número j, tal que j⋅k ≡ 1 (mod n). A inversa modular de um número pode ser obtida usando a função INVMOD no submenu MODULO do menu ARITHMETIC.
aplicáveis para os polinômios. Para obter informações sobre aritmética modular com os polinômios, consulte um livro sobre teoria de números. Polinômios Os polinômios são expressões algébricas consistindo de um ou mais termos com potência decrescente de uma dada variável. Por exemplo, ‘X^3+2*X^2-3*X+2’ é um polinômio de terceira ordem em X, ao passo que ‘SIN(X)^2-2’ é um polinômio de segunda ordem em SIN(X). Uma lista de funções relacionadas com polinômios no menu ARITHMETIC foi apresentada anteriormente.
última expressão é interpretada como “P(X) é congruente a Q(X), módulo M(X)”. A função CHINREM CHINREM significa CHINese REMainder. A operação codificada neste comando resolve um sistema de duas congruências usando o Teorema chinês do resto . Este comando pode ser usado com polinômios, como também com numeros inteiros (função ICHINREM). A entrada consiste de dois vetores [expressão_1, módulo_1] e [expressão_2, módulo_2].
dos dois polinômios ou de cada lista de polinômios. Exemplos, no modo RPN, a seguir (a calculadora configurada para o modo Exact): ‘X^3-1’`’X^2-1’`GCD Resulta em: ‘X-1’ {‘X^2+2*X+1’,’X^3+X^2’} ` {‘X^3+1’,’X^2+1’} ` GCD resulta em {‘X+1’ 1} A função HERMITE A função HERMITE [HERMI] usa um argumento como número de inteiros, k, e retorna para o polinômio Hermite de grau k. Um polinômio Hermite, Hek(x) é definido como He0 = 1, Hen ( x) = (−1) n e x 2 /2 d n −x2 / 2 (e ), n = 1,2,...
A variável VX Uma variável chamada VX existe no diretório da calculadora {HOME CASDIR} que aceita, como padrão, o valor de ‘X’. Este é o nome da variável independente preferida para as aplicações algébricas e de cálculo. Evite usar a variável VX nos seus programas ou equações para não ficar confuso com a VX do CAS’. Se for necessário mencionar o componente x da velocidade, por exemplo, você pode usar vx ou Vx. Para obter informações adicionais sobre a variável CAS, consulte o apêndice C.
A função LCM A função LCM (menor múltiplo comum) obtém o menor múltiplo comum de dois polinômios ou de listas de polinômios do mesmo tamanho. Exemplos: LCM(‘2*X^2+4*X+2’ ,‘X^2-1’ ) = ‘(2*X^2+4*X+2)*(X-1)’. LCM(‘X^3-1’,‘X^2+2*X’) = ‘(X^3-1)*( X^2+2*X)’ A função LEGENDRE Um polinômio Legendre de ordem n é uma função polinomial que resolve a 2 equação diferencial (1 − x ) ⋅ dy d2y − 2 ⋅ x ⋅ + n ⋅ (n + 1) ⋅ y = 0 2 dx dx Para obter o polinômio Legendre de ordem n use LEGENDRE(n), ex.
Na verdade, você deve interpretar este resultado como ‘(X-2) ^3+6*(X-2) ^2+10*(X-2) +6’. Verifiquemos usando a substituição: ‘X = x – 2’. Recuperamos o polinômio original, mas em termos de x minúsculo, em vez de x maiúsculo. As funções QUOT e REMAINDER As funções QUOT e REMAINDER fornecem, respectivamente, o coeficiente Q(X) e o resto R(X), resultante da divisão de dois polinômios, P1(X) e P2(X). Em outras palavras,s elas fornecem os valores de Q(X) e R(X) de P1(X)/P2(X) = Q(X) + R(X)/P2(X).
A função PEVAL As funções PEVAL (Avaliação do polinômio) podem ser usadas para avaliar um polinômio p(x) = an⋅xn+an-1⋅x n-1+ …+ a2⋅x2+a1⋅x+ a0, dado um conjunto de coeficientes [an, an-1, … a2, a1, a0] e um valor de x0. O resultado é a avaliação p(x0). A função PEVAL não está disponível no menu ARITHMETIC e deve ser acessada através do catálogo de funções (‚N). Exemplo: PEVAL([1,5,6,1],5) = 281.
como argumentos dois números ou polinômios, representando o numerador e o denominador de uma fração racional e retorna o numerador e denominador simplificados. Por exemplo: SIMP2(‘X^3-1’,’X^2-4*X+3’) = { ‘X^2+X+1’,‘X-3’}. A função PROPFRAC A função PROPFRAC converte uma fração racional em uma fração “própria” i.e. uma parte inteira adicionada a uma parte fracional, se tal decomposição for possível.
A entrada para a função é um vetor que lista as raízes seguidas pela multiplicidade (ex. quantas vezes uma dada raiz é repetida) e os pólos seguidos pela sua multiplicidade representados como um número negativo.
X 3 − 5X 2 + 3X − 2 X −2 é mostrado em detalhe no apêndice C.
O menu CONVERT e operações algébricas O menu CONVERT é ativado usando a tecla „Ú (a tecla 6). Este menu sumariza todos os menus de conversão na calculadora. A lista destes menus é mostrada a seguir: As funções disponíveis em cada um dos submenus são mostradas a seguir. Menu de conversão de UNIDADES (opção 1) Este menu é o mesmo do menu UNITS obtido usando ‚Û. As aplicações deste menu são apresentadas em detalhe no capítulo 3.
As funções I R e R I são usadas para converter um número de inteiro (I) para real (R) ou vice-versa. Os números inteiros são mostrados sem o ponto decimal seguido de espaço, enquanto que os números reais que representam os inteiros terão um ponto decimal seguido de espaço, ex. A função NUM tem o mesmo efeito que a combinação de teclas ‚ï (associada a tecla `). A função NUM converte um resultado simbólico em seu valor de ponto flutuante. Função Q converte um valor de ponto flutuante em uma fração.
neste capítulo. Portanto, para completar apresentamos aqui as entradas para a ajuda destas funções.
Capítulo 6 Soluções para equações individuais Neste capítulo caracterizamos estas funções que a calculadora fornece para a solução de equações individuais da forma f(X) = 0. Associados com a tecla 7 existem dois menus de funções para solução de equações, o Symbolic SoLVer („Î) e o NUMerical SoLVer (‚Ï). A seguir, apresentamos algumas das funções contidas nestes menus. Altere o modo CAS para Complex para estes exercícios (consulte o capítulo 2).
Ao usar o modo RPN, a solução é conseguida inserindo a equação na pilha, seguida da variável, antes de inserir a função ISOL. Logo antes da execução de ISOL, a pilha RPN deve ser similar à figura a esquerda. Depois de aplicar ISOL, o resultado é mostrado na figura a direita: O primeiro argumento no ISOL pode ser uma expressão, conforme mostrado acima ou uma equação. Por exemplo, no modo ALG, tente: Nota: Para digitar o sinal de igual (=) na equação, use ‚Å (associado com a tecla \).
Os seguintes exemplos mostram o uso da função SOLVE nos modos ALG e RPN: A tela mostrada acima exibe duas soluções. Na primeira, β4-5β =125, SOLVE não produz nenhuma solução { }. Na segunda, β4 - 5β = 6, SOLVE produz quatro soluções mostradas na última linha do resultado. A última solução não é visível porque o resultado ocupa mais caracteres do que a largura do visor da calculadora.
Ao usar a tecla de seta para baixo (˜) neste modo ativará a linha de edição: Função SOLVEVX A função SOLVEVX resolve uma equação para a variável CAS padrão contida no nome da variável reservada VX. Por definição, esta variável é configurada para ‘X’. Exemplos, usando o modo ALG com VX = ‘X’, são mostrados abaixo: No primeiro caso SOLVEVX não pode encontrar uma solução. No segundo caso, SOLVEVX encontrou uma só solução, X = 2.
Função ZEROS A função ZEROS encontra as soluções de uma equação de polinômios, sem mostrar sua multiplicidade. A função exige ter como entrada a expressão para a equação e o nome da variável para a solução. Exemplos no modo ALG são mostrados a seguir: Para usar a função ZEROS no modo RPN, entre primeiro a expressão do polinômio, depois a variável para resolver e então a função ZEROS.
Item 2. Solve diff eq.. será apresentado em um capítulo posterior sobre equações diferenciais. Item 4. Solve lin sys.. será apresentado em um capítulo posterior sobre matrizes. Item 6. MSLV (Solcucionador de equações múltiplas) será apresentado no próximo capítulo. A seguir, apresentamos as aplicações dos itens 3. Solve poly.., 5. Solve finance, e 1. Solve equation.., nesta ordem.
O visor mostrará a resolução como segue: Pressione `para retornar à pilha. A pilha mostrará os seguintes resultados no modo ALG (o mesmo resultado será mostrado no modo RPN): Para ver todas as soluções pressione a tecla de seta para baixo (˜) para deslocar a linha de edição: Todas as soluções são números complexos: (0.432,-0.389), (0.432,0.389), (0.766, 0.632), (-0.766, -0.632).
Gerar coeficientes polinomiais dadas as raízes do polinômio Suponha que deseje gerar o polinômio cujas raízes são os números [1, 5, -2, 4]. Para usar a calculadora para este objetivo, siga estes passos: ‚Ϙ˜@@OK@@ ˜„Ô1‚í5 ‚í2\‚í 4@@OK@@ @SOLVE@ Selecione Solve poly… Insira o vetor das raízes Resolva para os coeficientes Pressione ` para retornar a pilha e os coeficientes serão apresentados. Pressione ˜ para lançar o editor linear para ver todos os coeficientes.
‚Ϙ˜@@OK@@ „Ô1‚í5 ‚í2\‚í 4@@OK@@ —@SYMB@ ` Selecione Solve poly… Insira o vetor de coeficientes Gere a expressão simbólica Retorne para a pilha. A expressão gerada desta forma é mostrada na pilha como: 'X^3+5*X^2+-2*X+4'. Para gerar a expressão algébrica usando as raízes, tente o seguinte exemplo. Presuma que as raízes do polinômio sejam [1,3,-2,1].
Cálculos financeiros Os cálculos no item 5. Solve finance.. no Numerical Solver (NUM.SLV) são usados para cálculos do valor do dinheiro no tempo de interesse nas disciplinas de engenharia econômica e outras aplicações financeiras. Esta aplicação pode também ser iniciada usando a combinação de teclas „s Ò (associada a tecla 9). Antes de discutir em detalhes a operação deste ambiente de solução, apresentamos algumas definições necessárias para compreender as operações financeiras na calculadora.
60 @@OK@@ 6.5 @@OK@@ 2000000 @@OK@@ ˜ 0 @@OK@@ — š @@SOLVE! Insira n = 60 Insira I%YR = 6.5 % Insira PV = $ 2.000.000 Salte PMT, dado que a resolveremos Insira FV = 0, a opção End é ressaltada Ressalte PMT e resolva-a O visor de solução é apresentado a seguir: O visor agora mostra o valor de PMT como –39,132.30, i.e. o mutuário deve pagar ao mutuante R$ 39.132,30 no final de cada mês nos próximos 60 meses para quitar o valor total.
Esta tela é interpretada como indicando que depois de 24 meses da quitação do débto, o mutuário pagou R$ 723.211,43 a mais em relação ao valor principal emprestado e $ 215.963,68 de juros. O mutuário tem que pagar um saldo de R$1.276.788,57 nos próximos 36 meses. Verifique o que acontece se substituir 60 em Pagamentos: entrada no visor da amortização , depois pressione @@OK@@ @@AMOR@@. O visor deverá ser similar a este: Isto significa que no final de 60 meses os R$ 2.000.
O visor agora mostra o valor de PMT como -38.921,47, ex. o mutuário deve pagar ao mutuante R$ 38.921,48 no início de cada mês nos próximos 60 meses para quitar o valor total. Observe que o valor que o mutuário paga mensalmente, se for no início de cada período, é levemente menor do que o pago no final de cada período de pagamento. A razão para esta diferença é que o mutuante obtém o ganho dos juros dos pagamentos do início do período, assim aliviando a sua carga. Notas: 1.
³ ‚@@PMT@@ ™ ‚í ³ ‚@@PYR@@ ™ ‚í ³ ‚@@FV@@. ` Insira o nome da variável PMT Insira uma virgula Insira o nome da variável PYR Insira uma virgula Insira o nome da variável FV Execute o comando PURGE As telas a seguir mostram o comando PURGE para excluir todas as variáveis no diretório e o resultado depois de executar o comando.
Insira apenas a expressão como um objeto algébrico e armazene-a na variável EQ. As teclas utilizadas no modo ALG são as seguintes: ³„¸~„x™-S„ì *~„x/3™‚Å 0™ K~e~q` Função STEQ A função STEQ, disponível no catálogo de comandos, ‚N, armazenará seu argumento na variável EQ, ex. no modo ALG: No modo RPN, insira a equação entre as apóstrofes e o STEQ de comando ativo. Assim, a função STEQ pode ser usada como um atalho para armazenar uma expressão na variável EQ.
fazer é ressaltar o campo na frente de X: usando ˜e pressionando @SOLVE@. A solução mostrada é X: 4.5006E-2: Isto, contudo, não é a única solução possível para esta equação. Para obter uma solução negativa, por exemplo, insira um número negativo no campo X: antes de resolver a equação. Tente 3\@@@OK@@˜@SOLVE@. A solução agora é X: -3.045.
de entrada da incógnita. Exemplos de outras soluções de equações são mostrados a seguir.
Use os seguintes atalhos para os caracteres especiais: σ: ~‚s α: ~‚a ∆: ~‚c e observe que as letras minúsculas são inseridas usando ~„ antes da tecla da letra, assim, x é digitada como ~„x. Pressione ` para retornar ao solucionador de equação.
ignorando a expansão termal. Neste caso, insira um valor de 0,005 no campo ex: e um zero no campo ∆T: (com ∆T = 0, nenhum efeito termal é incluido). Para resolver E, ressalte o campo E: e pressione @SOLVE@. O resultado, visto com o recurso @EDIT é E ≈449000 psi. Pressione @SOLVE@ ` para retornar ao visor normal.
Podemos digitar na equação para E como mostrado acima e usar as variáveis auxiliares para A e V, para que o formulário de entrada resultante tenha os campos para as variáveis fundamentais y, Q, g, m e b, como segue: • Primeiro, crie um subdiretório chamado SPEN (energia específica) e trabalhe dentro deste subdiretório. • Depois, defina as seguintes variáveis: • Ative o solucionador numérico para resolver as equações: ‚Ï@@OK@@.
com um valor inicial de 0 (o valor padrão para y, ex. sempre que a solução for vazia, o valor inicial é zero). Para encontrar outra solução, precisamos inserir um valor maior de y, digamos 15, ressalte o campo de entrada y e resolva para y novamente: O resultado é agora 9,99990, ex. y = 9.99990 ft. Este exemplo ilustra o uso de variáveis auxiliares para escrever as equações complicadas. Quando NUM.
o fator de fricção f. A função DARCY pode ser encontrada no catálogo de comandos: Por exemplo, para ε/D = 0.0001, Re = 1000000, você pode encontrar o fator de fricção usando: DARCY (0.0001,1000000). No seguinte visor, a função NUM () foi usada para obter um valor numérico da função: O resultado é f = DARCY (0.0001,1000000) = 0.01341… A função FANNING(ε/D,Re) Nas aplicações aerodinâmicas usamos um fator de atrito diferente chamado de fator de atrito de Fanning.
Além disso, insira as seguintes variáveis (f, A, V, Re): Neste caso armazenamos a equação principal (equação Darcy-Weisbach) no EQ e substituimos diversas de suas variáveis por outras expressões através da definição das variáveis f, A, V e Re. Para ver a equação combinada, use EVAL(EQ).
Suponha que usemos os valores hf = 2 m, ε = 0.00001 m, Q = 0.05 m3/s, Nu = 0.000001 m2/s, L = 20 m e g = 9.806 m/s2, encontre o diâmetro D. Insira os valores de entrada e resolva D, A solução é: 0.12, ex. D = 0.12 m. Se a equação for consistente na sua dimensão, você pode adicionar unidades para os valores de entrada, conforme mostrado na figura abaixo. Portanto, você deve adicionar estas unidades para a estimativa inicial na solução.
Podemos resolver qualquer termo na equação (exceto G) inserindo a equação como: Esta equação é então armazenada no EQ: Ativar o solucionador numérico para esta equação resulta em um formulário de entrada que contém os campos de entrada para F, G, m1, m2 e r. Vamos resolver usando as unidades com os seguintes valores para as variáveis conhecidas m1 = 1.0×106 kg, m2 = 1.0×1012 kg, r = 1.0×1011 m.
Formas diferentes para inserir equações no EQ Em todos os exemplos mostrados acima inserimos a equação a ser resolvida diretamente nas variáveis EQ antes de ativar o solucionador numérico. Você pode digitar realmente a equação a ser resolvida diretamente no solucionador depois de ativá-la editando o conteúdo do campo EQ no formulário de entrada do solucionador numérico.
equação teria que ser armazenada em um nome de variável anteriormente para ativar o solucionador numérico. Por exemplo, suponha que inserimos as seguintes equações nas variáveis EQ1 e EQ2: Agora ative o solucionador numérico (‚Ï@@OK@@ e ressalte o campo EQ. Pressione a tecla @CHOOS. Use as teclas de setas (—˜) para selecionar a variável EQ1: Pressione @@@OK@@@ depois de selecionar EQ1 para carregar na variável EQ no solucionador. A nova equação está pronta para ser resolvida.
Função ROOT A função ROOT é usada par resolver uma equação para uma variável dada com um valor de estimativa inicial. No modo RPN a equação ficará no nível 3 da pilha, enquanto que o nome da variável ficará localizado no nível 2 e a estimativa inicial no nível 1.
Para verificar este resultado, pressione a tecla chamada @EXPR=, que avalia a expressão no EQ para o seu valor atual. Os resultados neste caso são: Para sair do ambiente SOLVR, pressione J. O acesso para o menu SOLVE é perdido neste ponto, então é necessário ativá-lo novamente conforme indicado anteriormente para continuar com os exercícios abaixo. Exemplo 2 – Resolver a equação Q = at2+bt É possível armazenar no EQ uma equação que envolve mais de uma varável, digamos, ‘Q = at^2 + bt’.
A primeira equação, a saber, a*X + b*Y = c, será listada na parte superior do visor. Você pode inserir os valores para as variáveis a, b e c, digamos: 2 [ a ] 5 [ b ] 19 [ c ]. Além disso, podemos resolver apenas uma equação de cada vez, inserindo um valor estimado para Y, digamos, 0 [ Y ] e resolver para X, usando „[ X ]. Isto gera o valor X: 9.4999…. Para verificar o valor da equação nesta altura, pressione @EXPR=. Os resultados são: Esquerda: 19, direita: 19.
• • • • • Inserir uma conjetura com as unidades para uma variável dada, introduzirá o uso destas unidades na solução. Se uma nova conjetura for dada sem as unidades, são usadas aquelas previamente salvas para esta variável em particular. Para remover as unidades insira um número sem elas na lista como a nova conjetura, ex. uso do formato { número }. Uma lista de números pode ser dada como uma conjetura para uma variável.
Função PCOEF Esta função produz os coeficientes [an, an-1, … , a2, a1 , a0] de um polinômio anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0, dado um vetor de suas raízes [r1, r2, …, rn]. Por exemplo, um vetor cujas raízes são dadas por [-1, 2, 2, 1, 0], produzirá os seguintes coeficientes: [1, -4, 3, 4, -4, 0]. O polinômio é x5 - 4x4 + 3x3 + 4x2 - 4x. Função PEVAL Esta função avalia um polinômio, dado um vetor de seus coeficientes, [an, ann n-1 + …+ 1, … , a2, a1 , a0] e um valor x0, ex.
Como exercício, tente usar os valores n = 10, I%YR = 5.6, PV = 10000 e FV = 0 e insira „[ PMT ] para encontrar PMT = -1021.08…. Pressionar L, produz o seguinte visor: Pressionar J para sair do ambiente SOLVR. Encontre seu caminho de volta para o submenu TVM dentro do submenu SOLVE para tentar outras funções disponíveis. Funções TVMROOT Esta função exige como argumento o nome de uma das variáveis no problema TVM.
Capítulo 7 Resolver múltiplas equações Muitos dos problemas de ciência e engenharia exigem a solução simultânea de mais de uma equação. A calculadora fornece diversos procedimentos para resolver equações múltiplas como apresentado abaixo. Observe que nenhuma discussão sobre resolver sistemas de equações lineares é apresentada neste Capítulo. Soluções de sistemas lineares serão discutidos em detalhes em Capítulos subseqüentes sobre matrizes e álgebra linear.
Nesta altura, precisamos apenas pressionar K duas vezes para armazenar estas variáveis. Para resolver, altere primeiro o modo CAS para Exact e depois liste o conteúdo de A2 e A1 nesta ordem: @@@A2@@@ @@@A1@@@ . Use o comando SOLVE nesta altura (do menu S.
distância do raio r do eixo do cilindro as tensões normais nas direções radiais e transversais σrr e σθθ, respectivamente, são dadas por σ θθ = a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po ) , + b2 − a 2 r 2 ⋅ (b 2 − a 2 ) a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po ) σ rr = − . b2 − a 2 r 2 ⋅ (b 2 −a 2 ) Observe que os lados direitos das duas equações diferem apenas no sinal entre os dois termos.
Agora, suponha que desejemos resolver Pi e Po, dado a, b, r, σrr, e σθθ. Inserimos um vetor com as incógnitas: Para resolver Pi e Po, use o comando SOLVE do menu S.SLV („Î), pode levar um minuto para que a calculadora produza o resultado: {[‘Pi=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*a^2)/(2*a^2))’ ‘Po=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*b^2)/(2*b^2))’ ] }, ex. Observe que o resultado inclui um vetor [ ] contido dentro da lista { }. Para remover o símbolo da lista, use µ. Finalmente, para decompor o vetor, use a função OBJ .
Solução para as equações simultâneas com MSLV A função MSLV está disponível como a última opção no menu ‚Ï: A entrada da ajuda para a função MSLV é mostrada a seguir: Exemplo 1 – Exemplo da ajuda Similar a todas as entradas de função na ajuda existe um exemplo anexado a entrada MSLV como mostrado abaixo. Observe que a função MSLV exige três argumentos: 1. Um vetor contendo as equações, ex. ‘[SIN(X)+Y,X+SIN(Y)=1]’ 2. Um vetor contendo as variáveis para serem resolvidas ex. ‘[X,Y]’ 3.
No modo RPN, a solução para este exemplo é produzida usando: Ativar a função MSLV cria a seguinte tela. Você deve ter observado que, enquanto produz a solução, o visor mostra a informação intermediária no canto superior esquerdo. Já que a solução fornecida por MSLV é numérica a informação no canto superior esquerdo mostra os resultados do processo iterativo usado para obter uma solução. A solução final é X = 1.8238, Y = -0.9681.
Tipicamente, é necessário resolver as equações de energia e de Manning simultaneamente para y e Q. Logo que estas equações forem escritas em termos de variáveis primitivas b, m, y, g, So, n, Cu, Q, e Ho, recebemos um sistema de equações da forma f1(y,Q) = 0, f2(y,Q) = 0. Podemos construir estas duas equações conforme a seguir: Supondo que iremos usar o modo ALG e modalidades exatas na calculadora, embora definir as equações e resolvê-las com MSLV é muito similar no modo RPN.
Podemos ver que estas equações são realmente dadas em termos de variáveis primiticas b, m, y, g, So, n, Cu, Q e Ho. Para resolver y e Q precisamos dar valores às outras variáveis. Suponha que usemos H0 = 5 ft, b = 1.5 ft, m = 1, n = 0.012, S0 = 0.00001, g = 32.2 e Cu = 1.486. Antes de poder usar MSLV para a solução, é necessário inserir estes valores nos nomes correspondentes das variáveis. Isto pode ser feito conforme a seguir: Estamos agora prontos para resolver a equação.
A seguir, inseriremos uma variável EQS: LL@@EQS@ , seguida pelo vetor [y,Q]: ‚í„Ô~„y‚í~q™ e pelas estimativas iniciais ‚í„Ô5‚í 10. Antes de pressionar ` o visor será conforme a seguir: Pressione ` para resolver o sistema de equações. Você pode, se sua medida angular não estiver configurada em radianos, obter a seguinte solicitação: Pressione @@OK@@ e permita que a solução continue.
representa a solução. Para ver estes vetores pressione a tecla com a seta para baixo ˜ para ativar a linha de edição. O resultado será mostrado conforme a seguir: A solução sugerida é [4.9936.., 20.661…]. Isto significa, y = 4,99 pés e Q = 20,661 pés3/s. Você pode usar as teclas com as setas (š™—˜) para ver a solução em detalhe.
sin α sin β sin γ = = . a b c A lei do coseno indica que: a2 = b2 + c2 – 2⋅b⋅c⋅cos α, b2 = a2 + c2 – 2⋅a⋅c⋅cos β, c2 = a2 + b2 – 2⋅a⋅b⋅cos γ. Para resolver qualquer triângulo, é necessário conhecer pelo menos três das seguintes seis variáveis: a, b, c, α, β, γ. Então, você pode usar as equações das leis do seno, do coseno e da soma dos ângulos internos de um triângulo, para resolver as outras três variáveis.
de HOME que chamaremos de TRIANG e vá para este diretório. Consulte o capítulo 2 para obter instruções sobre como criar um novo subdiretório. Inserir a lista de equações Dentro do TRIANG, insira a seguinte lista de equações digitando-as na pilha ou usando o Editor de Equação. (Lembre-se que ~‚a produz o caractere α e ~‚b produz β.
~~title` K Insira o nome da variável ‘TITLE’ Armazene em ‘TITLE’ Criar uma lista de variáveis A seguir, crie uma lista de nomes de variáveis na pilha como segue: { a b c α β γ A s } e armazene-a na variável LVARI (Lista de VARIáveis). A lista de variáveis representa a ordem na qual as variáveis serão listadas quando o MES for iniciado. É necessário incluir todas as variáveis das equações ou não funcionará com a função MITM (veja abaixo).
Executar o MES interativamente Para iniciar o MES com as variáveis LVARI e TITLE listadas na pilha, ative o comando MINIT, depois MITM e finalmente MSOLVR (encontre estas funções no catálogo ‚N). O MES é ativado com a seguinte lista de variáveis disponíveis (pressione L para ver a próxima lista de variáveis): Pressione L para ver a terceira lista de variáveis. Será mostrado: Pressione L novamente para recuperar o primeiro menu de variáveis.
Prressione L para mover para o próximo menu de variáveis. Para calcular a área use: „[ A ]. A calculadora resolve primeiro todas as outras variáveis e depois encontra a área como A: 7.15454401063. Nota: Quando uma solução for encontrada, a calculadora relata as condições para a solução ou como Zero ou como Sign Reversal. Outras mensagens podem ocorrer se a calculadora tiver dificuldades para encontrar uma solução.
conjunto particular de equações. Se usar ‚@Mpar para ver o conteúdo da variável Mpar. Obterá a seguinte mensagem crítica: Library Data (dados da biblioteca). O significado disto é que os parâmetros MES são codificados em um arquivo binário que não pode ser acessado pelo usuário. A seguir, queremos colocá-los nas etiquetas de menu em uma ordem diferente daquela listada acima, seguindo estas etapas: 1. Crie uma lista contendo { EQ Mpar LVARI TITLE } usando: „ä @@@EQ@@@ @Mpar! !@LVARI @@TITLE ` 2.
Armazene o programa na variável chamada TRISOL, SOLução de TRIângulo, usando: ³~~trisol` K Pressione J, se for necessário, para recuperar sua lista de variáveis. Um símbolo @TRISO deve estar disponível no seu menu. Executar o programa – exemplos de soluções Para executar o programa, pressione a tecla @TRISO. Terá agora o menu MES correspondente a solução do triângulo. Tentemos os exemplos de três casos listados anteriormente para a solução de triângulo. Exemplo 1 – Hipotenusa Use a = 3, b = 4, c = 5.
Na parte inferior do visor você encontrará as teclas do menu virtual: @VALU @EQNS! @PRINT %%%% %%%% @EXIT O ponto quadrado em @VALU indica que os valores das variáveis, em vez das equações das quais são resolvidas, são mostrados no visor. Para ver as equações usadas na solução de cada variável pressione a tecla do menu virtual @EQNS! . O visor será similar a este: A tecla @PRINT é usada para imprimir o visor na impressora, se estiver disponível.
Adicionar um botão INFO ao seu diretório Um botão de informação pode ser útil em seu diretório para ajudar a lembrar-se da operação das funções no diretório. Neste diretório, tudo que precisamos lembrar é de pressionar @TRISO para iniciar uma solução de triângulo. Você pode querer digitar o seguinte programa: <<“Pressione [TRISO] para iniciar.“ MSGBOX >> e armazene-o em uma variável chamada INFO. Como resultado, a primeira variável no seu diretório será o botão @INFO.
LIST = uma lista de variável usada nos cálculos, colocada na ordem que queremos mostrá-las no ambiente do solucionador de equações múltiplas. PEQ = r, rD, rDD = lista de equações a serem resolvidas, correspondente aos componentes radiais e transversais da velocidade (vr, vθ) e aceleração (ar, aθ) nas coordenadas polares, como também as equações para calcular a magnitude da velocidade y (v) e a aceleração (a) quando os componentes polares forem conhecidos.
variáveis conhecidas. Para calcular as incógnitas podemos proceder de duas formas: a). Resolver as variáveis individuais, por exemplo, „[ vr ] dado vr: 0.500. Pressione L„[ vθ ] para obter vθ : 5.750 e assim por diante. Os resultados restantes são v: 5.77169819031; ar: -14.725; aθ: -13.95; a: 20.2836911089.; ou b). Resolva todas as variáveis de uma vez pressionando „@ALL!. A calculadora piscará as soluções conforme forem encontradas.
Capítulo 8 Operações com listas As listas são um tipo de objeto da calculadora que podem ser úteis para o processamento de dados e para a programação. Este capítulo apresenta exemplos de operações com listas. Definições Uma lista, dentro do contexto da calculadora, é uma série de objetos incluídos entre chaves e separados por espaços (#), no modo RPN, ou vírgulas no (‚í) em ambos os modos.
elementos. No entanto, depois de pressionar `, as vírgulas são substituidas por espaços. Para inserir a mesma lista no modo RPN use as seguintes teclas: „ä 1 # 2 # 3 # 4 ` ~l1`™K A figura abaixo mostra a pilha RPN antes de pressionar a tecla K: Compor e decompor listas Compor e decompor listas faz sentido apenas no modo RPN. Nesse modo de operação, decompor uma lista é conseguido usando a função OBJ .
Nota: Função OBJ aplicada à lista no modo ALG apenas reproduz a lista, adicionando a ela o tamanho da lista: Operações com listas de números Para demonstrar as operações com listas de números, criaremos algumas outras listas, além da lista L1 criada acima: L2={-3,2,1,5}, L3={-6,5,3,1,0,3,4}, L4={3,-2,1,5,3,2,1}. No modo ALG o visor se apresentará assim depois de inserir as listas L2, L3, L4: No modo RPN, o seguinte visor mostra as três listas e seus nomes prontas para serem armazenadas.
A subtração de um único número de uma lista irá subtrair o mesmo número de cada elemento na lista, por exemplo: A adição de um único número em uma lista produz uma lista aumentada pelo número e não uma adição desse único número para cada elemento na lista. Por exemplo: A subtração, multiplicação e a divisão de listas de números do mesmo tamanho produzem uma lista do mesmo tamanho com operações de termo a termo.
Para produzir adição termo a termo de duas listas do mesmo tamanho, é necessário usar o operador ADD. Este operador pode ser localizado usando o catálogo de funções (‚N). O visor abaixo mostra uma aplicação de ADD para adicionar listas L1 e L2, termo a termo: Funções de números reais do teclado As funções de número real do teclado (ABS, ex, LN, 10x, LOG, SIN, x2, √, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, yx) podem ser usadas nas listas.
Funções de número real no menu MTH As funções de interesse no menu MTH incluem a partir do menu HYPERBOLIC: SINH, ASINH, COSH, ACOSH, TANH, ATANH e do menu REAL: %, %CH, %T, MIN, MAX, MOD, SIGN, MANT, XPON, IP, FP, RND, TRNC, FLOOR, CEIL, D R, R D.
Os resultados são listas com a função % distribuída de acordo com o argumento da lista. Por exemplo, %({10, 20, 30},1) = {%(10,1),%(20,1),%(30,1)}, enquanto %(5,{10,20,30}) = {%(5,10),%(5,20),%(5,30)} No seguinte exemplo, ambos os argumentos da função % são listas do mesmo tamanho. Neste caso, uma distribuição termo a termo dos argumentos é realizada, ex.
As funções tais como LN, EXP, SQ, etc., podem também ser aplicadas à uma lista de números complexos, ex. O exemplo seguinte mostra as aplicações das funções RE(parte real), IM(parte imaginária), ABS(magnitude) e ARG(argumento) de números complexos.
O menu MTH/LIST O menu MTH fornece um número de funções referentes exclusivamente as listas.
SORT e REVLIST podem ser combinados para classificar uma lista em ordem decrescente: Manipular os elementos da lista O menu PRG (programação) inclui um submenu LIST com um número de funções para manipular os elementos de uma lista. Com o sinalizador 117 configurado para CHOOSE boxes: Item 1. ELEMENTS..
Extrair e inserir os elementos na lista Para extrair os elementos de uma lista usamos a função GET, disponível no submenu PRG/LIST/ELEMENTS. Os argumentos da função GET são a lista e o número do elemento que você quer extrair. Para inserir um elemento em uma lista usamos a função PUT (disponível também no submenu PRG/LIST/ELEMENTS). Os argumentos da função PUT são a lista, a posição que se deseja substituir e o valor a ser substituído.
A função SEQ Item 2. PROCEDURES.. o menu PRG/LIST contém as seguintes funções que podem ser usadas para operação nas listas. As funções REVLIST e SORT foram apresentadas anteriormente como parte do menu MTH/LIST. As funções DOLIST, DOSUBS, NSUB, ENDSUB e STREAM são projetadas como funções de programação para operar as listas no modo RPN. A função SEQ é util para produzir uma lista de valores dada uma expressão particular, e é descrita aqui com mais detalhes.
A função MAP A função MAP, disponível através do catálogo de comandos (‚N), usa como argumentos uma lista de números e uma função f(X) ou um programa de formulário << a … >>, e produz uma lista consistindo da aplicação da função f ou do programa para a lista de números.
Para solucionar este problema podemos editar o conteúdo da variável @@@G@@@ , que podemos listar na pilha usando …@@@G@@@, para substituir o sinal de mais (+) por ADD: A seguir, armazenamos a expressão editada na variável @@@G@@@: Ao avaliarmos G(L1,L2) produziremos agora o seguinte resultado: Como alternativa você pode definir a função com ADD em vez do sinal de mais (+) do início, ex.
Você pode também definir a função como G(X,Y) = (X--3)*Y. Aplicações de listas Esta seção mostrará algumas aplicações das listas para cálculos estatísticos de uma amostra. Por amostra entendemos uma lista de valores, digamos, {s1, s2, …, sn}. Suponha que a amostra seja a lista {1, 5, 3, 1, 2, 1, 3, 4, 2, 1} e que a armazenamos em uma variável chamada S (o visor abaixo mostra esta operação no modo ALG, entretanto, o procedimento no modo RPN é muito parecido.
Para calcular este valor podemos seguir este procedimento: 1. Aplicar a função INV () para a lista S: 2. Aplicar a função ΣLIST() para a lista resultante em1. 3. Dividir o resultado acima por n = 10: 4. Aplicar a função INV() para o último resultado: Assim, a média harmônica da lista S é sh = 1.
2. Aplique a função XROOT(x,y), ex. teclas ‚» para o resultado em 1: Assim, a média geométrica da lista S é sg = 1.003203… Média ponderada Suponha que os dados na lista S, definidos acima, a saber: S = {1,5,3,1,2,1,3,4,2,1} sejam afetados pelos pesos W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Se definirmos a lista de pesos como W = {w1,w2,…,wn}, observamos que o elemento k na lista W acima pode ser definido por wk = k.
Para calcular a média ponderada dos dados da lista S com os pesos na lista W, usamos os seguintes passos: 1. Multiplique as listas S e W: 2. Use a função ΣLIST neste resultado para calcular o numerador de sw: 3. Use a função ΣLIST novamente para calcular o denominador de sw: 4. Use a expressão ANS(2)/ANS(1) para calcular a média ponderada: Assim, a média ponderada da lista S com os pesos da lista W é sw= 2.2.
representada por uma marca de classe (s) normalmente o ponto médio da classe.
onde N = n ∑w k =1 k representa a contagem total da frequência. O valor médio para os dados nas listas S e W, portanto, pode ser calculado usando o procedimento definido acima para a média ponderada, ex.
Capítulo 9 Vetores Este capítulo fornece exemplos de entrada e operação com vetores, tanto vetores matemáticos de muitos elementos, como também vetores físicos de 2 e 3 componentes. Definições Do ponto de vista matemático, um vetor é um conjunto de 2 ou mais elementos arranjados em uma linha ou coluna. Os vetores serão mencionados como vetores linha ou coluna.
divisão por uma escalar pode ser interpretada como uma multiplicação, ex. A/k = (1/k)⋅A. A adição e subtração de vetores são definidas como A±B = [Ax ± Bx, Ay ± By, Az ± By], onde B é o vetor B = [Bx, By, Bz]. Existem duas definições de produtos de vetores físicos, um escalar ou produto interno (o produto ponto) e um produto externo (o produto vetorial). O produto ponto produz um valor escalar definido como A•B = |A||B|cos(θ), onde θ é o ângulo entre os dois vetores.
No modo RPN, você pode inserir um vetor na pilha abrindo um conjunto de parêntesis e digitando os componentes do vetor ou elementos separados por vírgula (‚í) ou espaços (#). Observe que após pressionar `, em ambos os modos, a calculadora mostra os elementos dos vetores separados por espaços. Armazenar os vetores nas variáveis Os vetores podem ser armazenados nas variáveis.
-Por definição, a célula na primeira linha e primeira coluna são selecionadas. Na parte inferior da folha de cálculo você encontrará as seguintes teclas virtuais de menu: @EDIT! @VEC ←WID @WID→ @GO→ @GO↓ A tecla @EDIT é usada para editar os conteúdos de uma célula selecionada no Matrix Writer. A tecla @VEC@@, quando selecionada, produzirá um vetor, em oposição a matriz de uma linha e diversas colunas.
A tecla @GO→ , quando selecionada, passa automaticamente para a próxima célula para a direita da célula atual quando você pressionar `. Esta opção é selecionada por definição. A tecla @GO↓ , quando selecionada, seleciona automaticamente a próxima célula abaixo da célula atual quando você pressionar `. Mover para a direita e para baixo no Matrix Writer Ative o Matrix Writer e insira 3`5`2`` com a tecla @GO→ selecionada (padrão).
(1) Ative o Matrix Writer usando „². Certifique-se de que as teclas @VEC e @GO→ sejam selecionadas. (2) Insira o seguinte: 1`2`3` L @GOTO@ 2@@OK@@ 1 @@OK@@ @@OK@@ 2`1`5` 4`5`6` 7`8`9` (3) Mova o cursor duas posições acima usando ———. Depois pressione @-ROW. A segunda linha desaparecerá. (4) Pressione @+ROW@. Uma linha de três zeros aparece na segunda fila. (5) Pressione @-COL@. A primeira coluna desaparecerá. (6) Pressione @+COL@. Uma coluna com dois zeros aparece na primeira fila.
No modo RPN: (1) Insira os n elementos do conjunto na ordem que você deseja que apareçam no conjunto (quando ler da esquerda para a direita) na pilha RPN. (2) Insira n como a última entrada. (3) Use a função ARRY. O seguinte visor mostra a pilha RPN antes e depois de aplicar a função ARRY: No modo RPN a função [→ARRY] toma os objetos dos níveis n+1, n, n-1 da pilha, …, para os níveis 3 e 2 e converte-os em um vetor de n elementos.
Para ativar o terceiro elemento de A, por exemplo, você pode digitar na A(3) da calculadora. No modo ALG, digite simplesmente A(3). No modo RPN, digite ‘A(3)’ `µ. Você pode operar com os elementos dos conjuntos escrevendo e avaliando as expressões algébricas tais como: Expressões mais complicadas envolvendo os elementos de A podem também ser escritas.
PUT(conjunto, local a ser substituido, novo valor). Por exemplo, para altera o conteúdo de A(3) para 4.5, use: No modo RPN, você pode alterar o valor de um elemento de A armazenando um novo valor neste elemento em particular. Por exemplo, se queremos alterar o conteúdo de A(3) para ler 4.5 em vez de seu valor atual de –3., use: 4.5`³~a„Ü3 `K Para verificar se a alteração acontece use: ‚@@@@A@@ . O resultado agora é: [1 -2 4.5 -4 -5 ].
Adição e subtração Adição e subtração de vetores exigem que os dois operandos de vetores tenham o mesmo tamanho: Tentar adicionar ou subtrair os vetores de diferentes comprimentos produz uma mensagem de erro (Invalid Dimension), ex. v2+v3, u2+u3, A+v3, etc. Multiplicação e divisão por uma escalar A multiplicação e divisão por um escalar é bastante simples: Função de valor absoluto A função de valor absoluto (ABS) quando aplicada a um vetor, produz a magnitude do vetor.
O menu MTH/VECTOR O menu MTH („´) contém um menu de funções específico para os objetos de vetores: O menu VECTOR contém as seguintes funções (sinalizador do sistema 117 configurado para CHOOSE boxes): Magnitude A magnitude de um vetor, conforme discutido anteriormente, pode ser encontrada com a função ABS. Esta função encontra-se também disponível a partir do teclado („Ê). Exemplos de aplicação da função ABS foram mostrados acima.
Produto vetorial A função CROSS é usada para calcular o produto vetorial de dois vetores 2D, 3-D ou de um vetor 2-D e um 3-D. Para calcular um produto vetorial, um vetor 2-D da forma [Ax, Ay], é tratado como o vetor 3-D [Ax, Ay,0]. Exemplos no modo ALG são mostrados a seguir para os dois vetores 2-D e dois 3-D. Observe que o produto vetorial de dois vetores 2-D produzirão um vetor apenas na direção z, ex.
No modo RPN, as aplicações da função V listarão os componentes de um vetor na pilha, ex. V (A) produzirá o seguinte resultado na pilha RPN (vetor A é listado no nível 6 da pilha).
RECT sistema de coordenadas retangular é mostrado selecionado nestas duas formas: Quando o sistema de coordenadas retangular ou cartesiano for selecionado, a linha superior do visor mostrará um campo XYZ e qualquer vetor 2-D ou 3-D inserido na calculadora é reproduzido como os componentes (x,y,z) do vetor.
para o sistema atual de coordenada. Para este caso, temos x = 4.532, y = 2.112 e z = 2.300. Suponha que agora inserimos um vetor nas coordenadas esféricas (ex., na forma (ρ, θ, φ), onde ρ é o comprimento do vetor, θ é o ângulo que a projeção xy das formas do vetor com o lado positivo do eixo x e φ é o ângulo ρ forma com o lado positivo do eixo z), com ρ = 5, θ = 25o e φ = 45o.
Isto acontece porque os números inteiros são criados para uso com o CAS e, portanto, os componentes deste vetor são mantidos na forma cartesiana. Para forçar a conversão para coordenadas polares insira os componentes do vetor como números reais (i.e. adicione um ponto decimal), ex. [2., 3., 5.].
Resultante de forças Supona que uma partícula é sujeita as seguintes forças (em N): F1 = 3i+5j+2k, F2 = -2i+3j-5k e F3 = 2i-3k. Para determinar a resultante, ex. a soma, de todas estas forças, você pode usar a seguinte abordagem no modo ALG: Assim, a resultante é R = F1+ F2 + F3 = (3i+8j-6k)N.
Assim, o resultado é θ = 122.891o. No modo RPN usa o seguinte: [3,-5,6] ` [2,1,-3] ` DOT [3,-5,6] ` ABS [2,1,-3] ` ABS * / ACOS NUM Momento da força O momento exercido pela força F sobre um ponto O é definido como o produto transversal M = r×F, onde r, também conhecida como o braço da força, é a posição no vetor baseada em O e apontando na direção do ponto de aplicação da força. Suponha que a força F = (2i+5j-6k) N tem um braço r = (3i-5j+4k)m.
Dado um ponto no espaço P0(x0,y0,z0) e um vetor N = Nxi+Nyj+Nzk normal para um plano que contém o ponto P0, o problema é encontrar a equaçao do plano. Nós podemos formar um vetor que inicia no ponto P0 e editar no ponto P(x,y,z), um ponto genérico no plano. Assim, este vetor r = P0P = (xx0)i+ (y-y0)j + (z-z0)k, é perpendicular ao vetor normal N, desde que r é contido totalmente no plano. Aprendemos que para dois vetores normais N e r, N•r =0.
Assim, a equação do plano através do ponto P0(2,3,-1) e com um vetor normal N = 4i+6j+2k é 4x + 6y + 2z – 24 = 0. No modo RPN, use: [2,3,-1] ` ['x','y','z'] ` - [4,6,2] DOT EXPAND Vetores linha, coluna e listas Os vetores apresentados neste capitulo são todos vetores de linha. Em alguns exemplos, é necessário criar um vetor coluna (ex. usar as funções estatísticas pré-definidas na calculadora).
A seguir introduzimos a operação das funções OBJ , LIST, ARRY e DROP com alguns exemplos. Função OBJ Esta função decompõe um objeto em seus componentes. Se o argumento for uma lista, a função OBJ listará os elementos na pilha, com o número de elementos no nível 1 da pilha, por exemplo: {1,2,3} ` „°@)TYPE! @OBJ @ resulta em: Quando a função OBJ for aplicada em um vetor, os elementos do vetor serão listados na pilha com o número de elementos no nível 1: incuido em chaves (uma lista).
Função ARRY Esta função é usada para criar um vetor ou uma matriz. Nesta seção, a usaremos para construir um vetor ou vetor coluna (ex. uma matriz de n linhas e 1 coluna). Para construir um vetor regular inserimos os elementos do vetor na pilha e no nível 1 da pilha: inserimos o tamanho do vetor como uma listas, ex. 1` 2` 3` „ä 3` „°@)TYPE! ! ARRY@. Para construir um vetor coluna de n elementos, insira os elementos do vetor na pilha e no nível 1 da pilha insira a lista {n 1}.
Uma nova variável, @@RXC@@, ficará disponível nas etiquetas do menu virtual depois de pressionar J: Pressione ‚@@RXC@@ para ver o programa contido na variável RXC: << OBJ 1 + ARRY >> Esta variável, @@RXC@@, pode agora ser usada para transformar diretamente um vetor linha em um vetor coluna. No modo RPN, inserimos um vetor linha e depois pressionamos @@RXC@@. Tente, por exemplo: [1,2,3] ` @@RXC@@. Depois de definir esta variável, podemos usá-la no modo ALG para transformar um vetor linha em vetor coluna.
3 - Pressione a tecla delete ƒ (também conhecida como função DROP) para eliminar o número no nível 1 na pilha: 4 - Use a função LIST para criar uma lista 5 - Use a função ARRY para criar o vetor linha Estas cinco etapas podem ser colocadas juntas no programa UserRPL e inseridas conforme a seguir (no modo RPN) ‚å„°@)TYPE! @OBJ @ @OBJ @ „°@)STACK @DROP „°@)TYPE! ! LIST@ ! ARRY@ ` ³~~cxr ` K Uma nova variável, @@CXR@@, ficará disponível nas etiquetas do menu virtual depois de pressionar J: Pressione ‚@@C
resultando em: Transformar uma lista em um vetor Para ilustrar esta transformação, inseriremos a lista {1,2,3} no modo RPN.
Esta variável, @LXV@@, pode agora ser usada para transformar diretamente uma lista em um vetor. No modo RPN insira a lista e depois pressione @@LXV@@. Tente, por exemplo: {1,2,3} ` @@LXV@@. Depois de definir a variável @@LXV@@, podemos usá-la no modo ALG para transformar uma lista em vetor.
Capítulo 10 Criar e manipular matrizes Este capítulo mostra um número de exemplos direcionados para criar matrizes na calculadora e demonstrar a manipulação de elementos de matrizes. Definições Uma matriz é simplesmente um conjunto retangular de objetos (ex. números, expressões algébricas) com um número de linhas e colunas. Uma matriz A com n linhas e m colunas terá, em consequência, n×m elementos.
Inserir matrizes na pilha Nesta seção apresentamos dois métodos diferentes de inserir matrizes na pilha da calculadora: (1) usando o Editor de Matrizes e (2) digitando a matriz diretamente na pilha. Usar o Editor de Matriz Como no caso dos vetores, discutido no capítulo 9, as matrizes podem ser inseridas usando o Editor de Matriz. Por exemplo, para inserir a matriz − 2 .5 4 .2 2 .0 0 .3 1.9 2.8, 2 − 0.1 0.5 primeiro, ative o Editor de Matriz usando „².
Se você selecionou a opção textbook no visor (usando H@)DISP! e desmarcando Textbook), a matriz apresentará a seguinte forma. Caso contrário, o visor mostrará: O visor no modo RPN será similar aos apresentados a seguir. Nota: Os detalhes sobre o uso do Editor de Matriz foram apresentados no capítulo 9. Digitar na matriz diretamente para a pilha O mesmo resultado acima pode ser alcançado inserindo o seguinte diretamente na pilha: „Ô „Ô 2.5\ ‚í 4.2 ‚í 2 ™ ‚í „Ô .3 ‚í 1.9 ‚í 2.8 ™ ‚í „Ô 2 ‚í .1\ ‚í .
Para exercícios futuros, salvemos esta matriz sob o nome A. No modo ALG use K~a. No modo RPN, use ³~a K.
Como podemos ver, da exploração destes menus (MAKE e CREATE), eles possuem as mesmas funções GET, GETI, PUT, PUTI, SUB, REPL, RDM, RANM, HILBERT, VANDERMONDE, IDN, CON, →DIAG e DIAG→. O menu CREATE inclui os submenus COLUMN e ROW que estão também disponíveis no menu MTH/MATRIX. O menu MAKE inclui as funções SIZE que o menu CREATE não inclui. Basicamente, no entanto, ambos os menus, MAKE e CREATE, fornecem ao usuário o mesmo conjunto de funções.
Com o sinalizador do sistema 117 configurado para menus SOFT, as funções do menu CREATE, ativadas pelo „Ø)@CREAT, serão mostradas como segue: Nas próximas seções apresentaremos as aplicações das funções de matriz no menu MAKE e CREATE. As funções GET e PUT As funções GET, GETI, PUT e PUTI, operam com matrizes de forma similar à das listas ou vetores, ex. você precisa fornecer o local do elemento que deseja para GET (OBTER) ou PUT (INSERIR).
No modo RPN você pode usar: J @@@A@@@ {3,1} ` „ì PUT. De forma alternativa, no modo RPN você pode usar: „ì³A(2,3) ` K . Para ver o conteúdo da variável A depois desta operação, use @@@A@@@. Funções GETI e PUTI As funções PUTI e GETI são usadas nos programas UserRPL pelo fato de que elas mantêm o controle de um índice para aplicações repetidas das funções PUT e GET. A lista de índices nas matrizes varia primeira por coluna.
Função SIZE A função SIZE fornece uma lista que mostra o número de linhas e colunas da matriz no nível 1 da pilha. O visor a seguir mostra algumas aplicações da função SIZE no modo ALG: No modo RPN, estes exercícios são feitos usando @@@A@@@ SIZE e [[1,2],[3,4]] ` SIZE . Função TRN A função TRN é usada para a transconjugação de uma matriz, ex. a transposição (TRAN) seguida pelo seu conjugado complexo (CONJ).
Por exemplo, no modo ALG: Função CON A função usa como argumento uma lista de dois elementos, correspondente ao número de linhas e colunas da matriz a ser gerada, e um valor constante. A função CON gera uma matriz com elementos constantes. Por exemplo, no modo ALG, o seguinte comando cria uma matriz 4×3 cujos elementos são todos iguais a –1.5: No modo RPN isto é alcançado usando {4,3} ` 1.5 \ ` CON. Função IDN A função IDN (IdeNtity matrix) cria uma matriz identidade dado o seu tamanho.
Você pode usar também uma matriz quadrada existente como argumento da função IDN, ex. A matriz identidade resultante terá as mesmas dimensões da matriz argumento. Observe que uma tentativa de usar uma matriz retangular (ex. não quadrada) como o argumento de IDN produzirá um erro. No modo RPN, os dois exercícios mostrados acima são criados usando: 4` IDN and @@@A@@@ IDN. Função RDM A função RDM (ReDiMensioning) é usada para reescrever vetores e matrizes como matrizes e vetores.
Redimensionar uma matriz em uma outra matriz No modo ALG, podemos agora usar a matriz criada acima e redimensioná-la em uma matriz de 3 linhas e 2 colunas: No modo RPN, podemos apenas usar {3,2}` RDM. Redimensionar uma matriz em um vetor Para redimensionar uma matriz em um vetor, usamos como argumentos a matriz seguida por uma lista que contém o número de elementos da matriz.
No modo RPN, use {2,3} ` RANM. Obviamente, os resultados obtidos na sua calculadora certamente serão diferentes daqueles mostrados acima. Os números aleatórios gerados são números inteiros uniformemente distribuidos na faixa [-10,10], ex. cada um destes 21 números tem a mesma probabilidade de ser selecionado.
mostra a aplicação da função RPL para substituir a matriz em ANS(2), a matriz 2×2 na matriz 3×3 atualmente localizada em ANS(1), iniciando na posição {2,2}: Se estiver usando o modo RPN, supondo que a matriz 2×2 estava originalmente na pilha, procedemos como segue: [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]`™ (esta última tecla troca o conteúdo dos níveis 1 e 2 da pilha) {1,2} ` ™ (outra troca de níveis 1 e 2) REPL.
produz uma matriz diagonal com os primeiros 3 elementos do argumento do vetor: No modo RPN podemos usar [1,-1,2,3] ` {3,3}` DIAG para obter o mesmo resultado acima. Outro exemplo da aplicação da função DIAG→ a função segue, no modo ALG: No modo RPN, use [1,2,3,4,5] ` {3,2}` DIAG . Neste caso, uma matriz 3×2 foi criada usando como elementos diagonais principais tantos elementos quanto possível do vetor [1,2,3,4,5].
1 1 1 M 1 x1 x2 x3 M xn x12 L x1n −1 x 22 L x 2n −1 x32 L x3n −1 M O M x n2 L x nn −1 Por exemplo, o seguinte comando no modo ALG para a lista {1,2,3,4}: No modo RPN insira {1,2,3,4} ` VANDERMONDE. Função HILBERT A função HILBERT cria a matriz Hilbert correspondendo a uma dimensão n. Por definição, a matriz Hilbert n×n é Hn = [hjk]n×n, para que h jk = 1 j + k −1 A matriz Hillbert tem aplicações no ajuste de curvas numéricas pelo método de quadrados lineares.
configurado para menus SOFT. Esta seção foi criada para que você pratique o acesso às funções de programação da calculadora. Os programas estão listados abaixo mostrando, no lado esquerdo, as teclas necessárias para inserir as etapas do programa e, no lado direito, os caracteres inseridos no visor conforme você usa esta combinação de teclas. Primeiro, apresentamos os passos necessários para produzir o programa CRMC.
~ „j #1+ „°@)STACK! L@ROLL! „°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT! „°@)BRCH! )@@IF@! @END@ ~„n # „´@)MATRX! @)COL! @COL! j1+ ROLL NEXT END n COL ` O programa é exibido no nível 1 Para salvar o programa: ³~~crmc~ K Nota: Se você salvar este programa no seu diretório HOME ele estará disponível de qualquer subdiretório que usar. Para ver o conteúdo do programa use J‚@CRMC. A lista de programa é a seguinte.
Listas representam as linhas da matriz O programa anterior pode ser facilmente alterado para criar uma matriz quando as listas de entradas tornam-se as linhas da matriz resultante. A única alteração a ser feita é a mudança de COL→ para ROW→ na lista de programas.
ou através do submenu MATRICES/CREATE/COLUMN: Ambas abordagens mostrarão as mesmas funções: Quando o sinalizador do sistem 117 for configurado para menus SOFT, o menu COL está acessível através „´!)MATRX !)@MAKE@ !)@@COL@ ou de „Ø!)@CREAT@ !)@@COL@ . Ambas abordagens mostrarão o mesmo conjunto de funções: A operação destas funções é apresentada abaixo. Função COL A função →COL usa como argumento uma matriz e a decompõe em vetores correspondentes às suas colunas.
No modo RPN, você precisa listar a matriz na pilha e ativar a função →COL, ex. @@@A@@@ →COL. A figura abaixo mostra a pilha RPN antes e depois da aplicação da função →COL. Neste resultado, a primeira coluna ocupa o nível mais elevado da pilha depois da decomposição e o nível 1da pilha é ocupado pelo número de colunas da matriz original. A matriz não sobrevive a decomposição, ex. não está mais disponível na pilha. Função COL A função COL→ tem efeito oposto ao da função →COL, ex.
Função COL+ A função COL+ usa como argumento uma matriz, um vetor com o mesmo comprimento do número de linhas da matriz e um número inteiro n representando o local de uma coluna. A função COL+ insere o vetor na coluna n da matriz. Por exemplo, no modo ALG, podemos inserir a segunda coluna na matriz A com o vetor [-1,-2,-3], ex. No modo RPN insira a matriz primeiro, depois o vetor e o número da coluna, antes de aplicar a função COL+.
No modo RPN, coloque a matriz na pilha primeiro, depois insira o número representando o local da coluna antes de aplicar a função COL-. A figura a seguir mostra a pilha RPN antes e depois de aplicar a função COL-. Função CSWP A função CSWP (Column SWaP) usa como argumentos dois índices, digamos, i e j, (representando duas colunas distintas na matriz) e uma matriz, e produz uma nova matriz com as colunas i e j trocadas. O exemplo a seguir, no modo ALG, mostra uma aplicação desta função.
ou através do submenu MATRICES/CREATE/ROW: Ambas abordagens mostrarão as mesmas funções: Quando o sinalizador de sistema 117 for configurado para menus SOFT, o menu ROW fica acessível através „´!)MATRX !)@MAKE@ !)@@ROW@ ou de „Ø!)@CREAT@ !)@@ROW@ . Ambas abordagens mostrarão o mesmo conjunto de funções: A operação destas funções é apresentada abaixo. Função ROW A função →ROW usa como argumento uma matriz e a decompõe em vetores correspondentes às suas linhas.
No modo RPN, você precisará listar a matriz na pilha, e a função de ativação →ROW, ex., @@@A@@@ →ROW. A figura abaixo mostra a pilha RPN antes e depois da aplicação da função →ROW. Neste resultado, a primeira linha ocupa o nível mais elevado da pilha depois da decomposição, e o nível 1 é ocupado pelo número de linhas da matriz original. A matriz não sobrevive à decomposição, ex. não está mais disponível na pilha. Função ROW A função ROW→ tem o efeito oposto ao da função →ROW, ex.
Função ROW+ A função ROW+ usa como argumento uma matriz, um vetor com o mesmo comprimento do número de linhas da matriz e um número inteiro n representando o local de uma linha. A função ROW+ insere o vetor na linha n da matriz. Por exemplo, no modo ALG, podemos inserir a segunda linha na matriz A com o vetor [-1,-2,-3], ex. No modo RPN, insira a matriz primeiro, depois o vetor e o número da linha antes de aplicar a função ROW+.
No modo RPN, coloque a matriz na pilha primeiro, depois insira o número representando o local da linha antes de aplicar a ROW-. A figura abaixo mostra a pilha RPN antes e depois de aplicar a função ROW-. Função RSWP A função RSWP (Row SWaP) usa como argumentos dois índices, digamos, i e j, (representando duas linhas distintas em uma matriz) e uma matriz, e produz uma nova matriz com as linhas i e j trocadas. O exemplo seguinte, no modo ALG, mostra uma aplicação desta função.
Este mesmo exercício feito no modo RPN é mostrado na próxima figura. A figura à esquerda mostra a configuração da matriz, o fator e o número da linha nos níveis 3, 2 e 1 da pilha. A figura à direita mostra a matriz resultante depois que a função RCI foi ativada.
Capítulo 11 Operações de matriz e álgebra linear Neste capítulo 10 introduzimos o conceito de uma matriz e apresentamos um número de funções para inserir, criar ou manipular as matrizes. Neste capítulo apresentamos os exemplos das operações com matriz e aplicações para os problemas de álgebra linear. Operações com matrizes As matrizes, como outros objetos matemáticos, podem ser adicionados ou subtraídos. Elas podem ser multiplicadas por um escalar ou entre si.
Adição e subtração Considere um par de matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]m×n. A adição e subtração destas duas matrizes é apenas possível se tiverem o mesmo número de linhas e colunas. A matriz resultante, C = A ± B = [cij]m×n tem dois elementos cij = aij ± bij. Alguns exemplos são mostrados abaixo usando as matrizes armazenadas acima (modo ALG).
Combinar adição e subtração com multiplicação por uma escalar podemos formar as combinação lineares das mesmas dimensões, ex. Na combinação linear de matrizes, podemos multiplicar uma matriz por um número imaginário para obter uma matriz de números complexos, ex. Multiplicação de vetor-matriz A multiplicação de vetor-matriz é possível apenas se o número de colunas da matriz for igual ao comprimento do vetor. Esta operação segue as regras da multiplicação de matriz conforme mostrados na próxima seção.
A multiplicação vetor-matriz, por outro lado, não é definida. Esta multiplicação pode ser feita como um caso especial de multiplicação de matriz conforme definido a seguir. Multplicação da matriz A multiplicação de matriz é definida por Cm×n = Am×p⋅Bp×n, onde A = [aij]m×p, B = [bij]p×n, e C = [cij]m×n. Observe que a multiplicação de matriz é apenas possível se o número de colunas no primeiro operando for igual ao número de linhas do segundo operando.
O produto de um vetor com uma matriz é possível se o vetor for um vetor linha, ex. matriz 1×m, que multiplicada com uma matriz m×n produz uma matriz 1xn (outro vetor linha). Para a calculadora identificar um vetor linha, é necessário suar parênteses duplos para inseri-lo, ex. Multiplicação termo a termo A multiplicação termo a termo de duas matrizes das mesmas dimensões é possível através do uso da função HADAMARD. O resultado, é naturalmente, outra matriz das mesmas dimensões.
A matriz inversa A inversa da matriz quadrada A é a matriz A-1 tal que A⋅A-1 = A-1⋅A = I, onde I é a matriz identidade das mesmas dimensões como A. A inversa da matriz é obtida na calculadora usando a função inversa, INV (ex. a tecla Y).
O submenu contém as seguintes funções: Estas operações são descritas a seguir. Por causa de diversas funções usamos os conceitos de teoria de matriz, tal com valores singular, posição, etc., incluiremos descrições curtas destes conceitos misturados com a descrição das funções. Função ABS A função ABS calcula o que conhecemos como a norma Frobenius de uma matriz.
A função SNRM A função SNRM calcula a NoRM espectral da matriz, que é definida como o maior valor singular da matriz, conhecido também como a norma Euclidean da matriz. Por exemplo, Decomposição do valor singular Para compreender a operação da função SNRM é necessário introduzir o conceito de decomposição de matriz.
Regras de linha e de coluna de uma matriz A norma de linha de uma matriz é calculada tomando as somas dos valores absolutos de todos os elementos em cada linha e depois selecionar o máximo destas somas. A norma de coluna de uma matriz é calculada tomando as somas dos valores absolutos de todos os elementos em cada coluna e depois selecionar o máximo destas somas.
Número de condições de uma matriz O número de condição de uma matriz não singular quadrada é definido como o produto da regra da matriz vezes a regra de sua inversa, ex., cond(A) = ||A||×||A-1||. Escolheremos como regra da matriz, ||A||, o máximo de usa regra de linha (RNRM) e regra de coluna (CNRM), enquanto a regra da inversa, ||A-1||, será selecionada como o mínimo de suas regras de linha e de coluna. Assim, ||A|| = max(RNRM(A),CNRM(A)) e ||A1 || = min(RNRM(A-1), CNRM(A-1)).
Função RANK A função RANK determina a posição de uma matriz quadrada. Tente os seguintes exemplos: A posição de uma matriz A posição de uma matriz quadrada é o número máximo de linhas ou colunas independentes linearmente que a matriz contém. Suponha que escreva uma matriz quadrada An×n como = [c1 c2 … cn], onde ci (i = 1, 2, …, n) são vetores representando as colunas da matriz A, então, , se qualquer uma dessas colunas, digmos, ck, podem ser escritas como c k = ∑d ⋅c j, j j ≠ k , j∈{1, 2 ,...
Descobrirá que a posição é 2. Que é por causa da segunda linha [2,4,6] é igual a primeira linha [1,2,3] multiplicada por 2, assim, a linha dois é liearnmente dependente da linha 1 e o número máximo de linhas independentes linearmente é 2. Você pode verificar que o número máximo de colunas linearmente independente é 3. A posição sendo o número máximo de linhas ou colunas independente linearmente torna-se 2 para este caso. Função DET A função DET calcula a determinante de uma matriz quadrada.
A determinante é 2×2, portanto, a11 a 21 a12 = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21 a 22 Uma determinante 3×3 é calculada aumentando a determinante, uma operação que consiste em copiar as primeiras duas colunas da determinante e colocá-las a direita da coluna 3, como mostrado no diagrama abaixo. O diagrama mostra também os elementos que serão multiplicados com o sinal correspondente para cada produto, de forma similar conforme feito anteriormente para uma determinante 2×2.
mais eficiente e preferido em aplicações numéricas é usar um resultado da eliminação Gaussiana. O método de eliminação gaussiana é usado para resolver sistemas de equações lineares. Os detalhes deste método são apresentados em uma parte posterior deste capítulo. Para consultar a determinante de uma matriz A, escrevemos det(A). Uma matriz singular tem uma determinante igual a zero.
O submenu OPERATIONS inclui as seguintes funções: As funções ABS, CNRM, COND, DET, RANK, RNRM, SNRM, TRACE e TRAN são também encontradas no menu MTH/MATRIX/NORM (o objeto da seção anterior). A função SIZE foi apresentada no capítulo 10. A função HADAMARD foi apresentada no contexto da multiplicação da matriz. As funções LSQ, MAD e RSD são relacionadas a solução de sistemas de equações lineares e serão apresentadas em uma seção subsequente neste capítulo.
Função LCXM A função LCXM pode ser usada para gerar matrizes tal como o elemento aij é uma função de i e j. A entrada para esta função consiste de dois números inteiros de linhas e colunas da matriz a ser gerada e um programa que toma i e j como entrada. Os números n, m, e o programa ocupam os níveis 3, 2, e 1 da pilha, respectivamente. Função LCXM é encontrada no catálogo de comando ‚N.
Solução de sistemas lineares Um sistema de equações lineares n nas variáveis m pode ser escrito como a11⋅x1 + a12⋅x2 + a13⋅x3 + …+ a21⋅x1 + a22⋅x2 + a23⋅x3 + …+ a31⋅x1 + a32⋅x2 + a33⋅x3 + …+ . . . … . . . … an-1,1⋅x1 + an-1,2⋅x2 + an-1,3⋅x3 + …+ an1⋅x1 + an2⋅x2 + an3⋅x3 + …+ a1,m-1⋅x m-1 a2,m-1⋅x m-1 a3,m-1⋅x m-1 . . an-1,m-1⋅x m-1 an,m-1⋅x m-1 + a1,m⋅x m + a2,m⋅x m + a3,m⋅x m . . + an-1,m⋅x m + an,m⋅x m = b1, = b2, = b3, . . = bn-1, = bn.
solução é também copiada para o nível 1 da pilha. Alguns exemplos são mostrados a seguir. Um sistema quadrado O sistema de equações lineares 2x1 + 3x2 –5x3 = 13, x1 – 3x2 + 8x3 = -13, 2x1 – 2x2 + 4x3 = -6, podem ser escritos como a equação da matriz A⋅x = b, se 13 x1 2 3 − 5 A = 1 − 3 8 , x = x 2 e b = − 13. − 6 x3 2 − 2 4 Este sistema tem o mesmo número de equações como desconhecido e será mencionado como um sistema quadrado.
Depois de inserir a matriz A e o vetor b e com o o campo X ressaltado, nós podemos pressionar @SOLVE! para tentar uma solução para este sistema de equações: Uma solução foi encontrada conforme mostrado a seguir. Para ver a solução na pilha pressione `. A solução é x = [1,2,-1].
podem ser escritos como a equação da matriz A⋅x = b, se x1 2 3 − 5 − 10 A= , x = x2 , e b = . 85 1 − 3 8 x3 Este sistema tem mais incógnitas do que equações e, portanto não é exclusivamente determinada. Podemos visualizar o significado desta afirmação percebendo que cada uma das equações lineares representam um plano no sistema de coordenada cartesiana tridimensional (x1, x2, x3).
Assim, a solução é x = [15.373, 2.4626, 9.6268]. Para retornar ao ambiente do solucionador numérico, pressione `. O procedimento que descrevemos a seguir pode ser usado para copiar a matriz A e o vetor de solução X na pilha. Para verificar se a solução está correta tente o seguinte: • • • • • • Pressione Pressione Pressione Pressione pilha. Pressione Pressione —— para ressaltar o campo A. L @CALC@ ` para copiar a matriz A na pilha. @@@OK@@@ para retornar ao ambiente do solucionador numérico.
Pressione K~a` para armazenar a matriz na variável A Verifiquemos agora a solução usando: @@@A@@@ * @@@X@@@ `, que resulta em (pressione ˜ par aver os elementos do vetor): [-9,99999999999 85. ], próximo o suficiente do vetor original b = [-10 85]. Tente também isto, @@A@@@ * [15,10/3,10] ` ‚ï`, ex.
Este sistema tem mais equações do que incógnitas (um sistema subdeterminado). O sistema não tem uma única solução. Cada uma das equações lineares no sistema apresentado acima representa uma linha reta em um sistema de coordenada cartesiana bidimensional (x1, x2). A menos duas ou três equações no sistema representa a mesma equação, as três linhas terão mais do que um ponto de interseção. Por esta razão, a solução não é única.
• • • • Pressione Pressione pilha. Pressione Pressione @@@OK@@@ para retornar ao ambiente do solucionador numérico. ˜ ˜@CALC@ ` para copiar o vetor de solução X na @@@OK@@@ para retornar ao ambiente do solucionador numérico. ` para retornar a pilha.
• • Se A for menor do que uma posição de linha inteira (sistema subdeterminado de equações), LSQ retorna a solução com o comprimento euclidiano mínimo de um número infinito de soluções. Se A for menor do que uma posição de coluna inteira (sistema subdeterminado de equações), LSQ retorna a "solução" com o valor residual mínimo e = A⋅x – b. O sistema de equação pode não ter uma solução, portanto, o valor retornado não é a solução real para o sistema, apenas um com o menor residual.
Sistema subdeterminado Considere o sistema 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, x1 – 3x2 + 8x3 = 85, com x1 − 10 2 3 − 5 A= , x = x 2 e b = . 85 1 − 3 8 x3 A solução usando LSQ é mostrada a seguir: Sistema superdeterminado Considere o sistema x1 + 3x2 = 15, 2x1 – 5x2 = 5, -x1 + x2 = 22, com 3 15 1 x1 A = 2 − 5, x = e b = 5 .
Compare estas três soluções com aquelas calculadas com o solucionador numérico. Solução com a matriz inversa A solução para o sistema A⋅x = b, onde A é uma matriz quadrada é x = A-1⋅ b. Isto resulta da multiplicação da primeira equação por A-1, ex. A-1⋅A⋅x = A-1⋅ b. Por definição, A-1⋅A = I, assim escrevemos I⋅x = A-1⋅b. Também, I⋅x = x, assim, temos, x = A-1⋅ b.
Solução pela "divisão” de matrizes Enquanto a operação da divisão não for definida para matrizes, podemos usar a tecla / da calculadora para “dividir” o vetor b pela matriz A para resolver x na equação de matriz A⋅x = b. Esta é uma extensão arbitrária da operação da divisão algébrica para matrizes, ex. De A⋅x = b, ousaremos escrever x = b/A (os matemáticos se encolheriam se vissem isso!) Isto naturalmente é interpretado como (1/A)⋅b = A-1⋅b, que é o mesmo que usar a inversa de A como na seção anterior.
14 9 − 2 B = 2 − 5 2 . 5 19 12 Os sub-índices nos nomes das variáveis X, Y e Z, determinam qual o sistema de equação eles se referem. Para resolver este sistema expandido usamos o seguinte procedimento no modo RPN, [[14,9,-2],[2,-5,2],[5,19,12]] ` [[1,2,3],[3,-2,1],[4,2,-1]] `/ O resultado deste operação é: 2 1 2 1 .
Podemos armazenar estas equações na calculadora em variáveis E1, E2 e E3, respectivamente, conforme mostrado abaixo. Para fazer o backup foi criada e armazenada uma lista de três equações em variáveis EQS. Desta forma, se for cometido um erro, as equações ainda estarão disponíveis para o usuário.
Observe que quando fazemos uma combinação linear de equações da calculadora alteramos o resultado para uma expressão no lado esquerdo do sinal de igual, ex., uma expressão = 0. Assim, o último conjunto de equações é interpretado como o conjunto equivalente de equações: X +2Y+3Z = 7, Y+ Z = 3, -7Z = -14. O processo de substituição regressiva na eliminação gaussiana consiste em encontrar os valores das incógnitas, começando da última equação e trabalhando de forma ascendente.
6 14 X 2 4 A = 3 − 2 1 , x = Y , b = − 3. 4 2 − 1 − 4 Z Para obter uma solução para o sistema de equação matriz usando a eliminação gaussiana, criamos primeiro o que é conhecido como matriz aumentada correspondente a A, ex. A aug 2 4 6 14 = 3 − 2 1 − 3 4 2 −1 − 4 A matriz Aaug é a mesma da original A com uma nova linha correspondente aos elementos do vetor b, adicionada (ex. aumentado) a direita da coluna mais a direita de A.
Multiplique a linha 1 por –3 adicionando-a a linha 2 e substituindo-a: 3\ # 1 #2 @RCIJ! Multiplique a linha1 por -4 adicionando-a a linha 3 e substituindo-a: 4\ # 1 #3 @RCIJ! Multiplique a linha 2 por –1/8: 8\Y2 @RCI! Multiplique a linha 2 por 6 adicionando-a a linha 3 e substituindo-a: 6#2#3 @RCIJ! Se estiver fazendo estas operações manualmente é necessário escrever o seguinte: 2 4 6 14 1 2 3 7 A aug = 3 − 2 1 − 3 ≅ 3 − 2 1 − 3 4 2 −1 − 4 4 2 −1 − 4 1 2 3 7 1 2 3 7
que pode agora ser resolvida, uma equação de cada vez, por substituição regressiva, conforme o exemplo anterior. Eliminação Gaussian-Jordan usando matrizes A Eliminação Gauss-Jordan consiste na continuação das operações de linha na matriz triangular superior resultando do processo de eliminação progressiva até que a matriz identidade resulta no local da matriz original A.
que o elemento pivô se torne o zero, neste caso não podemos dividir a linha por seu pivô. Além disso, para melhorar a solução numérica de um sistema de equações usando a eliminação gaussiana ou Gauss-Jordan, recomenda-se que o pivô será o elemento com o maior valor absoluto em uma dada coluna. Em tais casos, trocamos as linhas antes de fazer as operações de linha. Esta troca de linhas é chamada de pivô parcial.
A aug 1 0 0 1 2 3 2 = 2 0 3 − 1, P = 0 1 0. 0 0 1 8 16 − 1 41 Armazene a matriz aumentada na variável AAUG, depois pressione ‚ @AAUG para obter uma cópia na pilha. Queremos manter o comando CSWP (troca de coluna) acessível, onde usaremos: ‚N~~cs~ (encontre CSWP), @@OK@@. Você obterá uma mensagem de erro, pressione $ e ignore a mensagem. A seguir, obtenha o menu ROW disponível pressionando: „Ø @)CREAT @)@ROW@.
16Y1L @RCI@. A matriz de permutação não muda, mas a matriz aumentada é agora: 1 1/2 -1/16 41/16 0 0 1 0 2 3 -1 1 0 0 2 1 3 2 0 1 0 A próxima etapa é eliminar 2 da posição (3,2) usando: 2\#1#3@RCIJ 1 0 0 1/2 -1/16 41/16 2 3 -1 0 25/8 -25/8 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Depois de preencher com zeros os elementos da coluna 1 abaixo do pivô, verificamo-lo na posição (2,2).
3\#2# 3@RCIJ 1 0 0 -1/16 1/2 1 0 0 2 41/16 -1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 Depois de preencher com zeros a posição abaixo do pivô, verificamo-lo na posição (3,3). O valor atual de 2 é maior do que ½ ou 0, assim mantemo-lo inalterado.
0 1 0 2 X x = Y , b' = − 1, P = 0 0 1. 1 0 0 1 Z A solução é dada por P⋅x=b’ ou 0 1 0 X 3 0 0 1 ⋅ Y = − 1. 1 0 0 Z 1 Que resulta em Y 3 Z = − 1.
A calculadora mostra uma matriz aumentada que consistem da matriz do coeficiente A e a matriz identidade I, enquanto ao mesmo tempo mostra o seguinte procedimento para calcular: L2 = L2-2⋅L1 significa “substituir a linha 2 (L2) com a operação L2 – 2⋅L1. Se tivermos feito esta operação manualmente, teríamos correspondido a: 2\#1#1@RCIJ. Pressione @@@OK@@@ e siga as operações no visor da sua calculadora.
Depois de ir através de diferentes etapas, a solução retornada é: o que a calculadora mostrou não foi exatamente uma eliminação GaussJordan com pivotal total, mas uma forma de calcular a inversa de uma matriz fazendo a eliminação Gauss-Jordan sem pivotal. Este procedimento para calcular a inverse é baseado na matriz aumentada (Aaug)n×n = [A n×n |In×n]. A calculadora mostrou suas etapas até o ponto no qual a metade a esquerda da matriz aumentada foi convertida a matriz diagonal.
Solução para sistemas lineares usando as funções da calculadora a forma mais simples para resolver um sistema de equações lineares A⋅x = b, na calculadora é inserir b, insira A e depois use a função da divisão /. Se o sistema de equações lineares for superdeterminado ou subdeterminado, uma “solução” pode ser produzida usando a função LSQ (Least-SQuares), conforme mostrado anteriormente.
A função LINSOLVE funciona com as expressões simbólicas. As funções REF, rref e RREF funcionam com a matriz aumentada na abordagem de eliminação Gaussian. Funções REF, rref e RREF A forma triangular superior onde a matriz aumentada é reduzida durante a parte da eliminação progressiva de um procedimento de eliminação Gaussian é conhecida como uma forma "echelon". Função REF (reduz para a forma Echelon) produz tal matriz dada a matriz aumentada no nível 1 da pilha.
A matriz diagonal que resulta da eliminação Gauss-Jordan é chamada de forma echelon de redução de linha. A função RREF ( Forma echelon de redução de linha) Os resultados desta chamada de função é produzir a forma echelon de redução de linha para que a matriz dos coeficientes seja reduzida para uma matriz identidade. A coluna extra na matriz aumentada conterá a solução para o sistema de equações.
Função SYST2MAT Esta função converte um sistema de equações lineares em seu equivalente de matriz aumentada. O seguinte exemplo está disponível no mecanismo de ajuda da calculadora: O resultado é a matriz aumentada correspondente ao sistema de equações: X+Y = 0 X-Y =2 Erros residuais nas soluções de sistemas lineares (função RSD) A função RSD calcula os resíduos ou erros na solução da equação da matriz A⋅x=b, representa um sistema de equações lineares n em incógnitas.
= e. Resolver ∆x podemos encontrar a solução atual do sistema original como x = x(0) + ∆x. Valores e vetores eigen Dado uma matriz quadrada A, podemos escrever a equação eigen A⋅x = λ⋅x, onde os valores de λ que satisfaz a equação são conhecidos como valores eigen (autovalores) da matriz A. Para cada valor de λ, podemos encontrar, da mesma equação, os valores de x que satisfazem a equação de valor eigen. Estes valores de x são conhecidos como vetores eigen da matriz A.
modo ALG e encontre a equação de característica usando PCAR: [[1,5,-3],[2,-1,4],[3,5,2]] Use a variável λ para representar os valores eigen, este polinômio de característica deve ser interpretado como λ 3-2λ 2-22λ +21=0. Função EGVL A função EGVL (valores eigen) produz os valores eigen de uma matriz quadrada. Por exemplo, os valores eigen da matriz mostradas acima são calculados no modo ALG usando a função EGVL: Os valores eigen λ = [ -√10, √10 ].
Altere o modo para Approx e repita a entrada para obter os seguintes valores eigen: [(1.38,2.22), (1.38,-2.22), (-1.76,0)]. Função EGV A função EGV (valores e vetores eigen) produz os valores eigen de uma matriz quadrada. Os vetores eigen são retornados como as colunas de uma matriz, enquanto que os valores eigen correspondentes são os componentes de um fator.
Nota: Uma matriz simétrica produz todos os valores eigen e seus vetores eigen são mutualmente perperndiculares. Para o exemplo apresentado, você pode verificar que x1 •x2 = 0, x1 •x3 = 0 e x2 •x3 = 0. Função JORDAN A função JORDAN produz a diagonalização ou decomposição de ciclo Jordan de uma matriz.
está disponível através do submenu MATRICES OPERATIONS („Ø) e produz a matriz adjunta de uma matriz.
As funções contidas neste menu são: LQ, LU, QR,SCHUR, SVD, SVL. Função LU A função LU toma como entrada uma matriz quadrada A e retorna uma matriz triangular inferior L, uma matriz triangular superior U e uma matriz de permutação P, nos níveis 3, 2 e 1 da pilha, respectivamente. Os resultados L, U e P satisfazem a equação P⋅A = L⋅U. Quando chamar a função LU, a calculadora faz uma decomposição Crout LU de A usando um pivotal parcial.
A decomposição singular do valor (SVD) de uma matriz retangular Am×n consiste em determinar as matrizes U, S e V, tal que Am×n = U m×m ⋅S m×n ⋅V T n×n, onde U e V são as matrizes ortogonais e S é a matriz diagonal. Os elementos diagonais de S são chamados de valores singulares de A e são normalmente ordenados que si ≥ si+1, para i = 1, 2, …, n-1. As colunas [uj] de U e [vj] de V são os vetores singulares correspondentes.
1: [[-1.03 1.02 3.86 ][ 0 5.52 8.23 ][ 0 –1.82 5.52]] Função LQ A função LQ produz a fatorização LQ de uma matriz An×m reotornando uma matriz trapezoidal inferior Ln×m , uma matriz ortogonal Qm×m e uma matriz de permutação Pn×n nos níveis 3, 2 e 1 da pilha. As matrizes A, L, Q e P são relacionadas por P⋅A = L⋅Q. (Uma matriz trapezoida de uma matriz n×m é equivaloente de uma matriz triangular de uma matriz n×n). Por exemplo, [[ 1, -2, 1][ 2, 1, -2][ 5, -2, 1]] LQ Produz 3: [[-5.48 0 0][-1.10 –2.79 0][-1.
2 1 − 1 X x ⋅ A ⋅ x = [ X Y Z ] ⋅ 5 4 2 ⋅ Y 3 5 − 1 Z 2X + Y − Z = [ X Y Z ] ⋅ 5 X + 4Y + 2 Z 3 X + 5Y − Z T x⋅A⋅xT = 2X2+4Y2-Z2+6XY+2XZ+7ZY Finalmente, O menu QUADF A calculadora HP 49G série fornece o menu QUADF para as operações relacionadas com as formas QUADráticas. O menu QUADF é acessado através de „Ø. Este menu inclui as funções AXQ, CHOLESKY, GAUSS, QXA e SYLVESTER.
Função QXA A função QXA toma como argumentos uma forma quadrática no nível 2 da pilha e um vetor de variáveis no nível 1 da pilha retornando a matriz quadrada A da qual a forma quadrática é derivada no nível 2 na pilha e a lista de variáveis no nível 1 da pilha.
• A forma quadrática diagonalizada (nível 2 da pilha) • A lista de variáveis (nível 1 da pilha) Por exemplo, 'X^2+Y^2-Z^2+4*X*Y-16*X*Z' ` ['X','Y','Z'] ` GAUSS retorna 4: 3: 2: 1: [1 –0.333 20.333] [[1 2 –8][0 –3 16][0 0 1]] ’61/3*Z^2+ -1/3*(16*Z+-3*Y)^2+(-8*z+2*Y+X)^2‘ [‘X’ ‘Y’ ‘Z’] Aplicações lineares O menu LINEAR APPLICATIONS está disponível através de „Ø. A informação sobre as funções listadas neste menu é apresentada abaixo usando o próprio mecanismo de ajuda da calculadora.
Função KER Função MKISOM Página 11-57
Capítulo 12 Gráficos Neste capítulo introduzimos algumas das capacidades dos gráficos da calculadora. Apresentamos os gráficos de funções nas coordenadas cartesianas e polares, plotagens paramétricas, gráficos de cônicas, plotagens de barra, scatterplots (gráfico de coordenadas) e plotagens de funções. As opções gráficas na calculadora Para acessar a lista de formatos de gráficos disponíveis na calculadora, usamos a seqüência de teclas „ô(D).
Estas opções são descritas rapidamente a seguir.
subdiretório chamado 'TPLOT' (para a plotagem de teste) ou outro nome significativo para fazer o seguinte exercício. Como exemplo vamos plotar a função. f ( x) = 1 2π exp(− x2 ) 2 • Primeiro entre no ambiente PLOT SETUP pressionando „ô. Certifique-se de que a opção Function seja selecionada como TYPE e que ‘X’ é selecionado como uma variável independente (INDEP). Pressione L@@@OK@@@ para retornar ao visor normal da calculadora.
• Pressione ` para retornar a janela PLOT SETUP. A expressão ‘Y1(X)= EXP(-X^2/2)/√(2*π)’ será ressaltada. Pressione L @@@OK@@@ para retornar ao visor normal da calculadora. Nota: Duas novas variáveis mostram as etiquetas da tecla do menu virtual, a saber, EQ e Y1. Para ver o conteúdo do programa EQ use ‚@@@EQ@@. O conteúdo de EQ é simplificar o nome da função ‘Y1(X)’. A varíavel EQ é usada pela calculadora para armazenar a equação ou equações para plotagem. Para ver o conteúdo de Y1 pressione ‚@@@Y1@@.
• Para traçar a curva: @TRACE @@X,Y@@ . Use então as teclas com as setas (š™) para mover ao redor da curva. As coordenadas dos pontos que você está traçando serão mostradas no fundo do visor. Verifique isto para x = 1.05, y = 0.231. Além disso, verifique para x = -1.48 , y = 0.134. Aqui está uma imagem do gráfico no modo traçar: • Para recuperar o menu e retornar ao ambiente PLOT WINDOW, pressione L@CANCL e depois L@@OK@@.
para H-VIEW, depois pressione ˜ @AUTO para gerar V-VIEW. Para plotar o gráfico pressione @ERASE @DRAW • • • • • Logo que o gráfico estiver plotado, pressione @)@FCN! para acessar o menu function. Com este menu você pdoe obter a informação adicional sobre plotagem tais como interseção com o eixo x, raízes, inclinações da linha da tangente, área sob a curva, etc. Por exemplo, para encontrar a raiz no lado esquerda da curva, mova o cursor próximi deste ponto e pressione @ROOT.
• • • • • • • Para determinar o ponto mais alto na curva, coloque o cursor próximo vértice e pressione @EXTR. O resultado é EXTRM: 0.. Pressione L para recuperar o menu. Outros botões disponíveis no primeiro menu são @AREA para calcular a área sob a curva e @SHADE para sombrear uma área sob a curva. Pressione L para ver mais opções. O segundo menu inclui um botão chamado @VIEW que pisca por alguns segundos a equação plotada. Pressione @VIEW.
como elementos uma expressão para a própria derivada de Y1(X) e Y1(X). Originalmente, EQ continha apenas Y1(x). Depois de pressionar @@F'@@ no ambiente @)FCN@, a calculadora automaticamente adicionou a derivada de Y1(x) para a lista de equações no EQ. Salvar um gráfico para uso posterior Se quiser salvar seu gráfico para uma variável, ative o ambiente PICTURE pressionando š. Depois, pressione @EDIT LL@PICT . Isto captura a imagem atual como uma imagem gráfica.
exponencial, trigonométrico e hiperbólico. Não verá qualquer gráfico neste capítulo, uma vez que quero vê-los na sua calculadora. Gráfico de ln(X) Pressione, simultaneamente se estiver no modo RPN, a tecla left-shift „ e a tecla the ô (D) para produzir a janela PLOT SETUP. O campo marcado Type será ressaltado. Se a opção Function não já estiver selecionada pressione a tecla chamada @CHOOS, se as teclas para acima e abaixo para selecionar Function e pressione @@@OK@@@ para completar a seleção.
produzir o gráfico de In(X). Pressione @ERASE @DRAW para desenhar a função de logaritmo natural. Para adicionar o gráfico pressione @EDIT L@)LABEL. Pressione @MENU para remover as etiquetas do menu e obter um visão total do gráfico. Pressione L para recuperar o primeiro menu gráfico atual. Pressione L@)PICT para recuperar o primeiro menu gráfico original.
seleção para a faixa do visor horizontal. Selecionamos uma faixa entre -1 e 10 para X. Para produzir o gráfico, a calculadora gera os valores entre os limites da faixa usando um incremento de constante e armazenando os valores gerados, um de cada vez na variável @@@X@@@ enquanto o gráfico for desenhado. Para a faixa horizontal (–1,10), o incremento usado parece ser 0.275. Quando o valor de X torna-se maior do que o valor máximo na faixa (neste caso, quando X = 10.275), o desenho do gráfico é interrompido.
seta para baixo para ver o conteúdo total de PPAR. O visor mostrará os seguintes valores: PPAR significa Plot PARameters e seu conteúdo inclui dois pares ordenados de números reais, (-8.,-1.10797263281) e (2.,7.38905609893), que representam as coordenadas dos cantos esquerdo inferior e direito superior da plotagem, respectivamente. A seguir, PPAR lista o nome da variável independente, X, seguido pelo número que especifica o incremento da variável independente na geração na plotagem.
Como indicado anteriormente, as funções ln(x) e exp(x) são inversas entre si, ex. ln(exp(x)) = x e exp(ln(x)) = x. Isto pode ser verificado na calculadora digitando e avaliando as seguintes expressões no Editor de Equação: LN(EXP(X)) e EXP(LN(X)). Ambas devem ser avaliadas por X. Quando uma função f(x) e sua inversa f -1(x) são plotadas simultaneamente no mesmo conjunto de eixos, seus gráficos são reflexões entre si sobre a linha y = x.
funções naturais do logarítmo natural, exponencial e y = x. Será evidente do gráfico que LN(X) e EXP(X) são reflexos entre si sobre a linha y = X. Pressione @CANCL para retornar a PLOT WINDOW – FUNCTION. Pressione ` para retornar ao visor normal da calculadora. Resumo da operação de plotagem FUNCTION Nesta seção apesentamos as informações em relação aos visores PLOT SETUP, PLOT-FUNCTION e PLOT WINDOW acessíveis através da tecla teftshift combinadas com as teclas Aaté D.
• • • • • • • Pressione a tecla do menu virtual AXES para marcar ou desmarcar a plotagem de eixos no gráfico. Se a opção ‘eixos de plotagem’ é marcada, um ponto quadrado aparecerá na etiqueta da tecla: @AXES . Ausência de ponto quadrado indica que os eixos não serão plotadas no gráfico. Use @ERASE para apagar qualquer gráfico que existe atualmente na janela do visor gráfico. Use @DRAW para produzir o gráfico de acordo com o contéudo atual de PPAR para as equações listadas na janela PLOT-FUNCTION.
• • Use @CLEAR se deseja limpar todas as equações atualmente ativas na janela PLOT – FUNCTION. A calculadora verificará se você quer ou não limpar todas as funções antes de apagar todas elas. Selecione YES e pressione @@@OK@@@ para continuar com todas as funções. Selecione NO e pressione @@@OK@@@ para desativar a opção CLEAR. Pressione @@@OK@@@ quando terminar e retorne ao visor normal da calculadora. „ò simultaneamente se estiver no modo RPN: Acesse a janela PLOT WINDOW.
• • • • • • • • • • Use @ERASE para apagar qualquer gráfico que existe atualmente na janela do visor gráfico. Use @DRAW para produzir o gráfico de acordo com o contéudo atual de PPAR para as equações listadas na janela PLOT-FUNCTION. Pressione L para visualizar a segunda lista do menu. Use @RESET para reajustar o campo selecionado (ex. onde o cursor for colocado) para seu valor padrão.
caso. Você pode incluir a função Y=X quando plotar simultaneamente uma função e sua inversas para verificar sua ‘reflexão’ sobre a linha Y = X. Faixa H-View: Função Mínimo Máximo SIN(X) -3.15 3.15 ASIN(X) -1.2 1.2 SIN & ASIN -3.2 3.2 COS(X) -3.15 3.15 ACOS(X) -1.2 1.2 COS & ACOS -3.2 3.2 TAN(X) -3.15 3.15 ATAN(X) -10 10 TAN & ATAN -2 -2 SINH(X) -2 2 ASINH(X) -5 5 SINH & ASINH -5 5 COSH(X) -2 2 ACOSH(X) -1 5 COS & ACOS -5 5 TANH(X) -5 5 ATANH(X) -1.2 1.
• • • campo na frente da opção Type será ressaltado. Se este campo não estiver ainda configurado para FUNCTION pressione a tecla @CHOOS e selecione a opção FUNCTION e depois pressione @@@OK@@@. Depois pressione ˜ para ressaltar o campo na frente da opção EQ e digite a expressão da função: ‘X/(X+10)’ Para aceitar as alterações feitas no visor PLOT SETUP pressione L @@@OK@@@. Você retornará ao visor normal da calculadora. A próxima etapa é acessar o visor Table Setup usando a combinação de teclas„õ (ex.
• • A tecla @@BIG@ altera apenas a fonte na tabela de pequena para grande e vice versa. Tente isto. A tecla @ZOOM, quando pressionada, produz um menu com as opções: In, Out, Decimal, Integer e Trig. Tente os seguintes exercícios: • • • • • • • • Com a opção In ressaltada, pressione @@@OK@@@. A tabela é expandida para que o aumento de x seja agora 0.25 em vez de 0.5. O que a calculadora faz é apenas multiplicar o aumento original 0.5 pelo fator de zoom 0.5 para produzir o novo aumento de 0.25.
• Pressione ˜ e digite: ³2* „ Ü1-S~‚t @@@OK@@@. • • • • • • o cursor está agora no campo Indep. Pressione ³~‚t @@@OK@@@ para alterar a variável independente para θ. • Pressione L@@@OK@@@ para retornar aa o visor normal da calculadora. • Pressione „òsimultaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT (neste caso será chamado de janela PLOT – POLAR ). • Altere a faixa H-VIEW de –8 para 8 usando 8\@@@OK@@@8@@@OK@@@, e a faixa V-VIEW de -6 para 2 usando 6\@@@OK@@@2@@@OK@@@.
Neste exercício inserimos a equação a ser plotada diretamente na janela to PLOT SETUP. Podemos também inserir as equações para plotagem usando a janela, ex. inserir as equações para plotagem usando a janela PLOT, ex. simultamenamente se estiver no modo RPN usando „ñ. Por exemplo, quando você pressiona „ñdepois de terminar o exercício anterior, obterá a equação ‘2*(1-SIN(θ))’ ressaltada. Digamos que queremos plotar também a função ‘2*(1-COS(θ))’ juntamente com a equação anterior.
A calculadora tem a capacidade de plotar uma ou mais curvas cônicas selecionando Conic como a função TYPE no ambiente PLOT. Certifique-se de excluir as variáveis PPAR e EQ antes de continuar. Por exemplo, vamos armazenar a lista de equações: { ‘(X-1)^2+(Y-2)^2=3’ , ‘X^2/4+Y^2/3=1’ } na variável EQ. Estas equações reconhecemos como aquelas de um círculo centrado em (1,2) com o raio √3 e de uma elípse centrada em (0,0) com os comprimentos semieixos a = 2 e b = √3.
Nota: As faixas H-View e V-View foram selecionadas para mostrar a interseção das duas curvas. Não existe regra geral para selecionar estas faixas, exceto aquela baseada no que conhecemos sobre as curvas. Por exemplo, para as equações mostradas acima, sabemos que o círculo se extenderá de -3+1 = -2 to 3+1 = 4 na x e de -3+2=-1 para 3+2=5 na y. Além disso, a elípse que é centrada na origem (0,0), se extenderá de -2 até 2 na x, e de -√3 para √3 na y.
as equações como estas que envolve os valores da constante x0, y0, v0, e θ0, é necessário armazenar os valores destes parâmetros nas variáveis. Para desenvolver este exemplo, crie um subdiretório chamado ‘PROJM’ para Movimento de projétil e dentro deste subdiretório armazene as variáveis seguintes: X0 = 0, Y0 = 10, V0 = 10 , θ0 = 30 e g = 9.806. Certifique-se de que a medida do ângulo da calculadora seja configurada para DEG.
Nota: Através destas configurações estamos indicando que o parâmetro t tomará os valores de t = 0, 0.1, 0.2, …, etc., até alcançar o valor de 2.0. • Pressione @AUTO. Isto gerará os valores automáticos das faixas H-View e V-View baseados nos valores da variável independente t e as definições de X(t) e Y(t) usadas. O resultado será: • • Pressione @ERASE @DRAW para desenhar a plotagem paramétrica. Pressione @EDIT L @LABEL @MENU para ver o gráfico com as etiquetas.
A revisão de suas etiquetas das teclas mostra que você agora tem as seguintes variáveis: t, EQ, PPAR, Y, X, g, θ0, V0, Y0, X0. Variáveis t, EQ e PPAR são geradas pela calculadora para armazenar os valores do parâmetro t da equação a ser plotada EQ (que contém ‘X(t) + I∗Y(t)’) e os parâmetros. As outras variáveis contêm os valores das constantes usadas nas definições de X(t) e Y(t).
• • Use as teclas de seta š™—˜para mover ao redor da tabela. Pressione $ para retornar ao visor normal da calculadora. Este procedimento para criar uma tabela correspondente para o tipo atual de plotagem pode ser aplicado a outros tipos de plotagem.
• • Pressione „òsimultaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT (neste caso será chamada de janela PLOT WINDOW – DIFF EQ). Altere os parâmetros H-VIEW e V-VIEW para ler: H-View: -1 5, V-View: -1 • • • • • • • • 1.5 Altere o valor Init para 0 e Final value para 5 usando: 0@@@OK@@@ 5@@@OK@@@. Values Step e Tol representam a etapa na variável independente e a tolerância para a convergência a ser usada pela solução numérica.
(horizontal) e 1 (vertical). Estas são as definições para os eixos conforme dado no visor PLOT WINDOW (veja acima), ex. H-VAR (t): 0 e V-VAR(x): 1. • • • Pressione LL@)PICT para recuperar o menu e retornar ao ambiente PICT. Pressione (X,Y) para determinar as coordenadas de qualquer ponto no gráfico. Use ™ e š mova o cursor na área de plotagem. No fundo do visor verá as coordenadas do cursor como (X,Y). A calculadora usa X e Y como os nomes padrões para os eixos vertical e horizontal, respectivamente.
• Pressione „òsimultaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT (neste caso será chamado de janela PLOT WINDOW – TRUTH). Mantemos o valor padrão para as faixas das janelas: H-View: -6.5 6.5, V-View: -3.1 3.2 (Para reajustá-los use L @RESET (selecione Reset all) @@OK@@ L). Nota: se as faixas da janela não forem configuradas para os valores padrões, a forma mais rápida de reajustá-los é usando L@RESET@ (selecione Reset all) @@@OK@@@ L. • Pressione ERASE @DRAW para desenhar a plotagem Truth.
quiser interromper a plotagem, pressione $ uma vez. pressione @CANCEL. Depois Plotar histogramas, gráficos de barra e de dispersão Histogramas, gráficos de barra e gráficos de dispersão são usados para plotar dados discretos armazenados na variável reservada ΣDAT. Esta variável é usada não apenas para estes tipos de plotagens, como também para todos os tipos de aplicações estatísticas conforme mostrado no capítulo 18.
tecla marcada ΣDAT está disponível na sua pilha. A figura abaixo mostra a armazenagem desta matriz no modo ALG: Para produzir o gráfico: • • • • • • • • • Pressione „ôsimultaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT SETUP. Altere TYPE para Bar. Uma matriz será mostrada no campo ΣDAT. Esta é a matriz que armazenamos anteriormente no ΣDAT. Ressalte a Col: campo. Este campo permite que você escolha a coluna de ΣDAT que está sendo plotada. O valor padrão é 1.
acomodar melhor o valor máximo na coluna 1 de ΣDAT. Os gráficos de barra são úteis ao plotar dados categóricos (ex. não numérico). Suponha que você queira plotar os dados na coluna 2 da matriz ΣDAT: • • • • • • Pressione „ôsimuiltaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT SETUP. Pressione ˜˜ para ressaltar o campo Col: e digite 2 @@@OK@@@ seguido por L@@@OK@@@. Pressione „òsimultaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT SETUP.
• • • • • Pressione „ò simultaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT WINDOW. Altere a janela de plotagem padrão para ler: H-View: 0 6, V-View: 0 6. Pressione @ERASE @DRAW para desenha o gráfico de barra. Pressione @EDIT L @LABEL @MENU para ver a plotagem livre pelo menu e as etiquetas de identificação (o cursor ficará no meio da plotagem): Pressione LL@)PICT para deixar o ambiente EDIT. Pressione @CANCL para retornar ao ambiente PLOT WINDOW.
• • Pressione LL@)PICT para deixar o ambiente EDIT. Pressione @CANCL para retornar ao ambiente PLOT WINDOW. Depois, pressione $ ou L@@@OK@@@ para retornar ao visor normal da calculadora. Campos de inclinação Os campos de inclinação são usados para visualizar as soluções para uma equação diferencial da forma y’ = f(x,y).
• Pressione LL@)PICT para deixar o ambiente EDIT. • Pressione @CANCL para retornar ao ambiente PLOT WINDOW. Depois, pressione $ ou L@@@OK@@@ para retornar ao visor normal da calculadora. Se puder reproduzir o gráfico campo de declive por escrito, você pdoe traçar as linhas manualmente que são tangentes aos segmentos de linha mostrados no gráfico. Estas linhas constituem linhas de y(x,y) = constante para a solução de y’ = f(x,y).
Plotagens 'Fast 3D' Plotagens Fast 3D são usadas para visualizar superfícies tridimensionais representadas por equações da forma z = f(x,y). Por exemplo, se quiser visualizar z = f(x,y) = x2+y2 podemos usar o seguinte: • Pressione „ôsimuiltaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT SETUP. • Altere TYPE to Fast3D. • Pressione ˜ e digite ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@. • Certifique-se de que ‘X’ seja selecionado como Indep: e ‘Y’ como Depnd:.
• • • Pressione @CANCL para retornar ao ambiente PLOT WINDOW. Altere para ler: Step Indep: 20 Depnd: 16 Pressione @ERASE @DRAW para ver a plotagem de superfície. Visualizações das amostras: • • • Ao terminar pressione @EXIT. Pressione @CANCL para retornar ao ambiente PLOT WINDOW. Pressione $ ou L@@@OK@@@ para retornar ao visor normal da calculadora.
• • • • • • Altere TYPE to Wireframe. Pressione ˜ e digite ‘X+2*Y-3’ @@@OK@@@. Certifique-se de que ‘X’ seja selecionado como Indep: e ‘Y’ como Depnd: variáveis. Pressione L@@@OK@@@ para retornar ao visor normal da calculadora. Pressione „ò simultaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT WINDOW.
• Pressione @EDIT L@MENU @LABEL para ver o gráfico com as etiquetas e faixas. Esta versão do gráfico ocupa mais área no visor do que a anterior. Podemos alterar o ponto de visão novamente para ver outra versão do gráfico. • • • • • Pressione LL@)PICT @CANCL para retornar ao ambiente PLOT WINDOW. Altere os dados de etapa para ler: XE:3 YE:3 ZE:3 Pressione @ERASE @DRAW para ver a plotagem de superfície. Desta vez o centro da plotagem está localizada em direção ao lado direito do visor.
• • Pressione LL@)PICT para sair o ambiente EDIT. Pressione @CANCL para retornar ao ambiente PLOT WINDOW. Depois, pressione $ ou L@@@OK@@@ para retornar ao visor normal da calculadora. Plotagens de Contorno Ps Plotagens de contorno Ps são plotagens de contorno de superfície tridimensionais descritas por z = f(x,y). Os contornos produzidos são projeções de superfícies de nível z = constante no plano the x-y.
• • Pressione LL@)PICT @CANCL para retornar ao ambiente PLOT WINDOW. Pressione $ ou L@@@OK@@@, para retornar para o visor normal da calculadora. Tente também uma plotagem de Contorno Ps para a superfície z = f(x,y) = sin x cos y • • • • • Pressione „ô, simultaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT SETUP. Pressione ˜ e digite ‘SIN(X)* COS(Y)’ @@@OK@@@. Pressione @ERASE @DRAW para desenhar a plotagem de campo do declive.
• • • • • • • • Pressione „ôsimultaneamente se estiver no modo RPN para acessar a janela PLOT SETUP. Altere TYPE para Y-Slice. Pressione ˜ e digite ‘X^3+X*Y^3’ @@@OK@@@. Certifique-se de que ‘X’ seja selecionado como Indep: e ‘Y’ como Depnd:. Pressione L@@@OK@@@ para retornar ao visor normal da calculadora. Pressione „ò, simultaneamente se estiver no modo RPN, para acessar a janela PLOT WINDOW.
Plotagens mapa de grade As plotagens mapa de grade produz uma grade de curvas ortogonais que descreve uma função de uma variável complexa da forma w =f(z) = f(x+iy), onde z = x+iy é uma variável complexa. As funções plotadas correspondem a parte real e imaginária de w = Φ(x,y) + iΨ(x,y), ex. elas representam as curvas Φ(x,y) = constante e Ψ(x,y) = constante.
Outras funções de uma variável complexa que vale a pena tentar para os mapas gridmap são: (1) SIN((X,Y)) ex. F(z) = sin(z) (2)(X,Y)^2 ex. F(z) = z2 z (3) EXP((X,Y)) ex. F(z) = e (4) SINH((X,Y)) ex. F(z) = sinh(z) (5) TAN((X,Y)) ex. F(z) = tan(z) (6) ATAN((X,Y)) ex. F(z) = tan-1(z) 3 (7) (X,Y)^3 ex. F(z) = z (8) 1/(X,Y) ex. F(z) = 1/z (9) √ (X,Y) ex.
• Pressione @EDIT L @LABEL @MENU para ver o gráfico com as etiquetas. • Pressione LL@)PICT @CANCL para retornar para o ambiente PLOT WINDOW. Pressione $ ou L@@@OK@@@ para retornar para o visor normal da calculadora. • A variável VPAR A variável VPAR (Parâmetro de volume) contém a informação em relação ao “volume” usado para produzir um gráfico tridimensional. Portanto, você o verá produzido sempre que criar uma plotagem tridimensional tal como Fast3D, Wireframe ou Pr-Surface.
Através dos exemplos acima, você terá a oportunidade de tentar as funções LABEL, MENU, PICT e REPL. Muitas das funções restantes, tais como DOT+, DOT-, LINE, BOX, CIRCL, MARK, DEL, etc., podem ser usadas para desenhar pontos, linhas, círculos, etc. no visor do gráfico, conforme descrito abaixo.
Por exemplo, use as teclas ™— para mover o cursor em qualquer direção no meio do primeiro quadrante do plano x-y, então pressione @DOT+@@. O campo será selecionado (DOT+ @). Presione e mantenha a tecla ™ para ver a linha horizontal traçada. Agora pressione @DOT-@ para selecionar esta opção ( @DOT- @ ). Pressione e mantenha a tecla š para ver a linha que você acabou de traçar sendo excluida. Pressione @DOT- quando tiver feito para desmarcar esta opção.
TLINE (Toggle LINE) Move o cursor para o segundo quadrante para ver esta função em ação. Pressione @TLINE. Uma MARK é colocada no início da linha alternada. Mova o cursor com as teclas com as setas distante do ponto e pressione @TLINE. Uma linha é desenhada da posição atual do cursor para o ponto de referência selecionado anteriormente. Pixels que estão no caminho da linha serão desativados e vice-versa. Para remover a linha traçada mais recente pressione @TLINE novamente.
LABEL Pressinar @LABEL coloca as etiquetas nos eixos x e y da plotagem atual. Esta característica foi usada extensivamente através deste capítulo. DEL Este comando é usado para remover as partes do gráfico entre as duas posições MARK. Mova o cursor para um ponto no gráfico e pressione @MARK. Mova o cursor para outro ponto e depois pressione @MARK. Depois pressione @@DEL@. A seção do gráfico enquadrada entre as duas marcas será excluída. ERASE A função ERASE limpa a janela inteira do gráfico.
PICT Este comando coloca uma cópia do gráfico atualmente na sua janela na pilha como um objeto de gráfico. O objeto de gráfico colocado na pilha pode ser salvo no nome da variável para a armazenamento ou outro tipo de manipulação. X,Y Este comando copia as coordenadas da posição atual do cursor, nas coordenadas do usuário na pilha.
vertical e horizontal definidas pelo usário às suas faixas pixels correspondentes. Altere o H-Factor para ler 8. e pressione @@@OK@@@, altere então o V-Factor para ler 2. e pressione @@@OK@@. Marque a opção Recenter on cursor e pressione @@@OK@@. De volta na exibição do gráfico, pressione @@ZIN@ . O gráfico é redesenhado com os novos fatores de escala vertical e horizontal centrados no local onde o cursor foi colocado enquanto matém o tamanho l PICT original (ex.
(conforme quando você usa a função @AUTO na forma de entrada PLOT WINDOW („òsimultaneamente no modo RPN). HZIN, HZOUT, VZIN e VZOUT Estas funções aumentam e diminuem o visor dos gráficos na direção horizontal e vertical de acordo com os fatores H e V atuais. CNTR Centra a janela do gráfico com zoom no local atual do cursor. de zoom usados são os fatores H e V atuais. Os fatores ZDECI Zoom o gráfico para arredondar os limites do valor do intervalo x para um valor decimal.
função ZFACTOR, que é usada para aplicações químicas e dinâmicas do gás (consulte o capítulo 3). O menu e gráficos SYMBOLIC o menu SYMBOLIC é ativado pressionando a tecla P (quarta tecla a equerda na quarta linha da parte superior do teclado).
DEFINE: a mesma sequência de teclas „à (a tecla 2) GROBADD: cola os dois objetos gráficos (GROBs) (consulte o capítulo 22) PLOT(function): plota uma função, similar a „ô PLOTADD(função): adiciona esta função a lista de funções para plotagem, similar a „ô Funções Plotagens..: a mesma de „ô SIGNTAB(função): a tabela de sinal de uma dada função mostra os intervalos da variação positiva e negativa, pontos zero e assimptotas infinitas.
TABVAR(LN(X)/X) produz a seguinte tabela de variação: Uma interpretação detalhada da tabela de variação é mais fácil de seguir no modo RPN: O resultado é um formato gráfico, mostrando a função original, F(X), a derivada F’(X) logo depois da derivação e da simplificação e finalmente uma tabela de variação. A tabela consite de duas linas marcadas no lado direito. Assim a linha superior representa o valor de X e a segunda os valores de F. Pontos de interrogação indica incerteza ou indefinição.
Função DRAW3DMATRIX Esta função toma como argumento uma matriz n×m, Z, = [ zij ] e os valores mínimos e máximos para a plotagem. Se você quiser selecionar os valores de vmin e vmax para conter os valores listados em Z. A chamada geral para a função é DRAW3DMATRIX(Z,vmin,vmax). Para ilustrar o uso desta função geramos primeiro uma matriz 6×5 using RANM({6,5}) e depois ative a função DRAW3DMATRIX, conforme mostrado abaixo: A plotagem está no estilo da FAST3D.
Capítulo 13 Aplicações de cálculo Neste capítulo discutiremos os aplicativos das funções da calculadora para as operações relacionadas com o cálculo, ex. limites, derivadas, integrais, série de potência, etc. O menu CALC (Cálculo) Muitas das diversas funções apresentadas neste capítulo são encontradas no menu CALC, disponível através da seqüência de tecla „Ö(associadas com a tecla 4).
Limite de função A calculadora fornece a função lim para calcular os limites das funções. Esta função usa como entrada uma expressão representando uma função e o valor onde o limite deve ser calculado. A função lim está disponível através do catálogo de comando (‚N~„l) ou através da opção 2. LIMITS & SERIES… do menu CALC (veja acima). Nota: As funções disponíveis no menu LIMITS & SERIES são mostradas a seguir: A função DIVPC é usada para dividir dois polinômios produzindo uma expansão em série.
O símbolo infinito é associado com a tecla 0, ex. „è. Derivadas A derivada de uma função f(x) em x = a é definida como o limite f ( x + h) − f ( x ) df = f ' ( x) = lim h − > 0 h dx Alguns exemplos de derivadas usando este limite são mostradas nos seguintes visores: Funções DERIV e DERVX A função DERIV é usada para obter derivadas em termos de qualquer variável independente, enquanto a função DERVX obtém as derivadas em relação ao VX da variável padrão CAS (tipicamente ‘X’).
O menu DERIV&INTEG As funções listadas do submenu são: Destas funções DERIV e DERVX são usadas para derivadas. As outras funções incluem as funções relacionadas com as antiderivadas e integrais (IBP, INTVX, PREVAL, RISCH, SIGMA e SIGMAVX), para a série (FOURIER) e a análise do vetor (CURL, DIV, HESS, LAPL). A seguir, discutiremos as funções DERIV e DERVX e as restantes são apresentadas posteriormente nos capítulos subseqüentes. Calcular as derivadas com ∂ O símbolo está disponível como ‚¿ (a tecla T).
No modo RPN, esta expressão deve ser incluída em argumentos antes de inseri-las na pilha. O resultado no modo ALG é: No Editor de Equação, ao pressionar ‚¿ a calculadora fornece a seguinte expressão: O cursor de inserção ( ) será localizado a direita do denominador esperando que o usuário insira uma variável independente, digamos, s: ~„s.
Para avaliar a derivada no Editor de Equação, pressione a tecla com a seta acima —, quatro vezes, para selecionar a expressão inteira e depois pressione @EVAL. A derivada será avaliada no Editor de Equação como: Nota: O símbolo ∂ é usado formalmente na matemática para indicar a derivada parcial, ex. a derivada da função com mais de uma variável. Portanto, a calculadora não distingue entre as derivadas ordinária e parcial usando o mesmo símbolo para ambos.
Derivadas das equações Você pode usar a calculadora para calcular as derivadas de equações, ex. expressões nas quais as derivadas existirão em ambos os lados do sinal de igual. Alguns exemplos são mostrados a seguir: Observe que nas expressões onde o sinal da derivada (∂) ou função DERIV foi usada, o sinal de igual é preservado na equação, mas não nos caso onde a função DERVX foi usada. Nestes casos, a equação foi rescrita com todos seus termos movidos para o lado esquerdo do sinal de igual.
Aplicações das derivadas As derivadas podem ser usadas para analisar os gráficos de funções e para otimizar as funções de uma variável (ex. encontrar o máximo e mínimo). Algumas aplicações de derivadas são mostradas a seguir. Analisar os gráficos de funções No capítulo 11 apresentamos algumas funções que estão disponíveis nos visores dos gráficos para analisar os gráficos de funções da forma y = f(x).
• • • • Observe que existem linhas verticais que representam as assimptotas. Estas não são partes do gráfico, mas mostram pontos onde TAN(X) vai para ± ∞ em certos valores de X. Pressione @TRACE @(X,Y)@ e mova o cursor para o ponto X: 1.08E0, Y: 1.86E0. A seguir, pressione L@)@FCN@ @SLOPE. O resultado é Slope: 4.45010547846. Pressione LLTANL. Esta operação produz a equação da linha tangente e plota seus gráficos na mesma figura.
indica que entre –∞ e 0, a função LN(X) não é definida (?), enquanto que de 0 a +∞ a função é definida (+). Por outro lado, indica que a função não é definidad entre –∞ e -1 nem entre 1 e +∞. O domínio desta função é então -1
SIGNTAB indica que é TAN(X) negativo entre –π/2 e 0 e positivo entre 0 e π /2. Para este caso, SIGNTAB não fornece a informação (?) nos intervalos entre –∞ e -π /2 nem entre +π /2 e ∞. Assim, SIGNTAB, para este caso, fornece apenas a informação no domínio próprio de TAN(X), a saber, -π /2 < X < +π /2. Um segundo exemplo de função SIGNTAB é mostrado abaixo: Para este caso, a função é negativa para X<-1 e positiva para X> -1.
Este é o objeto do gráfico. Para ver o resultado na sua totalidade pressione ˜. A tabela de variável da função é mostrada conforme a seguir: Pressione $ para retornar ao visor normal da calculadora. Pressione ƒ para retirar este último resultado da pilha. Duas listas correspondentes as linhas superior e inferior da matriz gráfica mostrada anteriormente ocupa agora o nível 1. Estas listas podem ser úteis para programação. Pressione ƒ para retirar este último resultado da pilha.
qual f’(x) =0 representa os pontos onde o gráfico das funções atingem um máximo ou mínimo. Além disso, o valor da segunda derivada da função, f”(x), nestes pontos determinam o ponto é uma relativa ou local máximo [f”(x)<0] ou mínimo [f”(x)>0]. Estas idéias são ilustradas na figura abaixo. Nesta figura nos limitamos a determinar os pontos extremos da função y = f(x) no intervalo x [a,b]. Dentro deste intervalo encontramos dois pontos, x = xm e x = xM, onde f’(x)=0.
O último visor mostra que f”(11/3) = 14, assim, x = 11/3 é mínimo relativo. Para x = -1, temos o seguinte: Este resultado indica que f”(-1) = -14, assim, x = -1 é um máximo relativo. Avaliar a função nestes pontos para verificar que realmente f(-1) > f(11/3). Derivadas de ordem superior As derivadas de ordem superior podem ser calculadas aplicando uma função derivada diversas vezes, ex. Anti-derivadas e integrais Uma anti-derivada de uma função f(x) é uma função F(x) tal que f(x) = dF/dx.
derivada é como uma integral indefinida, ex. apenas se, f(x) = dF/dx e C = constante. ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , se e Funções INT, INTVX, RISCH, SIGMA e SIGMAVX A calculadora fornece as funções INT, INTVX, RISCH, SIGMA e SIGMAVX para calcular as funções anti-derivadas. As funções INT, RISCH e SIGMA funcionam com as funções de qualquer variável, enquanto que as funções INTVX e SIGMAVX utilizam as funções da variável CAS VX (tipicamente ‘x’).
A função PREVAL(f(x), a,b,) da CAS pode simplificar tal cálculo, o que é feito retornando o valor de f(b)-f(a) com x sendo a variável CAS VX. Para calcular as integrais definidas a calculadora fornece também o símbolo da integral como a combinação de ‚Á (associadas com a tecla U). A forma mais simples de construir uma integral é usar o Editor de Equação (consulte o capítulo 2 para ver um exemplo).
Pressionar ` neste ponto avaliará a integral na pilha: A integral pode ser avaliada também no Editor de Equação selecionando a expressão inteira e usando a tecla @EVAL. Avaliação passo a passo de derivadas e integrais Com a opção passo a passo nas janelas CAS MODES selecionadas (consulte o capítulo 1), a avaliação das derivadas e integrais serão mostradas passo a passo. Por exemplo, aqui está a avaliação de uma derivada no Editor de Equação.
O seguinte exemplo mostra a avaliação de uma integral definida no Editor de Equação, passo a passo: Observe que o processo passo a passo fornece a informação nas etapas intermediárias seguida pelo CAS para resolver esta integral. Primeiro, o CAS identifica uma integral de raiz quadrada, a seguir, a fração racional e uma segunda expressão racional para apresentar com o resultado final.
Ténicas de integração Diversas técnicas de integração podem ser implementadas na calculadora, conforme mostrado nos seguintes exemplos. Substituição ou alteração de variáveis Suponha que queremos calcular a integral ∫ 2 x 0 1− x2 dx . Se usar o cálculo passo a passo no Editor de Equação, esta é a sequência das substituições das variáveis: Esta segunda etapa mostra a substutuição adequada para usar, u = x2-1.
Integração por partes e diferenciais A diferencial de uma função y = f(x), é definida por dy = f’(x) dx, onde f’(x) is a derivada de f(x). As diferenciais são usadas para representar pequenos aumentos nas variáveis. O diferencial de um produto de duas funções, y = u(x)v(x), é dado por dy = u(x)dv(x) +du(x)v(x), ou simplesmente, d(uv) = udv vdu. Assim, a integral de udv = d(uv) - vdu, é escrita ∫ como udv = ∫ d (uv) − ∫ vdu .
É importante mencionar que a integral pode ser calculadora diretamente usando, por exemplo, Integração por frações parciais Função PARTFRAC, apresentada no capítulo 5 fornece a decomposição de uma fração em frações parciais. Esta técnica é útil para reduzir a fração complicada em uma soma de frações simples que podem ser então integrada termo a termo.
Estas são as integrais com os limites infinitos de integração. Geralmente, , uma integral imprópria é lida primeiro calculando a integral como um limite para infinito, ex. ∫ ∞ 1 ε dx dx = lim ∫ 2 . 2 1 ε →∞ x x Usando a calculadora procedemos conforme a seguir: De forma alternativa, você pode avaliar a integral para infinito de início, ex.
Se inserir a integral com o CAS configurado para o modo Exact, será solicitado a alterar para o modo Approx, portanto, os limites das integrais serão mostrados em um formato diferente conforme mostrado aqui: Estes limites representam 1×1_mm e 0×1_mm, que é o mesmo de 1_mm e 0_mm, conforme anteriormente. Observe os diferentes formatos na saída.
Série infinita ∞ Uma série infinita tem uma forma ∑ h ( n)( x − a ) n . A série infinita começa n = 0 ,1 tipicamente com os índices n = 0 ou n = 1. Cada termo nas séries tem um coeficiente h(n) que depende do índice n. Série Taylor e Maclaurin Uma função f(x) pode ser expandida em série infinita em volta de um ponto x=x0 usando uma série Taylor, a saber, ∞ f ( x) = ∑ n =0 f ( n ) ( xo ) ⋅ ( x − xo ) n , n! onde f(n)(x) representa a derivada n de f(x) em relação a x, f(0)(x) = f(x).
k f ( x) = ∑ n =0 ∞ f ( n ) ( xo ) f ( n ) ( xo ) ⋅ ( x − xo ) n + ∑ ⋅ ( x − xo ) n , n! n! n = k +1 ex. f ( x) = Pk ( x) + Rk ( x). O polinômio Pk(x) é mencionado como polinômio de Taylor. A ordem de restos é estimada em temos de uma pequena quantidade h = x-x0, ex. avaliar o polinômio no valor de x muito próximo a x0. O resto é dado por Rk ( x ) = f ( k +1) (ξ ) k +1 ⋅h , k! onde ξ é um número próximo x = x0.
A função TAYLR produz uma expansão de série Taylor de uma função de qualquer variável x sobre um ponto x = a para a ordem k especificada pelo usuário. Assim, a função tem o formato TAYLR(f(x-a),x,k). Por exemplo, A função SERIES produz um polinômio Taylor usando como argumentos a função f(x) to a ser expandida, um nome de variável único (para a série Maclaurin) ou uma expressão da forma ‘variável = valor’ indicando o ponto de expansão de uma série Taylor e a ordem da série a ser produzida.
Na figura do lado direito acima, usamos a linha de edição para visualizar a expansão em série em detalhe.
Capítulo 14 Aplicações de cálculo multivariáveis Os cálculos multivariadas referem-se às funções de duas ou mais variáveis. Neste capítulo discutimos os conceitos básicos do cálculo multivariado incluindo as derivadas parciais e integrais múltiplas. Funções multivariadas Uma função de duas ou mais variáveis pode ser definida na calculadora usando a função DEFINE („à).
f ( x + h, y ) − f ( x , y ) ∂f . = lim h → 0 h ∂x De forma similar, ∂f f ( x, y + k ) − f ( x, y ) = lim . k → 0 ∂y k Usaremos as funções multivariadas definidas anteriormente para calcular as derivadas parciais usando estas definições. Aqui estão as derivadas de f(x,y) em relação a x e y, respectivamente: Observe que a definição de derivada parcial em relação a x, por exemplo, requer que mantenhamos y fixada tirando o limite como h 0.
derivadas parciais. Lembre-se que a função DERVX usa a variável CAS padrão VX (tipicamente, ‘X’), com DERVX você pode calcular apenas as derivadas em relação a X.
∂2 f ∂2 f . = ∂y∂x ∂x∂y derivadas de terceira, quarta e superior são definidas de forma similar. Para calcular as derivadas de ordem superior na calculadora, repita apenas a função da derivada diversas vezes conforme necessário. Alguns exemplos são mostrados a seguir: A regra de cadeia para derivadas parciais Considere a função z = f(x,y), tal que x = x(t), y = y(t). A função z representa atualmente uma função composta de t se a escrevemos como z = f[x(t),y(t)].
dz/dt = (dy/dt)⋅(∂z/∂y) + (dx/dt)⋅(∂z/∂x). Diferencial total de uma função z = z(x,y) Da última equação, se multiplicarmos por dt, obtemos o diferencial total da função z = z(x,y), ex. dz = (∂z/∂x)⋅dx + (∂z/∂y)⋅dy. Uma versão diferencial da regra de cadeia aplica-se ao caso no qual z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v), para que z = f[x(u,v), y(u,v)].
Encotraremos os pontos críticos em (X,Y) = (1,0) e (X,Y) = (-1,0). Para calcular o discriminante, calculamos as segundas derivadas, fXX(X,Y) = ∂2f/∂X2, fXY(X,Y) = ∂2f/∂X/∂Y e fYY(X,Y) = ∂2f/∂Y2. O último resultado indica que o discriminante é ∆ = -12X, assim, para (X,Y) = (1,0), ∆ <0 (ponto de sela) e para (X,Y) = (-1,0), ∆>0 e ∂2f/∂X2<0 (máxima relativa).
função φ, definida como a matriz H = [hij] = [∂2φ/∂xi∂xj], o gradiente da função em relação as variáveis n, grad f = [ ∂φ/∂x1, ∂φ/∂x2 , … ∂φ/∂xn] e a lista de variáveis [‘x1’ ‘x2’…’xn’]. Aplicações da função HESS são fáceis para visualizar no modo RPN. Considere como um exemplo a função φ(X,Y,Z) = X2 + XY + XZ, aplicaremos a função HESS para a função φ no seguinte exemplo.
s1(-1,0) is ∆ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (-6.)(-2.) = 12.0 > 0. Dado que ∂2φ/∂X2 <0, ponto s1 representa uma máxima relativa. A seguir, substituímos o segundo ponto, s2, por H: J @@@H@@@ @@s2@@ SUBST ‚ï Substituía s2 por H A matriz resultante tem os elementos a11 = ∂2φ/∂X2 = 6., a22 = ∂2φ/∂X2 = -2. e a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0. O discriminante para este ponto crítico s2(1,0) is ∆ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (6.)(-2.) = -12.0 < 0, indica um ponto de selagem.
Jacobiana da transformação de coordenada Considere a transformação da coordenada x = x(u,v), y = y(u,v). A Jacobiana da transformação é definida como ∂x | J |= det( J ) = det ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v . ∂y ∂v ao calcular uma integral usando tal transformação, a expressão usada é ∫∫φ ( x, y)dydx = ∫∫φ[ x(u, v), y(u, v)] | J | dudv , onde R’ é a região R R R' expressa em coordenadas (u,v).
∂x | J |= ∂r ∂y ∂r ∂x ∂θ = cos(θ ) − r ⋅ sin(θ ) = r ∂y sin(θ ) r ⋅ cos(θ ) ∂θ Com este resultado, a integral nas coordenadas polares são escritas como β g (θ ) α f (θ ) ∫∫ φ (r ,θ )dA = ∫ ∫ R' φ (r , θ )rdrdθ onde a região R’ nas coordenadas polares é R’ = {α < θ < β, f(θ) < r < g(θ)}. As integrais duplas nas coordenadas polares podem ser inseridas na calculadora, assegurando que a jacobiana|J| = r é inclusa no integrando.
Capítulo 15 Aplicações de análise vetorial Neste capítulo apresentamos um número de funções do menu CALC que aplicar para a análise dos campos escalares e vetoriais. O menu CALC foi apresentado em detalhes no capítulo13. Em particular, no menu DERIV&INTEG identificamos um número de funções que tem aplicações nas análises vetoriais, a saber,CURL, DIV, HESS, LAPL. Para o exercício neste capítulo, altere sua medida angular para radianos.
particular. Esta taxa de alteração é chamada de derivada direcional da função, Duφ(x,y,z) = u•∇φ. Em qualquer ponto em particular, a taxa máxima de alteração da função ocorre na direção do gradiente, ex. juntamente com o vetor de unidade u = ∇φ/|∇φ|. O valor desta derivada direcional é igaul a magnitude da gradiente em qualquer ponto Dmaxφ(x,y,z) = ∇φ •∇φ/|∇φ| = |∇φ| A equação φ(x,y,z) = 0 representa uma superfície no espaço. Acontece que o gradiente da função em qualquer ponto na superfície é normal.
Usar a função HESS para obter o gradiente A função HESS pode ser usada para obter o gradiente de uma função, conforme mostrado a seguir. Como indicado no capítulo 14, a função HESS toma como entrada uma função de variáveis independentes n φ(x1, x2, …,xn) e um vetor das funções [‘x1’ ‘x2’…’xn’].
Dado que a função SQ(x) representa x2, estes resultados indica que a função potencial para o campo do vetor F(x,y,z) = xi + yj + zk é φ(x,y,z) = (x2+y2+z2)/2. Observe que as condições para a existência de φ(x,y,z), a saber, f = ∂φ/∂x, g = ∂φ/∂y e h = ∂φ/∂z, são equivalente as condições: ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x, and ∂g/∂z = ∂h/∂y. Estas condições fornecem uma forma de determinar se o campo do vetor tem uma função potencial associada.
∇ 2φ = ∇ • ∇ φ = ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 A equação diferencial parcial ∇2φ = 0 é conhecida como a equação de Laplace. A função LAPL pode ser usada para calcular a laplaciana de uma função escalar. Por exemplo, para calcular a laplaciana da função φ(X,Y,Z) = (X2+Y2)cos(Z), use: Rotacional O rotacional de um campo de vetor F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k, é definido por um “produto-cruzado” do operador del com o campo de vetor, ex. .
f(x,y,z)i+ g(x,y,z)j+ h(x,y,z)k, tal que F = grad φ = ∇φ. Indicamos também que as condições para a existência de φ, foram: ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x, e ∂g/∂z = ∂h/∂y. Estas condições são equivalentes a expressão do vetor curl F = ∇×F = 0. Um campo de vetor F(x,y,z), com rotacional zero, é mostrado como um campo irrotacional. Assim, concluimos que uma função potencial φ(x,y,z) existe sempre para um campo irrotacional F(x,y,z).
ex. Φ(x,y,z) = -x2/2j + (-y2/2+zx)k. Deve ser indicado que existe mais de uma função de potencial de vetor possível Φ para um dado campo de vetor F. Por exemplo, o seguinte visor mostra que o rotacional da função do vetor Φ1 = [X2+Y2+Z2,XYZ,X+Y+Z] é o vetor F = ∇× Φ2 = [1-XY,2Z-1,ZY-2Y]. A aplicação da função VPOTENTIAL produz a função do potencial do vetor Φ2 = [0, ZYX-2YX, Y-(2ZX-X)], que é diferente de Φ1. O último comando no visor mostra que realmente F = ∇× Φ2.
Capítulo 16 Equações diferenciais Neste capítulo apresentamos os exemplos de solução das equações diferenciais ordinárias (ODE) usando as funções da calculadora. A equação diferencial é uma equação que envolve as derivadas da variável independente. Na maioria dos casos, procuramos a função independente que satisfaz a equação diferencial. Operações básicas com equações diferentes Nesta seção apresentamos alguns usos da calculadora para inserir, verificar e visualizar a solução de ODEs.
~„x™*‚¿~„x„ Ü~„u„ Ü ~„x ™™ +~„u„ Ü ~„x™ Q2 ‚ Å 1/ ~„x` O resultado é ‘∂x(∂x(u(x)))+3*u(x)*∂x(u(x))+u^2=1/x ’. Este formato mostra no visor quando a opção _Textbook na configuração do visor (H@)DISP) não for selecionada. Pressione ˜ para ver a equação no Editor de Equação. Como notação alternativa pra as derivadas digitadas diretamente na pilha use ‘d1’ para a derivada em relação a primeira variável independente, ‘d2’ para a derivada em relação a segunda variável independente, etc.
‘y = f(x)’ ou ‘y = f(x,t)’, etc. na equação diferencial. Talvez deseje simplificar o resultado usando a função EVAL para verificar a solução. Por exemplo, para verificar se u = A sin ωot é a solução da equação d2u/dt2 + ωo2⋅u = 0, use o seguinte: No modo ALG: SUBST(‘∂t(∂t(u(t)))+ ω0^2*u(t) = 0’,‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’ ` EVAL(ANS(1)) ` No modo RPN: ‘∂t(∂t(u(t)))+ ω0^2*u(t) = 0’ ` ‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’ ` SUBST EVAL O resultado é ‘0=0’.
solução de y’ = f(x,y). Assim, os campos de inclinação são ferramentas úteis para visualizar particularmente as equações difíceis de serem resolvidas. Em resumo, os campos de inclinação são ajudas gráficas para esboçar as curvas y = g(x) que correspondente as soluções da equação diferencial dy/dx = f(x,y). O menu CALC/DIFF A DIFFERENTIAL EQNS.. submenu dentro do menu CALC („Ö) fornece as funções para a solução de equações diferenciais.
Uma equação cujo lado direito (não envolve a função ou suas derivadas) for igual a zero é chamada de equação homogênea. Caso contrário, é chamada não homogênea. A solução para a equação homogênea é conhecida como uma solução geral. Uma solução em particular é um que satisfaz a equação não homogênea.
A solução então é y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x. A razão para a qual o resultado é fornecido pelo LDEC mostra tal combinação complicada de constantes é porque, internamente, para produzir a solução, LDEC utiliza a transformada de Laplace (apresentada neste capítulo), que transforma a solução de um ODE na solução algébrica. A combinação de constanstes resulta da fatoração de termos exponenciais depois que a solução da transformada de Laplace for obtida.
Para verificar se yp = (450⋅x2+330⋅x+241)/13500 é realmente uma solução particular de ODE, use o seguinte: 'd1d1d1Y(X)-4*d1d1Y(X)-11*d1Y(X)+30*Y(X) = X^2'` 'Y(X)=(450*X^2+330*X+241)/13500' ` SUBST EVAL Permite que a calculadora produza um resultado em dez segundos. ‘X^2 = X^2’. Exemplo 3 – Resolver um sistema de equações diferenciais não lineares com os coeficientes constantes. Considere o sistema de equações diferenciais lieares: x1’(t) + 2x2’(t) = 0, 2x1’(t) + x2’(t) = 0. 1 2 .
Função DESOLVE A calculadora fornece a função DESOLVE (Equação diferencial SOLVEr) para resolver certos tipos de equações diferenciais. A função exige como entrada a equação diferencial e a função desconhecida e retorna a solução para a equação se estiver disponível. Você pode fornecer também um vetor contendo a equação diferencial e as condições iniciais, em vez de apenas uma equação diferencial, como entrada para DESOLVE. A função DESOLVE está disponível no menu CALC/DIFF.
O resultado é uma expressão que tem duas integrações implícitas, a saber, ou esta equação em particular, portanto vemos que o lado esquerdo desta equação representa d/dx(x dy/dx), assim, o ODE é agora escrito: d/dx(x dy/dx ) = exp x, e x dy/dx = exp x + C. Assim nós podemos escrever: dy/dx = (C + exp x)/x = C/x + ex/x. Na calculadora, você pode tentar integrar: ‘d1y(x) = (C + EXP(x))/x’ ` ‘y(x)’ ` DESOLVE O resultado é { ‘y(x) = INT((EXP(xt)+C)/xt,xt,x)+C0’ }, ex.
com as condições iniciais y(0) = 1.2, y’(0) = -0.5. Na calculadora use: [‘d1d1y(t)+5*y(t) = 2*COS(t/2)’ ‘y(0) = 6/5’ ‘d1y(0) = -1/2’] ` ‘y(t)’ ` DESOLVE Observe que as condições iniciais foram alteradas para as suas expressões Exatas, ‘y(0) = 6/5’, em vez de ‘y(0)=1.2’ e ‘d1y(0) = -1/2’, em vez de, ‘d1y(0) = -0.5’. Alterar para estas expressões exatas facilita a solução. Nota: Para obter as expressões fracionais para os valore decimais, use a função Q (consulte o capítulo 5).
1. 2. 3. Uso da transformação de Laplace converte a ODE linear envolvendo f(t) na equação algébrica. O desconhecido F(s) é resolvido para o domínio da imagem através da manipulação algébrica. Uma transformação Laplace inversa é usada para converter a função de imagem encontrada na etapa 2 na solução para a equação diferencial f(t). Definições A transformada de Laplace para a função f(t) é a função F(s) definida como L { ( f t )} = ( F ) s ∞ ∫ = f 0 ( t ) ⋅ st − e .
no modo RPN, mas é simples interpretá-los no modo ALG. Para este exemplo, configure o modo CAS para Real e Exact. Exemplo 1 – Você pode obter a definição da transformada de Laplace usando o seguinte: ‘f(X)’ ` LAP no modo RPN ou LAP(F(X))no modo ALG. A calculadora retorna o resultado (RPN, esquerda; ALG, direita): Compare estas expressões com aquela dada anteriormente na definição da transformada de Laplace, ex.
Exemplo 4 – Determina a transformada de Laplace inversa F(s) = 1/s3. Use: ‘1/X^3’ ` ILAP µ. A calculadora retorna o resultado: ‘X^2/2’, que é interpretada como L -1{1/s3} = t2/2. Exemplo 5 – Determina a transformada de Laplace da função f(t) = cos (a⋅t+b). Use: ‘COS(a*X+b)’ ` LAP . A calculadora retorna o resultado: Pressione µ para obter –(a sin(b) – X cos(b))/(X2+a2). A transformada é interpretada conforme a seguir: L {cos(a⋅t+b)} = (s⋅cos b – a⋅sin b)/(s2+a2).
• Teorema da diferenciação para a derivada n. Let f = f(0), então (k) o L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f = dkf/dxk|t = 0, e fo (n-1) , o • Teorema da linearidade. L{af(t)+bg(t)} = a⋅L{f(t)} + b⋅L{g(t)}. • Teorema da diferenciação para a função da imagem. Deixe F(s) = L{f(t)} então dnF/dsn = L{(-t)n⋅f(t)}. Exemplo 3 – Permita f(t) = e–at, usar a calculadora com ‘EXP(-a*X)’ ` LAP, você obtém ‘1/(X+a)’ ou F(s) = 1/(s+a).
Exemplo 4 – Usar o teorema de convolução encontra a transformada de Lapalce de (f*g)(t), if f(t) = sin(t) e g(t) = exp(t). Para encontrar F(s) = L{f(t)} e G(s) = L{g(t)}, então ‘SIN(X)’ ` LAPµ Resulta ‘1/(X^2+1)’, ex. F(s) = 1/(s2+1). Além disso, ‘EXP(X)’ ` LAP. Resulta ‘1/(X-1)’, ex., G(s) = 1/(s-1). Assim, L{(f*g)(t)} = F(s)⋅G(s) = 1/(s2+1)⋅1/(s-1) = 1/((s-1)(s2+1)) = 1/(s3-s2+s-1). • Teorema de deslocamento para um deslocamento a direita.
• Teorema de limite para o valor final: Permita F(s) = L{f(t)} então f ∞ = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s )]. t →∞ s →0 Função delta de Dirac e de etapa de Heaviside Na análise de sistemas de controle é comum usar um tipo de funções que representam certas ocorrências físicas, tais como ativação súbita de uma troca (função de etapa de Heaviside, H(t)) ou um pico súbito, instantâneo em uma entrada para o sistema (função delta de Dirac, δ(t)).
∫ ∞ −∞ ∞ f ( x) H ( x − x0 )dx = ∫ f ( x)dx. x0 A função delta de Dirac e a da etapa de Heaviside são relacionadas por dH/dx = δ(x). Estas idéias são ilustradas na figura abaixo. y y (x _ x 0 ) H(x _ x 0 ) 1 x0 x x0 x Você pode provar que L{H(t)} = 1/s, da qual segue que L{Uo⋅H(t)} = Uo/s, onde Uo é uma constante. Além disso, L -1{1/s}=H(t), e L -1{ Uo /s}= Uo⋅H(t).
Este resultado pode ser definido na transformada de Laplace para a função delta de Dirac porque de L -1{1.0}= δ(t), segue que L{δ(t)} = 1.0 Além disso, usando o teorema de deslocamento para um deslocamento a direita, L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s), podemos escrever L{δ(t-k)}=e–ks⋅L{δ(t)} = e– ks ⋅1.0 = e–ks.
L{dh/dt} + k⋅L{h(t)} = a⋅L{e–t}. Nota: ‘EXP(-X)’ ` LAP , produces ‘1/(X+1)’, ex., L{e–t }=1/(s+1). Com H(s) = L{h(t)} e L{dh/dt} = s⋅H(s) - ho, onde ho = h(0), a equação transformada é s⋅H(s)-ho+k⋅H(s) = a/(s+1). Use a calculadora para resolver H(s), escrevendo: ‘X*H-h0+k*H=a/(X+1)’ ` ‘H’ ISOL O resultado é ‘H=((X+1)*h0+a)/(X^2+(k+1)*X+k)’.
Nota: Ao usar a função LDEC para resolver uma ODE linear da ordem n em f(X), o resultado será dado em termos de constantes n cC0, cC1, cC2, …, cC(n-1), representando as condições iniciais f(0), f’(0), f”(0), …, f(n-1) (0). Exemplo 2 – Use a transformada de Laplace para resolver a equação linear, d2y/dt2+2y = sin 3t. Usando a transformada de Laplace, podemos escrever: L{d2y/dt2+2y} = L{sin 3t}, L{d2y/dt2} + 2⋅L{y(t)} = L{sin 3t}. Nota: ‘SIN(3*X)’ ` LAPµ produz ‘3/(X^2+9)’, ex., L{sin 3t}=3/(s2+9).
ex. y(t) = -(1/7) sin 3x + yo cos √2x + (√2 (7y1+3)/14) sin √2x. Verifique qual a solução para ODE seria se fosse usar a função LDEC: ‘SIN(3*X)’ ` ‘X^2+2’ ` LDEC µ O resultado é: ex. como anteriormente com cC0 = y0 e cC1 = y1. Nota: Usando os dois exemplos mostrados aqui, podemos confirmar o que indicamos anteriormente, ex. que a função ILAP usa a transformada de Laplace inversa para resolver ODEs linear dado o lado direito da equação e a equação de característica do ODE homogêneo correspodente.
‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL O resultado é ‘Y=(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’. Para encontrar a solução de ODE, y(t), é necessário usar a transformada de Laplace inversa, conforme a seguir: OBJ ƒ ƒ ILAP µ isole o lado direito da última expressão Obtenha a transformada de Laplace inversa O resultado é ‘y1*SIN(X)+y0*COS(X)+SIN(X-3)*Heaviside(X-3)’ Notas: [1].
‘EXP(-3*X)/(X^2+1)’ ` ILAP Resulta SIN(X-3)*Heaviside(X-3)’. [2]. O último resultado, ex. a transformada de Laplace inversa da expressão. ‘(EXP(-3*X)/(X^2+1))’, pode também ser calculada usando o segundo teorema de deslocamento para um deslocamento a direita L -1{e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a), se pudermos encontrar uma transformada de Laplace inversa para1/(s2+1). Com a calculadora, tente ‘1/(X^2+1)’ ` ILAP. O resultado é ‘SIN(X)’. Assim, L -1{e–3s/(s2+1))} = sin(t-3)⋅H(t-3).
descrevendo o sistema). Neste exemplo, queremos usar a função de etapa de Heaviside, H(t). Na calculadora podemos definir esta função como: ‘H(X) = IFTE(X>0, 1, 0)’ `„à Esta definição criará a variável @@@H@@@ na tecla do menu da calculadora. Exemplo 1 -- Para ver uma plotagem de H(t-2), por exemplo, use um tipo FUNCTION na plotagem (consulte o capítulo 12): • • Pressione „ô simultaneamente se estiver no modo RPN para acessar para a janela PLOT SETUP.
Pressione @ERASE @DRAW para plotar a função. Pressione @EDIT L @LABEL para ver a plotagem. O gráfico resultante será similar a este: Observe que o sinal começa com uma amplitude relativamente pequena, mas subitamente, em t=3, alternar para um sinal oscilatório com uma amplitude maior. A diferença entre o comportament do sinal antes e depois t = 3 é “alternar na” solução particular yp(t) = sin(t-3)⋅H(t-3).
ILAP Obtenha a transformada de Laplace inversa O resultado é ‘y1*SIN(X-1)+y0*COS(X-1)-(COS(X-3)-1)*Heaviside(X-3)’. Assim, escrevermos conforme a seguir: y(t) = yo cos t + y1 sin t + H(t-3)⋅(1+sin(t-3)). Verifique qual a solução para ODE seria se fosse usar a função LDEC: ‘H(X-3)’ `[ENTER] ‘X^2+1’ ` LDEC O resultado é: Observe que a variável X nesta expressão representa realmente a variável t no original ODE e que a variável ttt nesta expressão é uma variável fictícia.
Novamente, há um novo componente para o movmento trocado a t=3, sendo a solução particular yp(t) = [1+sin(t-3)]⋅H(t-3), que muda a natureza da solução para t>3. A função da etapa de Heaviside pode ser combinada com uma função constante e com as funções lineares para gerar e ver pulsos finitos quadrados, triangulares e tooth, conforme a seguir: • Pulso quadrado de tamanho Uo no intervalo a < t < b: f(t) = Uo[H(t-a)-H(t-b)].
Série de Fourier A série de Fourier são séries envolvendo as funções seno e coseno tipicamente usadas nas funções periódicas de expansão. Uma função f(x) é considerada periódica, do período T, se f(x+T) = f(t). Por exemplo, por causa de sin(x+2π) = sin x e cos(x+2π) = cos x, as funções sin e cos são funções periódicas 2π. Se duas funções f(x) e g(x) são periódicas de período T, então sua combinação linear h(x) = a⋅f(x) + b⋅g(x) é também de período T.
A seguir, usemos o Editor de Equação para calcular os coeficientes: Assim, o primeiro dos três termos da função é: f(t) ≈ 1/3 – (4/π2)⋅cos (π⋅t)+(2/π)⋅sin (π⋅t). Uma comparação geográfica da função original com a expansão de Fourier usando os três termos mostra que o ajuste é aceitável para t < 1 ou nas proximidades. Mas, então, novamente, estipulamos que T/2 = 1. Portanto, o ajuste é válido apenas entre –1 < t < 1.
onde cn = 1 T ∫ T 0 f (t ) ⋅ exp( 2 ⋅ i ⋅ n ⋅π ⋅ t ) ⋅ dt , n = −∞,...,−2,−1,0,1,2,...∞. T A função FOURIER fornece o coeficiente cn de forma complexa da série Fourier dada à função f(t) e o valor de n. A função FOURIER requer que você armazene o valor do período (T) de uma função T periódica na variável PERIOD do CAS antes de chamar a função. A função FOURIER está disponível no submenu DERIV dentro do menu CALC („Ö).
Assim, c0 = 1/3, c1 = (π⋅i+2)/π2, c2 = (π⋅i+1)/(2π2). A série Fourier com os três elementos será escrita como g(t) ≈ Re[(1/3) + (π⋅i+2)/π2⋅exp(i⋅π⋅t)+ (π⋅i+1)/(2π2)⋅exp(2⋅i⋅π⋅t)]. Uma plotagem da função deslocada g(t) e a série Fourier ajustando o seguinte: O ajuste é algo aceitável para 0
Um expressão geral para cn A função FOURIER pode fornece uma expressão geral para o coeficiente cn da expansão da série Fourier complexa.
• Primeiro, defina uma função c(n) representando o termo geral cn na série Fourier complexa. • A seguir, defina a série Fourier complexa finita, F(X,k), onde X é a variável independente e k determina o número de termos a ser usado.
A função @@@F@@@ pode ser usada para gerar a expressão pra a série Fourier complexa para um valor finito de k. Por exemplo, para k = 2, c0 = 1/3 e usando t como a variável independente, podemos avaliar F(t,2,1/3) para obter: Este resultado mostra apenas o primeiro termo (c0) e parte do primeiro termo exponencial nas séries. O formato do visor decimal foi alterado para Fix com 3 decimais para mostrar os coeficientes na expansão e no expoente. Conforme esperado, os coeficientes são números complexos.
F F F F (0.5, (0.5, (0.5, (0.5, 3, 4, 5, 6, 1/3) 1/3) 1/3) 1/3) = = = = (-0.192401031886,0). (-0.167070735979,0). (-0.294394690453,0). (-0.305652599743,0).
Série de Fourier para uma onda triangular Considere a função x, if 0 < x < 1 g ( x) = 2 − x, if 1 < x < 2 que é periódica com o período T = 2. Esta função pode ser definida na calculadora no modo ALG pela expressão DEFINE(‘g(X) = IFTE(X<1,X,2-X)’) Se iniciar este exemplo depois de terminar o exemplo 1 você deve ter um valor de 2 armazenado na variável PERIOD do CAS. Verifique o valor desta variável e armazene um 2 se for necessário.
A calculadora retorna uma integral que não pode ser avaliada numericamente porque depende do parâmetro n. O coeficiente pode ainda ser calculador digitando sua definição na calculadora, ex. 1 1 i ⋅ 2 ⋅ n ⋅π ⋅ X ⋅ ∫ X ⋅ EXP − ⋅ dX + 2 0 T 1 2 i ⋅ 2 ⋅ n ⋅π ⋅ X ⋅ ∫ (2 − X ) ⋅ EXP − ⋅ dX 1 2 T onde T = 2 é o período.
Pressione `` para copiar este resultado no visor. Então, reative o Editor de Equação para calculaor a segunda integral definindo o coeficiente cn, a saber, Novamente, substiuir einπ = (-1)n, e usar e2inπ = 1, obtemos: Pressione `` para copiar este resultado no visor.
Novamente, substituir einπ = (-1)n resulta em Este resultando é usado para definir a função c(n) conforme a seguir: DEFINE(‘c(n) = - (((-1)^n-1)/(n^2*π^2*(-1)^n)’) ex. A seguir, definimos a função F(X,k,c0) para calcular a série de Fourier (se completou o exemplo 1 já armazenou esta função): DEFINE(‘F(X,k,c0) = c0+Σ(n=1,k,c(n)*EXP(2*i*π*n*X/T)+ c(-n)*EXP(-(2*i*π*n*X/T))’), Para comparar a função original e a série Fourier podems produzir a plotagem simultânea de ambas as funções.
O gráfico resultante é mostrado abaixo para k = 5 (o número de elementos na série é 2k+1, ex. 11 neste caso): Da plotagem é muito dificil distinguir a função original da aproximação da serie Fourier. Usando k = 2 ou 5 temos na série, não mostra um ajuste tão bom: A série Fourier pode ser usada para gerar uma onda triangular periódica (ou onda tooth) alternado a faixa do eixo x, por exemplo, de –2 a 4.
0, if 0 < x < 1 g ( x) = 1, if 1 < x < 3 0, if 3 < x < 4 Neste caso, o período T, é 4. Certifique-se de alterar o valor da variável @@@T@@@ para 4 (use: 4 K @@@T@@ `) A função g(X) pode ser definida na calculadora usando DEFINE(‘g(X) = IFTE((X>1) AND (X<3),1,0)’) A função plotada conforme a seguir (escala horizontal: 0 a 4, escala vertical:0 a 1.2 ): Usando um procedimento similar a este da forma triangular no exemplo 2 acima, você pode descobrir que c0 = 1 3 ⋅ 1 ⋅ dX = 0.
Podemos simplificar esta expressão usando einπ/2 = in e e3inπ/2 = (-i)n para obter: A simplificação do lado direito de c(n) acima é mais fácil se for feita por escrito (ex. manualmente). Então, redija a expressão para c(n) conforme mostrado na figura a esquerda acima para definir a função c(n). A série Fourier é calculada com F(X,k,c0), como nos exemplos 1 e 2 acima com c0 = 0.5. Por exemplo for k = 5, ex.
Aplicações da série Fourier nas equações diferenciais Suponha que desejamos usar a onda quadrática periódica definida no exemplo anteriore como excitação de um sistem de suspensão da massa não amortecida: d2y/dX2 + 0.25y = 0. Podemos gerar a força de excitação obtendo uma aproximação com k =10 da série de Fourier usando SW(X) = F(X,10,0.5): Podemos usar este resultado como a priemeira entrada para a função LDEC quando usado para obter uma solução para o sistema d2y/dX2 + 0.
SUBST(ANS(1),cC0=0.5) ` seguido por SUBST(ANS(1),cC1=-0.5) `. De volta ao visor normal da calculadora, podemos ver: O último resultado pode ser definido como uma função, FW(X), conforme a seguir (cortando e colando o último resultado no comando): Podemos agora plotar a parte real desta função.
integral é uma transformação relacionada com uma função f(t) para uma nova função F(s) por uma integração da forma F ( s ) = ∫ b a κ ( s, t ) ⋅ f (t ) ⋅ dt. A função κ(s,t) é mostrada como o centro da transformação. O uso de uma transformada integral permite que resolvamos uma função dados os espectros do componente. Para compreender o conceito de um espectro, considere a série Fourier ∞ f (t ) = a0 + ∑ (an ⋅ cos ω n x + bn ⋅ sin ω n x ), n =1 representando uma função periódica com período T.
∞ = a 0 + ∑ (a n ⋅ cos ω n x + bn ⋅ sin ω n x ) n =1 Uma plotagem dos valores An vs. ωn é a representação típica de um espectro discreto para uma função. O espectro discreto mostrará que a função tem componentes em frquências angulares ωn que são múltiplos de inteiros da frequência angular fundamental ω0. Suponha que enfrentemos a necessidade de expandir uma função não periódica nos componentes seno e coseno. Uma função não periódica pode ser vista como tendo um período infinitamente grande.
A função C(ω), S(ω), e A(ω) são funções contínuas de uma variável ω, que torna-se a variável da transformada para a transformada de Fourier definida acima. Exexmplo 1 – Determina os coeficientes C(ω), S(ω), e o espectro contínuo A(ω), para a função f(x) = exp(-x), para x > 0 e f(x) = 0, x < 0.
Definição da transformada de Fourier Tipos diferentes da transformada de Fourier podem ser definidos.
F −1{F (ω )} = f (t ) = ∞ 1 ⋅ ∫ F (ω ) ⋅ e −iωt ⋅ dt 2π −∞ Exemplo1 – Determina a transformada de Fourier da função f(t) = exp(-t), para t >0 e f(t) = 0 para t<0. O espectro contínuo, F(ω) é calculado com a integral: 1 2π = lim ε →∞ ∫ ∞ 0 e −(1+iω ) t dt = lim ε →∞ 1 2π ∫ ε 0 e −(1+iω ) t dt 1 1 − exp(−(1 + iω )t ) = 1 + iω 2π 1 1 . 2π 1 + iω ⋅ Este resultdo pode ser racionalizado pela multiplicação do numerado ou denominador pela conjugada do denominador, a saber,1-iω.
Notas: O valor absoluto da transformada de Fourier, |F(ω)|, é o espectro da frequência da função original f(t). Para o exemplo mostrado acima, |F(ω)| = 1/[2π(1+ω2)]1/2. A plotagem de |F(ω)| e de ω foi mostrada anteriormente. Algumas funções, tais como os valores constantes, sin(x), exp(x), x2, etc., não tem a transformada de Fourier. As funções que vão para o zero suficientemente rápido como x vai para o infinito tem a transformada de Fourier.
F{f*g} = F{f}⋅F{g}. Transformada de Fourier rápida (FFT) A transformada de Fourier rápida é um algoritmo de computador onde podemos calcular de forma muito eficiente uma transformada de Fourier discreta (DFT). Este algoritmo tem aplicações na análise de tipos diferentes de sinais dependente de tempo, de medidas de turbulência para sinais de comunicação.
Exemplos de aplicações FFT A aplicação FFT envolve normalmente os dados discretos de um sinal depedente de tempo. A calculadora pode ser alimentada pelos dados, digamos de um computador ou um logger de dados para o processamento. Ou pode gerar seus próprios dados pela programação de uma função e adicionar alguns números aleatórios. Exemplo 1 – Define a função f(x) = 2 sin (3x) + 5 cos(5x) + 0.5*RAND, onde RAND é o gerador de número aleatório uniforme fornecido pela calculadora.
a janela de visão para H-VIEW: 0 32, V-VIEW: -10 10 e BarWidth para 1. Pressione CANCL $para retornar ao visor normal da calculadora. Para fazer a FFT no conjunto no nível 1 da pilha use a função FFT disponível no menu MTH/FFT no conjunto DAT: @£DAT FFT. O FFT retorna o conjunto de números complexos que são conjuntos de coeficientes Xk de DFT. A magnitude dos coeficientes Xk representa um espectro dos dados originais.
Exemplo 2 – Para produzir o sinal dado o espectro, modificamos o programa GDATA para incluir um valor absoluto para que leia: << m a b << ‘2^m’ EVAL n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL Dx << 1 n FOR j ‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f ABS NEXT n ARRY >> >> >> >> Armezene esta versão do programa sob GSPEC (espectro gerado). Execute o programa com m = 6, a = 0, b = 100. No modo RPN, use: 6#0#100@GSPEC! Pressione ` ao terminar para manter uma cópia adicional do conjunto do espectro.
Exceto pelo pico grande em t = 0, o sinal é mais ruído. Uma escala vertical menor (-0,5 a 0,5) mostra o sinal conforme a seguir: Solução para equações diferenciais de segunda ordem específicas Nesta seção apresentamos e resolvemos tipos específicos de equações difernciais ordináiras cujas soluções são definidas em termosde algumas funções clássicas, ex. funções de Bessel, polinômios de Hermite, etc. Os exemplos são apresentados no mode RPN.
n 2 + (a − 1) ⋅ n + b = 0 . • Se a equação tem duas raízes diferentes, digamos n1 e n2, então a solução geral desta equação é y(x) = K1⋅x n1 + K2⋅x n2. • Se b = (1-a)2/4, então a equação tem uma raiz quadrada n1 = n2 = n = (1-a)/2, e a solução volta a ser y(x) = (K1 + K2⋅ln x)xn. Equação de Legendre Uma equação da forma (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, onde n é um número real, é conhecida como a equação diferencial de Legendre.
4 LEGENDRE, resulta: ‘(35*X^4-30*X^2+3)/8’, ex. P4(x) =(35x4-30x2+3)/8. 5 LEGENDRE, resulta: ‘(63*X^5-70*X^3+15*X)/8’, ex. P5(x) =(63x5-70x3+15x)/8. A ODE (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+[n⋅ (n+1)-m2/(1-x2)] ⋅y = 0, tem quatro soluções para a função y(x) = Pnm(x)= (1-x2)m/2⋅(dmPn/dxm). Esta função é mencionada como uma função associada a Legendre.
Assim, temos controle sobre a ordem da função, n e do número de elementos nas série k. Logo que digitar esta função você pode usar a função DEFINE para definir a função J(x,n,k). Isto criará a variável @@@J@@@ nas teclas do menu virtual. Por exemplo, para avaliar J3(0.1) usando 5 termos na série, calcule J(0.1,3,5), ex. no modo RPN: ..1#3#5@@@J@@@. O resultado é 2.08203157E-5. Se quisermos obter uma expresão para J0(x) com, digamos, 5 termos na série, use J(x,0,5). O resultado é ‘1-0.25*x^3+0.015625*x^4-4.
Yn ( x) = x x n ∞ (−1) m −1 ⋅ (hm + hm + n ) 2 m 2 ⋅ J n ( x) ⋅ (ln + γ ) + ⋅∑ ⋅x π π m =0 2 2 m + n ⋅ m!⋅(m + n)! 2 − x − n n −1 (n − m − 1)! 2 m ⋅∑ ⋅x π m =0 2 2 m − n ⋅ m! onde γ é a constante Euler, definida por γ = lim[1 + r →∞ 1 1 1 + + ... + − ln r ] ≈ 0.57721566490..., 2 3 r e hm representa a série harmômica hm = 1 + 1 1 1 + + ... + m 2 3 Para o caso n = 0, a função Bessel do segundo tipo é definida como Y0 ( x) = ∞ (−1) m −1 ⋅ hm 2 m x 2 ⋅ x .
Estas funções são também conhecidas como a primeira e segunda funções de Hankel de ordem ν. Em algumas aplicações é importante usar a tão chamada funções de Bessel modificada do primeiro tipo da ordem v definida como as Iν(x)= i-ν⋅Jν(i⋅x), onde i é o número imaginário da unidade. Estas funções são as soluções para a equação diferencial x2⋅(d2y/dx2) + x⋅ (dy/dx)- (x2+ν2) ⋅y = 0. As funções de Bessel modificada do segundo tipo, Kν(x) = (π/2)⋅[I-ν (x)−Iν (x)]/sin νπ, são também soluções deste ODE.
Os primeiros quatro polinômios de Chebyshev ou Tchebycheff de primeiro tipo são obtidos conforme a seguir: 0 TCHEBYCHEFF, resulta: 1, -0 TCHEBYCHEFF, resulta: 1, 1 TCHEBYCHEFF, resulta: 'X' -1 TCHEBYCHEFF, resulta: 1, 2 TCHEBYCHEFF, resulta: ‘2*X^2-1’, -2 TCHEBYCHEFF, resulta: ‘2*X’, 3 TCHEBYCHEFF, resulta: ‘4*X^3-3*X’, -3 TCHEBYCHEFF, resulta: ‘4*X^2-1’, ex. ex. ex. ex. ex. ex. ex. ex. T0(x) = 1.0. U0(x) = 1.0. T1(x) = x. U1(x) =1.0. T2(x) =2x2-1. U2(x) =2x. T3(x) = 4x3-3x. U3(x) = 4x2-1.
e o coeficiente m-th da expansão binomial (x+y)n. Representa também o número de combinações de n elementos tomados m de cada vez. Esta função está disponível na calculadora como função COMB no menu MTH/PROB (consulte também o capítulo 17). Você pode definir a função seguinte para calcular os polinômios de Laguerre: Quando feito digitando-a no Editor de Equação pressione a função DEFINE para criar a função L(x,n) na variável @@@L@@@.
0 1 2 3 HERMITE, HERMITE, HERMITE, HERMITE, resultado: resultado: resultado: resultado: 1, ’2*X’, ’4*X^2-2’, ’8*X^3-12*X’, ex., ex., ex., ex., H0* H1* H2* H3* = = = = 1. 2x. 4x2-2. 8x3-12x. Soluções numéricas e gráficas aos ODEs As equações diferenciais que não podem ser resolvidas analìticamente podem ser resolvidas numerica ou graficamente conforme ilustrado a seguir.
Para resolver pressione: @SOLVE (espere) @EDIT@. O resultado é 0.2499 ≈ 0.25. Pressione @@@OK@@@. A solução apresentada como uma tabela de valores Suponha que desejamos produzir uma tabela de valores de v, para t = 0.00, 0.25, …, 2.00, procederemos conforme a seguir: Primeiro, prepare uma tabela para escrever seus resultados. Escreva em sua tabela os resultados passo a passo: t 0.00 0.25 … 2.00 v 0.
Repita para t = 1.25, 1.50, 1.75, 2.00. Pressione @@OK@@ depois de visualizar o último resultado em @EDIT. Par retornar ao visor normal da calculadora pressione $ ou L @OK@@. As soluções diferentes serão apresentadas na pilha com o último resultado no nível 1. A plotagem resultante é similar conforme a seguir (arredondado ao terceiro decimal): t 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 v 4.000 3.285 2.640 2.066 1.562 1.129 0.766 0.473 0.
• • • • • • • • • • „ô (simultaneamente, se estiver no modo RPN) para inserir o ambiente PLOT Selecione o campo na frente de TYPE usando as teclas —˜. Depois, pressione @CHOOS e selecione Diff Eq usando as teclas —˜. Pressione @@OK@@. Altere o campo F: para ‘EXP(- t^2)’ Certifique-se de que os parâmetros seguintes são configurados para: HVAR: 0, V-VAR: 1 Altere a variável independente para t. Aceite as alterações para PLOT SETUP: L @@OK@@ „ò (simultaneamente se estiver no modo RPN).
Observe que as etiquetas para os eixos são mostradas como 0 (horizontal para t) e 1 (vertical para x). Estas são as definições para os eixos conforme dado na janela PLOT SETUP („ô) ex, H-VAR: 0 e V-VAR: 1. Para ver a solução gráfica em detalhe use o seguinte: LL@PICT @(X,Y)@ Para recuperar o menu e retornar ao ambiente PICT. Pressione para determinar as coordenadas de qualquer ponto no gráfico. Use as teclas š™ para mover o cursor na área de plotagem.
Rescreva a ODE como: w' = Aw, onde w = [ x x' ]T, É A é a matriz 2 x 2 mostrada a seguir: ' 1 x x 0 x' = − 18.75 − 1.962 ⋅ x' As condições iniciais são agora escritas como w = [0 6]T, para t = 0. (Observe: O símbolo [ ]T significa que a transposta do vetor ou matriz). Para resolver este problema, primeiro crie e armazene a matriz A, ex. no modo ALG. Então, ative o solucionador da equação de diferenciação numérica usando: ‚ Ï ˜ @@@OK@@@.
conforme a seguir: Primeiro, prepare uma tabela para escrever seus resultados. t 0.00 0.25 … 2.00 x 0.00 x 6.00 … … A seguir, dentro do ambiente SOLVE, altere o valor final para a variável independente para 0.25, use : —.25 @@OK@@ ™™ @SOLVE (espere) @EDIT Resolva para w em t = 0.25, w = [0.968 1.368]. @@OK@@ INIT+ — . 5 @@OK@@ ™™@SOLVE (espere) @EDIT Altera o valor inicial de t para 0.25 e o valor final de t para 0.5, resolve novamente para w(0.5) = [0.748 -2.616]. @@OK@@ @INIT+ —.
Solução gráfica para ODE de segunda ordem Inicie ativando o solucionador numérico de equação diferencial, ‚ Ï ˜ @@@OK@@@ . O visor SOLVE é similar a este; Observe que a condição inicial para a solução (Soln: w Init:[0., …] inclui o vetor [0, 6]. Pressione L @@OK@@ . A seguir, pressione „ô (simultaneamente, se estiver no modo RPN) para inserir o ambiente PLOT. Selecione o campo na frente de TYPE usando as teclas —˜. Depois, pressione @CHOOS e selecione Diff Eq usando as teclas —˜. Pressione @@OK@@.
Para plotar x’ e t gráfica use: @ERASE @DRAW . A plotagem de x’ e. t é similar a: Para plotar a segunda curva podemos usar o formulário de entrada PLOT SETUP novamente. Para alcançar este formulário do gráfico acima use: @CANCL L @@OK@@ „ô(simultaneamente se estiver no modo RPN). Altere o valor de V-Var: campo para 2 e pressione @DRAW (não pressione @ERASE ou perderia o gráfico produzido acima). Use: @EDIT L @LABEL @MENU para ver as etiquetas do eixo e a faixa.
Solução exata Esta equação pode ser escrita como dy/dt + 100 y = 100 t + 101 e resolvida usando um fator de integração, IF(t) = exp(100t), conforme a seguir: ‘(100*t+101)*EXP(100*t)’ ` ‘t’ ` RISCH O resultado é ‘(t+1)*EXP(100*t)’. A seguir, adicionamos uma constante de integração, usando: ‘C’ `+ Depois dividimos pelo FI(x) usando: ‘EXP(100*t)’ `/. O resultado é: ‘((t+1)*EXP(100*t)+C)/EXP(100*t)’, ex. y(t) = 1+ t +C⋅e100t.
contém os componentes ‘t’ e ‘C⋅e100t’, que variam em diferentes taxas, exceto para os casos C=0 or C≈0 (ex, para C = 1, t =0,1, C⋅e100t =22026). O solucionador numérico ODE da calculadora permite a solução de ODE rígida selecionando a opção _Stiff no visor SOLVE Y’(T) = F(T,Y). Com esta opção selecionada, é necessário fornece os valores de ∂f/∂y e ∂f/∂t. Para o caso sob consideração ∂f/∂y =-100 e ∂f/∂t = 100.
Função RKF Esta função é usada para calcular a solução para um problema de valor inicial para uma equação diferencial de primeira ordem usando o esquema de solução da 4th -5th ordem de Runge-Kutta-Fehlbert. Suponha que a equação diferencial resolvida é dada por dy/dx = f(x,y), com y = 0 at x = 0 e que você permite um critério de convergência e para a solução. Você pode especificar também um aumento na variável independente, ∆x, para ser usado pela função.
Os seguintes visores mostram a pilha RPN antes e depois de aplicar a função RKF para a equação diferencial dy/dx = xy, ε = 0.001, ∆x = 0.1. Depois de aplicar a função RKF a variável @@@y@@@ contém o valor 4.3880...
O valor armazenado na variável y é 3.00000000004. Função RKFSTEP Esta função usa uma lista de entrada similar a função RKF, como também a tolerância para a solução e uma possível etapa ∆x, e retornar a mesma lista de entrada seguido pela tolerância e uma estimativa da próxima etapa na variável idependente. Esta função retorna a lista de entrada, a tolerância e a próxima etapa na variável independente que satisfaz esta tolerância.
Função RRKSTEP Esta função usa uma lista de entrada similar a esta da função RRK, como também da tolerância para a solução, uma etapa possível ∆x, e um número (LAST) especificando o último método usado na solução (1, se RKF foi usado ou 2, se RRK foi usado). A função RRKSTEP retorna a mesma lista de entrada seguido pela tolerância, uma estimativa da próxima etapa na variável independente e o método atual (CURRENT) usado para chegar na próxima etapa.
Função RKFERR Esta função retorna a estimativa de erro absoluto para uma dada etapa quando resolve um problema conforme descrição da função RKF. Assim, a pilha de entrada é similar a esta: 2: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} 1: ∆x Depois de executar esta função, a pilha mostrará as linhas: 4: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} 3: ε 2: ∆y 1: erro Assim, esta função é usada para deteminar o aumento na solução, ∆y, como também do erro absoluto.
2: 1: ∆y erro O seguinte visor mostra a pilha RPN antes e depois da aplicação da função RSBERR: Estes resultados indicam que ∆y = 4.1514… e o erro = 2.762..., para Dx = 0.1. Verifique que, se Dx é reduzido para 0.01, ∆y = -0.00307… e o erro = 0.000547. Nota: Enquanto executa os comandos no menu DIFF os valores x e y serão produzidos e armazenados como variáveis na sua calculadora. Os resultados fornecidos pelas funções nesta seção dependerão dos valores atuais de x e y.
Capítulo 17 Aplicações de probabilidade Neste capítulo fornecemos exemplos de aplicações das funções da calculadora para distribuições das probabilidades. O submenu MTH/PROBABILITY.. – parte 1 O submenu MTH/PROBABILITY.. é acessível através da seqüência de tecla „´. Com o sinalizador do sistema 117 configurado para menu CHOOSE, é fornecida a seguinte lista de opções MTH (consulte o lado esquerdo da figura abaixo). Selecionamos a opção PROBABILITY..
n n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1) n! = = r! r!(n − r )! r Par simplificar a notação, use P(n,r) para permutações e C(n,r) para combinações. Podemos calcular as combinações, permutações e fatorias com as funções COMB, PERM e ! do submenu MTH/PROBABILITY... A operação destas funções é apresentada a seguir: • • • COMB(n,r): Combinações de itens n tomados de r em qualquer tempo PERM(n,r): Permutações de itens n tomados de r em qualquer tempo n!: Fatorial de um número positivo.
função RAND, você obtém a lista de números mais um número aleatório anexado a ela conforme ilustrado na figura do lado direito. Geradores de número aleatório, em geral, operam tomando um valor chamado de “seed” do gerado e fazendo algum algoritmo matemático nesta “seed” que gera um novo número (pseudo) aleatório.
Armazene na variável RLST (LiST aleatório) e use J5@RLST! para produzir uma lista de 5 números aleatórios. A função RNDM(n,m) pode ser usada para gerar uma matriz de n linhas e m colunas cujos elementos são números inteioros aleatórios entre -1 e 1(consulte o capítulo 10). Distribuições de probabilidade discreta Uma variável aleatória é considerada discreta quando pode apenas ser um número finito de valores.
n f (n, p, x) = ⋅ p x ⋅ (1 − p ) n − x , x = 0,1,2,..., n x onde (nx) = C(n,x) é a combinação de elementos n tomados de x em um momento. Os valores n e p são os parâmetros da distribuição. O valor n representa o númetro de repetições de um experimento ou a observação que pode ter dois resultados, ex. sucesso e fracasso. Se a vairável X aleatória representa o número de sucessos nas repetições n, então p representa a probabilidade de obter um sucesso em uma dada repetição.
DEFINE(cdfb(n,p,x) = Σ(k=0,x,pmfb(n,p,k))) DEFINE(pmfp(λ,x) = EXP(-λ)*λ^x/x!) DEFINE(cdfp(λ,x) = Σ(k=0,x,pmfp(λ,x))) Os nomes da função significa: • • • pmfb: cdfb: pmfp: • cdfp: função massa de probabilidade para a distribuição binomial função distribuição cumulativa para a distribuição binominal função massa de probabilidade para a distribuição de Poisson função distribuição cumulativa para a distribuição De Poisson Exemplos das aplicações destas funções são mostrados a seguir: Distribuição de proba
Nesta seção descrevemos as distribuições de probabilidade contínuas incluind a gama, exponencial, beta e distrobuições de Weibull. Estas distribuições são descritas em quaisquer livros de estatísticas. Algumas destas funções usam a função gama definida anteriormente, é calculada na calculadora usando a função fatorial Γ(x) = (x-1)!, para qualquer número real x.
A distribuição Weibull A pdf para a distribuição Weibull é dada por f ( x) = α ⋅ β ⋅ x β −1 ⋅ exp(−α ⋅ x β ), for x > 0,α > 0, β > 0 Enquanto a cdf correspondente é dado por F ( x) = 1 − exp(−α ⋅ x β ), for x > 0, α > 0, β > 0 As funções para as distribuições contínuas Para definir a coleção de funções corespondentes a gama, beta e distribuições Weibull crie primeiro um subdiretório chamado CFUN (funções contínuas) e defina as seguintes funções (altere para modo Approx): Gamma pdf: Gamma cdf: Beta pd
definições. Entretanto, você não precisa inseri-las no visor para calcular as funções. Portanto, é necessário definir anteriormente armazenando os valores correspondentes nas variáveis α e β. Um vez que todas as funções e valores α e β foram armazenados, você pode ordenar as etiquetas do menu usando a função ORDER.
contidas no menu MTH/PROBABILITY introduzido anteriormente neste capítulo. As funções são NDIST, UTPN, UTPT, UTPC e UTPF. Suas aplicações são descritas nas seguintes seções. Para ver estas funções ative o menu MTH: „´ e selecione a opção PROBABILITY: Distribuição normal pdf A expressão para a distribuição normal pdf é: f ( x) = 1 σ 2π exp[− (x − µ)2 ], 2σ 2 onde µ é a média e σ2 é a variação da distribuição.
• • P(ac) = UTPN(µ, σ2,c) Exemplos: Usar µ = 1.5 e σ2 = 0.5, encontre: P(X<1.0) = 1 - P(X>1.0) = 1 - UTPN(1.5, 0.5, 1.0) = 0.239750. P(X>2.0) = UTPN(1.5, 0.5, 2.0) = 0.239750. P(1.0
• • P(ac) = UTPT(ν,c) (1 - UTPT(ν,a)) = Exemplos: Dado ν = 12, determina: P(T<0.5) = 1-UTPT(12,0.5) = 0.68694.. P(-0.5 -1.2) = UTPT(12,-1.2) = 0.8733… A distribuição qui-quadrado A distribuição qui-quadrado (χ2) tem um parâmetro ν conhecido como graus de liberdade.
Exemplos: Dado ν = 6, determina: P(X<5.32) = 1-UTPC(6,5.32) = 0.4965.. P(1.2 20) = UTPC(6,20) = 2.769..E-3 A distribuição F A distribuição F tem dois parâmetros νN = graus em números de liberdade e νD = grau do denominador de liberdade.
P(F<2) = 1-UTPF(10,5,2) = 0.7700… P(55) = UTPF(10,5,5) = 4.4808..E-2 Funções distribuição cumulativa inversa Para a variável aleatória contínua X com função densidade cumulativa (cdf) F(x) = P(X
encontrar uma solução gráfica. Os detalhes sobre como encontrar a raiz de um gráfico são apresentadas no capítulo 12. Para assegurar os resultados numéticos, altere a configuração do CAS para Approx.
De forma alternartiva, você pode usar a função @TRACE @(X,Y)@ para estimar as raizes traçando a curva próximo de seu ponto de interseção com o eixo x. Duas estimativas são mostradas abaixo: Estas estimativas sugerem soluções x = -1.9 e x = 3.3. Você pode verificar estas “soluções” inserindo a função Y1(X) para X = -1.9 e X = 3.3, ex.
variável EQ (figura no lado esquerdo abaixo). Então, ative o solucionador numético para obter o formulário de entrada na figura do lado direito: A próxima etapa é inserir os valores de µ, σ2 e p, e resolver x: Este formulário de entrada pode ser usado para resolver quaisquer dos quatro valores envolvidos na equação para a distribuição normal.
Oserve que em todos os exemplos mostrados acima, estamos funcionado com p = P(Xx) = α. Além disso, para a distribuição normal, provavelmente estaremos trabalhando com a distribuição normal padrão no qual µ =0, and σ2 = 1. A variável normal padrão é tipicamente chamada de Z para que o problema a resolver seja P(Z>z) = α.
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Capítulo 18 Aplicações estatísticas Neste capítulo introduziremos as aplicações estatísticas da calculadora incluindo as estatísticas de uma distribuição de frequência de dados, regressão simples, intervalos de confidência e teste de hipótese. Característica estatísticas pré-programadas A calculadora fornece as características estatísticas pré-programadas acessíveis usando a combinação de tecla ‚Ù (a mesma tecla como a tecla de número 5).
« OBJ 1 2 LIST ARRY » Armazene o programa em uma variável chamada LXC. Depois de armazenar este programa no modo RPN você pode usá-lo também no modo ALG. Para armazenar um vetor de coluna em uma variável ΣDAT use a função STOΣ disponível no catálogo (‚N), ex. STOΣ (ANS(1)) no modo ALG. Exemplo 1 – Usar o programa LXC, definido acima, cria um vetor de coluna usando os dados seguintes: 2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2 1.2 2.5. No modo RPG, digite nos dados na lista: {2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.
Exemplo 1 – Para os dados armazenados no exemplo anterior, os resultados das estatísticas variáveis individuais são os seguintes: Significa: 2.133, Total: 25.6, Der. pad.: 0.964, Máximo: 4.5, Variação: 0.929 Mínimo: 1.1 Definições As definições usadas para estas quantidades são as seguintes: Suponha que tenha um número de pontos de dados x1, x2, x3, …, representando diferentes medidas da mesma variável discreta ou contínua x.
x g = n x1 ⋅ x 2 L x n , n 1 1 =∑ . x h i =1 xi Os exemplos do cálculo destas medidas, usando as listas estão disponíveis no capítulo 8. A mediana é o valor que divide o conjunto de dados no meio quando os elementos são colocados em ordem crescente. Se tiver um número ímpar, n, de elementos médios desta amostra é o valor localizado na posição (n+1)/2. Se tiver um elemento par, n, de elementos, a mediana é a média dos elementos localizados nas posições n/2 e (n+1)/2.
2 A variação (Var) da amostra é definida como s x = n 1 ⋅ ∑ ( xi − x ) 2 . n − 1 i =1 O desvio padrão (St Dev) da amostra é apenas a raiz quadrada da variação, ex., sx. A faixa da amostra é a diferença entre os valores máximo e mínimo da amostra. Dado que a calculadora através das funções estatísticas préprogramadas fornece os valores máximo e mínimo da amostra, você pode facilmente calcular a faixa.
ΣDAT: Col: X-Min: Contagem bloco: Largura do bloco: A matriz contendo os dados de interesse. a coluna de ΣDAT que está sob escrutínio. O limite mínimo de classe (padrão = -6.5). O número de classe (padrão = 13). a largura uniforme de cada classe (padrão = 1).
Exemplo 1 -- Para ilustrar melhor a obtenção de distribuições de freqüências, queremos gerar um conjunto de dados grandes definidos, digamos 200 pontos, usando o seguinte: • • • • • • Primeiro, alimente o gerado de número aleatório usando: RDZ(25) no modo ALG ou 25 ` RDZ no modo RPN (consulte o capítulo 17). Digite o programa enquanto estiver no modo RPN. « n « 1 n FOR j RAND 100 * 2 RND NEXT n LIST » » e salve-o sob o nome RDLIST (gerador LIST de número aleatório).
freqüência foi feita. Para este caso, I obtenha os valores [ 25. 22.] indicando que existem, no vetor ΣDAT, 25 valores menores do que 10 e 22 maiores do que 90. • Pressione ƒ para colocar o vetor de delimitadores da pilha O resultado restante é a contagem da freqüência de dados. Isto pode ser interpretado em uma tabela conforme mostrado acima.
Dado o vetor de freqüências geradas pela calculadora, você pode obter um vetor de freqüência cumulativa usando o seguinte programa no modo RPN: « DUP SIZE 1 GET freq k « {k 1} 0 CON cfreq « ‘freq(1,1)’ EVAL ‘cfreq(1,1)’ STO 2 k FOR j ‘cfreq(j-1,1) +freq(j,1)’ EVAL ‘cfreq (j,1)’ STO NEXT cfreq » » » Salve-o sob o nome CFREQ.
• Pressione @ERASE @DRAW@ para gerar o seguinte histograma: • Pressione @CANCEL para retornar ao visor anterior. Altere V-view e Bar Width novamente e agora leia V-View: 0 30, Bar Width: 10. Um novo histograma baseado no mesmo conjunto de dados, agora é similar a: Uma plotagem de contagem de frequência, fi, vs. Marcas de classse, xMi, é conhecida como o polígono da frequência. Uma plotagem da frequência culumativa e os limites superior é conhecimdo como a ogiva de frequência cumulativa.
• • • Primeiro, insira as duas colunas de dados na variável ΣDAT usando o Editor de Matriz. Para acessar o programa 3. Fit data.., use as seguintes teclas: ‚Ù˜˜@@@OK@@@ A o formulário de entrada mostrará a ΣDAT atual, já carregada. Se for necessário, altere seu visor para os parâmetros seguintes para fazer o ajuste linear: Para obter o ajuste dos dados pressione @@OK@@.
rxy = s xy sx ⋅ s y Onde sx, sy são os desvios padrões de x e y, respectivamente, ex. s x2 = 1 n ∑ ( xi − x ) 2 n − 1 i =1 s y2 = 1 n ∑ ( yi − y ) 2 n − 1 i =1 Os valores sxy e rxy são a "Covariação" e "Correlação", respectivamente, obtidos usando a característica de "ajuste de dados" da calculadora. Relações linearizadas Muitas relações curvilineares são "linearizadas" para uma forma linear.
sξ2 = 1 n ∑ (ξ i − ξ ) 2 n − 1 i =1 sη2 = 1 n ∑ (ηi − η ) 2 n − 1 i =1 O coeficiente de correlação de amostra rξη is rξη = sξη sξ ⋅ sη A forma geral da equação de regressão é η = A + Bξ. Melhor ajuste de dados A calculadora pode determinar qual de sua relação linearizada pode oferecer o melhor ajuste para um conjunto de (x,y) pontos de dados. Ilustramos o uso desta característica com um exemplo.
O melhor ajuste dos dados é y = 3.995 e-0.58⋅x. Obter estatísticas de resumo adicional A aplicação 4. Summary stats.. no menu STAT pode ser útil em alguns cálculos para estatísticas de amostra. Para começar, pressione ‚Ù novamente, mova para a quarta opção usando a tecla de seta para baixo ˜ e presisone @@@OK@@@. O formulário de entrada resultante contém os seguintes campos: ΣDAT:: X-Col, Y-Col: _ΣX _ ΣY…: a matriz contendo os dados de interesse.
Nota: Existem duas outras aplicações sob o menu STAT, a saber, 5. Hypth. tests.. e 6. Conf. Interval.. Estas duas aplicações serão discutidas mais tarde neste capítulo. Cálculo de percentuais Percentuais são medidas que dividem um conjunto de dados em 100 partes. O procedimento básico para calcular o percentual 100⋅p-th (0 < p < 1) na amostra de tamanho n é conforme a seguir: 1. Ordenar as observações n do menor para o maior. 2. Determina o produto n⋅p A.
O menu STAT Todas as funções estatísticas pré-programadas descritas acima são acessíveis através do menu STAT. O menu STAT pode ser acessado usando no modo RPN o comando: 96 MENU Você pode criar seu próprios programa, digamos @STATm, para ativar o menu STAT diretamente. O conteúdo deste programa são simples: « 96 MENU ». O submenu STAT contém as seguintes funções: Pressionar a tecla correspondente a quaisquer destes menus fornece acesso as funções diferentes conforme descrito abaixo. .
Os parâmetros mostrados no visor são: Xcol: indica a coluna de ΣDATA representando x (Padrão: 1) Ycol: indica a coluna de ΣDATA representando x (Padrão: 2) intercepta: mostra a interceptação do ajuste dos dados mais recentes (Padrão: 0) Slope: mostra a inclinação do ajuste dos dados mais recentes (Padrão: 0) Model: mostra o modelo de ajuste de dados atuais (Default: LINFIT) As funções listadas nas teclas do menu são feitas conforme a seguir: XCOL: inserido como n @XCOL, altera Xcol para n.
TOT: mostra a soma de cada coluna na matriz ΣDATA. MEAN: mostra a média de cada coluna na matriz ΣDATA. SDEV: mostra o desvio padrão de cada coluna na matriz ΣDATA. MAXΣ: mostra o valor máximo de cada coluna na matriz ΣDATA. MINΣ: mostra a média de cada coluna na matriz ΣDATA. BINS: usada como xs, ∆x, n [BINS], fornece a distribuição de freqüência para os dados em coluna Xcol na matriz ΣDATA com os blocos de freqüência definidos como [xs,xs+∆x], [xs,xs+2∆x],…, [xs,xs+n∆x].
As funções disponíveis neste submenu são: ΣLINE: fornece a equação correspondente ao ajuste mais recente. LR: fornece a interceptação e inclinação do ajuste mais recente. PREDX: usada como y @PREDX, dado y encontra x para o ajuste y = f(x). PREDY: usado como x @PREDY, dado x encontra y para o ajuste y = f(x). CORR: fornece o coeficiente de correlação ao ajuste mais recente.
@MAX£ @MIN£ L @VAR @PSDEV @PVAR • • produz produz produz produz produz [10 21.5 55066] [1.1 3.7 7.8] [11.52 46.08 445084146.33] [3.142… 6.284… 19532.04…] [9.87… 39.49… 381500696.85…] Data: 1.1 3.7 2.2 5.5 6.8 9.2 10.0 3.7 7.8 8.9 101 5.9 25 12.5 612 15.1 2245 19.9 24743 21.
!CANCL • Determina a equação de ajuste e algumas de suas estatísticas: @)STAT @)FIT@ @£LINE @@@LR@@@ 3 @PREDX 1 @PREDY @CORR @@COV@@ L@PCOV • produz produz produz produz produz produz produz '1.5+2*X' Intercept: 1.5, Slope: 2 0.75 3.50 1.0 23.04 19.74 Obtém as estatísticas de resumo para os dados nas colunas 1 e 2: @)STAT @)SUMS: @@@£X@@ @@@£Y @@£X2@ @@£Y2@ @@£XY@ @@@N£@@ • retorna para o visor principal produz 38.5 produz 87.5 produz 280.87 produz 1370.23 produz 619.
L @)STAT @PLOT @SCATR @STATL produz o diagrama de dispersão de y e x mostra a linha para ajuste do log Obviamente, o ajuste do log não é uma boa escolha. !CANCL Retorna ao visor normal • Seleciona o melhor ajuste usando: @)STAT @£PAR @)MODL @BESTF mostra EXPFIT como o melhor ajuste para estes dados. L@)STAT @)FIT @£LINE @CORR 2300 @PREDX 5.2 @PREDY L @)STAT @PLOT @SCATR @STATL produces '2.6545*EXP(0.9927*X)' produz 0.99995… (boa correlação) produz 6.8139 produz 463.
• • Para retornar ao menu STAT use: L@)STAT Para obter seu menu de variável use: J. Intervalos de confiança Inferência estatística é o processo de tirar conclusões sobre a população baseada na informação de dados de amostra. Para que os dados de amostra tenham significados, a amostra deve ser aletória, ex. a seleção de uma amostra em particular deve ter a mesma probabilidade de qualquer outra amostra possível de uma população dada.
• • Estimador: regra ou método de estimativa do parâmetro θ. Estimativa: valor que o estimador define para a aplicação em particular. Exemplo 1 -- Deixemos que X represente a momento (horas) necessário por um processo de fabricação específico a ser completado. Dado o seguinte exemplo de valores de X: 2.2 2.5 2.1 2.3 2.2. A população de onde este exemplo é tirado é a coleção de todos os valores possíveis do tempo de processamento, portanto, é uma população infinita.
• • Um intervalo de confiança lateral superior é definido por Pr[θ < Cu] = 1 α. O parâmetro α é conhecido como o nível de significado. Valores típicos de α são 0.01, 0.05, 0.1, correspondente aos níveis de confiança de 0.99, 0.95 e 0.90, respectivamente. Intervalos de confiança para a média de população quando a sua variação for conhecida DeixemosX ser a média de uma amostra aleatória de tamanho n, retirada de uma população infinita com desvio padrão conhecido σ. O 100(1-α) % [ex. 99%, 95%, 90%, etc.
Os limites de confiança inferior e superior laterais 100⋅ (1-α) % para a média de população µ são, respectivamente, X + tn-1, α/2 ⋅S/√n e X− tn-1, α/2 ⋅S /√n. Amostras pequenas e grandes O comportamento da distribuição do estudante t é tal que para n>30, a distribuição é indistinta da distribuição normal padrão.
estatísticas de duas populações, S1-S2, tem uma distribuição de amostra com a média µ S1−S2 = µS1 - µS2, e o erro padrão σ S1−S2 = (σS12 + σS22)1/2. Além disso, a soma de estatísticas T1+T2 tem uma média µ S1+S2 = µS1 +µS2, e erro padrão σS1+S2 = (σS12 + σS22)1/2.
Se um dos exemplo for pequeno, ex. n1 < 30 ou n2 < 30 e as variações da população desconhecidas, mas iguais σ12 = σ22, podemos obter uma estimativa “pooled” da variação de µ1±µ2, as sp2 = [(n1-1)⋅s12+(n21)⋅s22]/( n1+n2-2). Neste caso, os intervalos de confiança centrados para a soma e diferença dos valores médios das populações, ex. µ1±µ2, são dados por: (( X 1 ± X 2 ) − tν ,α / 2 ⋅ s 2p , ( X 1 ± X 2 ) + tν ,α / 2 ⋅ s 2p ) onde ν = n1+n2-2 é o número de graus de liberdade na distribuição estudante t.
Determinar os intervalos de confiança A aplicação 6. Conf Interval pode ser acessada usando @@@OK@@@. A aplicação oferece as seguintes opções: ‚Ù— Estas opções devem ser interpretadas conforme a seguir: 1. Z-INT: 1 µ.: Intervalo de confiança da amostra individual para a população. Significa que , µ, com a variação conhecida da população ou para amostras grandes com variação desconhecida da população. 2. Z-INT: µ1−µ2.: Intervalo de confiança para a diferença da população.
Selecione caso 1 do menu conhecido acima pressionando @@@OK@@@. Insira os valores necessários no formulário de entrada conforme mostrado: Pressione @HELP para obter o visor explicando o significado do intervalo de confiança em termos de números aleatórios gerados por uma calculadora. Para rolar o visor resultante use a tecla de seta para baixo ˜. Pressione @@@OK@@@ quando terminar de usar o visor de ajuda. Isto o levará de volta ao visor mostrado acima.
O gráfico mostra a distribuição normal padrão pdf (função de densidade gráfica), o local dos pontos críticos ±zα/2, o valor médio (23.2) e os limites correspondentes do intervalo (21.88424 e 24.51576). Pressione @TEXT para voltar para o visor de resultado anterior e/ou pressione @@@OK@@@ para sair do ambiente de intervalo de confiança. Os resultados serão listados no visor da calculadora. Exemplo 2 -- Os dados de duas amostras (amostras 1 e 2) indicam que x1 = 57.8 e x2 = 60.0.
Exemplo 3 – Uma pesquisa de opinião pública indica que na amostra de 150 pessoas 60 são a favor do aumento de impostos de propriedades para financiar alguns projetos públicos. Determine o intervalo de confiança de 99% para a proporção da população que seria a favor de aumentos de impostos. Pressione ‚Ù— @@@OK@@@ para acessar a característica de intervalo de confiança na calculadora. Pressione ˜˜ @@@OK@@@ para selecionar a opção 3. Z-INT: µ 1 – µ2..
Quando estiver pronto, pressione @@@OK@@. Os resultados, como texto e gráfico, são mostrados abaixo: Exemplo 5 – Determine um intervalo de confiança 95% para a média da população se uma amostra de 50 elementos de 15.5 e um desvio padrão de 5. O desvio padrão da população é desconhecido. Pressione ‚Ù—@@@OK@@@ para acessar a característica de intervalo de confiança na calculadora. Pressione — — @@@OK@@@ para selecionar a opção 5. T-INT: µ.
A figura mostra o pdf do estudante t para ν = 50 – 1 = 49 graus de liberdade. Exemplo 6 -- Determine o intervalo de confiança 99% para a média de diferença de duas populações com os dados de amostra:x1 = 157.8 ,x2 = 160.0, n1 = 50, n2 = 55. Os desvios padrões da população são s1 = 13.2, s 2 = 24.5. Pressione ‚Ù—@@@OK@@@ para acessar a característica de intervalo de confiança na calculadora. Pressione —@@@OK@@@ para selecionar a opção 6. TINT: µ1−µ2.
Intervalos de confiança para a variação Para desenvolver uma fórmula para o intervalo de confiança para a variação, primeiro introduza a distribuição de amostra da variação: Considere uma amostra aleatória X1, X2 ..., Xn das variáveis distribuídas normalmente e independentes com média µ, variação σ2, e média de amostraX. A estatística n 1 Sˆ 2 = ⋅ ∑ (X i − X )2 , n − 1 i =1 é uma estimativa da variação σ2.
representa a probabilidade do excesso de um certo valor de x (χ2), ex. Pr[χ2 > χα2] = α. Para o presente exemplo, α = 0.05, γ = 24 e α = 0.025. Resolver a 2 2 equação apresentada acima resulta em χ n-1,α/2 = χ 24,0.025 = 39.3640770266. Por outro lado, o valor χ2n-1,α/2 = χ224,0.975 é calculado usando os valores γ = 24 e α = 0.975. O resultado é χ2n-1,1-α/2 = χ224,0.975 = 12.4011502175. Os limites superior e inferior do intervalo serão (Use o modo ALG para estes cálculos) : (n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 = (25-1)⋅12.
Procedimento para hipótese de teste O procedimento para teste de hipótese envolve as seguintes seis etapas: 1. Declare uma hipótese nula, H0. Esta é uma hipótese a ser testada. Por exemplo, H0: µ1-µ2 = 0, ex. assumimos hipoteticamente que os valores médio da população 1 e de 2 são os mesmos. Se H0 for verdadeiro, qualquer diferença observada em médias é atribuída aos erros em amostras aleatórias. 2. Declare uma hipótese alternativa, H1.
R∩A = ∅, e R∪A = Ω, onde Ω = o espaço de parâmetro para T, e ∅ = o conjunto vazio.
O problema consiste de testar a hipótese numa Ho: µ = µ0, contra a hipótese alternativa, H1: µ≠ µο no nível de confiança (1-α)100%, ou nível de significativa α, usando uma amostra de tamanho n com uma médiax e um desvio padrão s. Este teste é mencionado como teste bilateral ou de definição dupla.
• • Se usar z, Se usar t, Valor P = 2⋅UTPN(0,1,|zo|) Valor P = 2⋅UTPT(ν,|to|) Exemplo 1 -- Teste a hipótese nula Ho: µ = 22.5 ( = µo), contra a hipótese alternativa, H1: µ ≠22.5, no nível da confiança de 95% ex. α = 0.05, usando uma amostra de tamanho n = 25 com uma médiax = 22.0 e um desvio padrão s = 3.5. Assumimos que não sabemos o valor do desvio padrão da população, portanto, calculamos a estatística t conforme a seguir: to = x − µ o 22.0 − 22.5 = = −0.7142 s/ n 3.
• • Rejeitar Ho se valor P < α Não rejeitar Ho se valor P < α Observe que o critério é exatamente o mesmo do teste bilateral. A diferença principal é a forma que o valor P é calculado. O valor de P para o teste bilateral pode ser calculado usando as funções de probabilidade na calculadora conforme a seguir: • • If usar z, If usar t, Valor P = UTPN(0,1,zo) Valor P = UTPT(ν,to) Exemplo 2 -- Teste a hipótese nula Ho: µ = 22.0 ( = µo) contra a hipótese alternativa, H1: µ >22.
Se n1 < 30 ou n2 < 30 (aproximadamente uma pequena amostra), use a seguinte estatística de teste: t= ( x1 − x2 ) − δ (n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 22 n1n2 (n1 + n2 − 2) n1 + n2 Hipótese bilateral Se a hipótese alternativa for uma hipótese bilateral, ex., H1: µ1-µ2 ≠ δ, O valor P para este teste é calculado como • • Se usar z, Se usar t, Valor P = 2⋅UTPN(0,1,|zo|) Valor P = 2⋅UTPT(ν,|to|) com os graus de liberdade para a distribuição t dado por ν = n1 + n2 - 2.
gere uma nova variável aleatória X = X1-X2, e teste Ho: µ = δ, onde µ representa a média da população para X. Portanto, é necessário obterx e s para a amostra de valores de x. O teste deve então preceder como um teste de amostra usando os métodos descritos anteriormente. Inferência referente a uma proporção Suponha que desejamos testar uma hipótese nula, H0: p = p0, onde p representa a probabilidade de obter um resultado bem sucedido em uma dada repetição de um teste de Bernoulli.
Se estiver usando um teste de definição individual encontraremos o valor de S, de Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α, ou Φ(z α) = 1- α, Rejeita a hipótese nula, H0, se z0 >zα, e H1: p>p0, ou se z0 < - zα, e H1: p
Em outras palavras a região de rejeição é R = { |z0| > zα/2 } enquanto a região de aceitação é A = {|z0| < zα/2 }. Teste de definição individual Se estiver usando um teste de definição individual encontraremos o valor de za, de Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α, ou Φ(z α) = 1- α, Rejeita a hipótese nula, H0, se z0 >zα, e H1: p1-p2 > p0, ou se z0 < - zα, e H1: p1-p2
3. Teste-Z: 1 p.: Teste de hipótese individual para a proporção, p, para grandes amostras com variação desconhecida de população. 4. Teste-Z: p1− p2.: Tese de hipótese para a diferença de duas proporções, p1-p2, para amostras grandes com variações desconhecidas de população. 5. Teste-T: 1 µ.: Intervalo de confiança da amostra individual para a população média, µ, para pequenas amostras com variação desconhecida de população. 6. Teste-T: µ1−µ2.
Então, rejeitamos H0: µ = 150, contra H1: µ ≠ 150. O teste do valor z é z0 = 5.656854. O valor P é 1.54×10-8. Os valores críticos de ±zα/2 = ±1.959964, correspondente a faixa crítica x de {147.2 152.8}. Esta informação pode ser observada graficamente pressionando a tecla @GRAPH: Exemplo 2 – Para µ0 = 150, x = 158, s = 10, n = 50, para α = 0.05, teste a hipóteses H0: µ = µ0, contra a hipótese alternativa, H1: µ > µ0. O desvio padrão da população, σ, não é conhecido.
Rejetiamos a hipótese nula, H0: µ = 150 contra a hipótese alternativa, H1: µ > 150. O teste t valor é t0 = 5.656854 com um valor P = 0.000000393525. O valor crítico de t é tα = 1.676551, correspondente ao críticox = 152.371. Pressione @GRAPH para ver os resultados graficamente conforme a seguir: Exemplo 3 – Os dados de duas amostras mostram que x1 = 158, x1 = 160, s1 = 10, s2 = 4.5, n1 = 50 e n2 = 55. Para α = 0.
µ1=µ2. O valor t do teste é t0 = -1.341776, com o valor P = 0.09130961 e o t crítico é –tα = -1.659782. Os resultados gráficos são: Estes três exemplos devem ser suficientes para compreender a operação da característica pré-programada de tese da hipótese na calculadora. Inferência referente a uma variação A hipótese nula a ser testado é Ho: σ2 = σo2 no nível de confiança (1-α)100% ou o nível de confiança α, usando uma amostra de tamanho n e variação s2.
Observe que este procedimento é válido apenas se a população de onde a amostra foi tirada é uma população normal. Exemplo 1 – Considere o caso onde σo2 = 25, α=0.05, n = 25, e s2 = 20, e a mostra foi tirada de uma população normal. Para testar a hipótese, Ho: σ2 = σo2, contra H1: σ2 < σo2, calculamos primeiro χ o2 = (n − 1) s 2 (25 − 1) ⋅ 20 = = 189.2 σ 02 25 Com ν = n - 1 = 25 - 1 = 24 graus de liberdade, calculamos o valor P como, Valor P = P(χ2<19.2) = 1-UTPC(24,19.2) = 0.2587… Dado que 0,2587 > 0.
alternativas estatístico de liberdade ____________________________________________________________________ H1: σ12 < σ22 (lateral) Fo = s22/s12 νN = n2-1, νD = n1-1 2 2 2 2 H1: σ1 > σ2 (lateral) Fo = s1 /s2 νN = n1-1, νD = n2-1 H1: σ12 ≠σ22 (bilateral) Fo = sM2/sm2 νN = nM-1,νD = nm-1 sM2=max(s12,s22), sm2=min(s12,s22) ___________________________________________________________________ (*) nM é o valor correspondente de n para sM, e nm é o valor de n correspondente de sm.
Dado que 0.1788... > 0.05, ex. valor P > α, nós não podemos rejeitar a hipótese nula que Ho: σ12 = σ22. Notas adicionais sobre regressão linear Nesta seção elaboramos as idéias de regressão linear apresentadas anteriormente no capítulo e apresentamos um procedimento para o teste de hipótese de parâmetros de regressão. O método da menor quadrada Deixe x = independente, variável não aleatória e Y = dependente, variável aleatória.
n n n i =1 i =1 i =1 ∑ xi ⋅ yi = a ⋅ ∑ xi + b ⋅ ∑ xi2 Este é o sistema de equações lineares com a e b como as incógnitas que podem ser resolvidas usando as características de equação linear da calculadora. Não existe, entretanto nenhuma necessidade de se preocupar com estes cálculos porque você pode usar a opção 3. Fit Data … no menu ‚Ù conforme apresentado anteriormente. Notas: • a,b são os estimadores sem erros sistemáticos de Α, Β.
sx = S xx , sy = n −1 S yy n −1 e sxy = S yx n −1 Além disso, o coeficiente de correlação de amostra é rxy = S xy S xx ⋅ S yy . em termos de x, y, Sxx, Syy, e Sxy, a solução para as equações normais: a = y − bx , b= S xy S xx = s xy s x2 Previsão de erros A curva de regressão de Y em x é definida como Y = Α + Β⋅x + ε.
Para a inclinação (B): b − (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx < Β < b + (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx, Para a interceptação (Α): a − (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+x2/Sxx]1/2 < Α < a + (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+x2/Sxx]1/2, onde t segue a distribuição estudante t com ν = n – 2, graus de liberdade e n representa o número de pontos na amostra. • Teste de hipótese na inclinação, B: Hipótese nula, H0: Β = Β0, testado contra a hipótese alternativa, H1: Β ≠ Β0.
Procedimentos para estatísticas de inferência para regressão linear usando a calculadora 1) Insira (x,y) como colunas de dados na matriz estatística ΣDAT. 2) Produz um diagrama de dispersão para as colunas apropriadas de ΣDAT e usa H- e V-VIEWS para verifivar a tendência linear. 3) Use ‚Ù˜˜@@@OK@@@, para encontrar a linha reta e obter a, b, sxy (covariação) e rxy (correlação). 4) Use ‚Ù˜@@@OK@@@, para obter x, y, sx, sy.
3: '-.86 + 3.24*X' 2: Correlation: 0.989720229749 1: Covariance: 2.025 Estes resultados são interprestados como um = -0.86, b = 3.24, rxy = 0.989720229749 e sxy = 2.025. O coeficiente de correlação é bem próximo de 1.0 para confirmar a tendência linear observa no gráfico. Da opção Single-var… do menu ‚Ù encontramos: x = 3, sx = 0.790569415042,y = 8.86, sy = 2.58804945857. A seguir, com n = 5, calcule S xx = (n − 1) ⋅ s x2 = (5 − 1) ⋅ 0.790569415042 2 = 2.
Exemplo 2 -- suponha que o dado y usado no exemplo 1 representa o alongamento (em centenas de polegada) de um fio de metal quando sujeito a força x (em dezenas de libras). O fenômeno físico é tal que esperamos que a interseção A seja zero. Para verificar se este deve ser o caso, testemos a hipótese nula, H0: Α = 0, contra a hipótese alternativa, H1: Α ≠ 0, no nível de significado α = 0.05. A estatística de teste é t0 = (a-0)/[(1/n)+x2/Sxx]1/2 = (-0.86)/ [(1/5)+32/2.5] ½ = -0.44117.
x1 x11 x12 x13 . . x1,m-1 x1,m x2 x21 x22 x32 . . x3 x31 x32 x33 . . x 2,m-1 x 2,m x 3,m-1 x 3,m … … … … . … … xn xn1 xn2 xn3 . . x n,m-1 x n,m y y1 y2 y3 . . ym-1 ym Suponha que busquemos por um ajuste de dados do formulário y = b0 + b1⋅x1 + b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bn⋅xn. Você pode obter uma aproximação menor quadrada para os valores dos coeficientes b = [b0 b1 b2 b3 … bn], colocando junto a matriz X: _ _ 1 x11 x21 x31 … xn1 1 x12 x22 x32 … xn2 1 x13 x32 x33 … xn3 . . . . . . . . . . .
Com a calculadora no modo RPN você pode fazer da seguinte forma: Primeiro, dentro de seu diretório HOME, crie um subdiretório chamado MPFIT (Ajuste de dados de polinômios lineares) e insira o subdiretório MPFIT. Dentro do subdiretório, digite este programa: « X y « X TRAN X * INV X TRAN * y * » » e armazene-e na variável chamada MTREG (Regressão múltipla). A seguir insira as matrizes X e b na pilha: [[1,1.2,3.1,2][1,2.5,3.1,2.5 ][1,3.5,4.5,2.5][1,4,4.5,3][1,6,5,3.5]] `` (mantenha uma cópia extra) [5.7,8.
3.50 4.00 6.00 4.50 4.50 5.00 2.50 3.00 3.50 5.00 8.20 9.50 5.03 8.23 9.45 Ajuste de polinômio Considere que dados x-y configurados {(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn)}., suponha que desejamos ajustar um polinômio ou ordem p para este conjunto de dados. Suponha que estamos procurando por um ajuste do formulário y = b0 + b1⋅x + b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bp⋅xp.
um vetor, ex., x = { x1 x2 … xn }, nós podemos facilmente calcular { x1i x2i … xni }. Então, nós podemos transformar esta lisat em um vetor e usar o menu COL para adicionar essas colunas a matriz Vn até que X esteja completo. Depois que X estiver pronto, e tendo o vetor y disponível, o cálculo do coeficiente vetor b é o mesmo que em um ajuste linear múltiplo (a aplicação de matriz anterior).
« xyp « x SIZE n « x VANDERMONDE IF ‘pn-1’ ENTÃO n1+ p1+ PARA j x j ^ OBJ ARRY j COL+ DEPOIS END END y OBJ ARRY MTREG NUM » » » Abre o programa Insera as listas x e y e p (níveis 3,2,1) Abre o subprograma 1 Determine o tamanho da lista x Abre o subprograma 2 Coloque x na pilha, obtém Vn Este IF implementa a etapa 3 no algoritmo Coloque n na pilha Calcule p+1 Inicia loop j = n-1, n-2, …, p+1, etapa = -1 Remova a coluna, coloque da pilha Feche o
x y 2.30 179.72 3.20 562.30 4.50 1969.11 1.65 65.87 9.32 31220.89 1.18 32.81 6.24 6731.48 3.45 737.41 9.89 39248.46 1.22 33.45 Uma vez que usaremos os mesmos dados x-y para ajuste de polinômios de ordens diferentes, seria aconselhável salvar as listas de valores de dados x e y em variáveis xx e yy, respectivamente. Desta forma, não teremos que digitá-los tudo novamente em cada aplicação do programa POLY. Assim, faça o seguinte: { 2.3 3.2 4.5 1.65 9.32 1.18 6.24 3.45 9.89 1.22 } ` ‘xx’ K {179.72 562.30 1969.
Selecionar o melhor ajuste Como pode ver dos resultados acima, você pode ajustar qualquer polinômio para um conjunto de dados. A questão é: qual o melhor ajuste para os dados? Para ajudar a decidir qual o melhor ajuste, podemos usar diversos critérios: • • • O coeficiente de correlação, r. Este valor se restringe a faixa –1 < r < 1. Quanto mais próximo r for para +1 ou –1, melhor o ajuste de dados. A soma de erros quadrados, SSE.
Aqui está o novo programa incluindo o cálculo de SSE e r (novamente, consulte a última página deste capítulo para ver como produzir a variável e os nomes do comando no programa): « xyp « x SIZE n « x VANDERMONDE IF ‘pn-1’ ENTÃO n1+ p1+ PARA j x j ^ OBJ ARRY j COL+ DEPOIS FINAL FINAL y OBJ ARRY X yv « X yv MTREG NUM b « b yv Xb* Abre o programa Insira as listas x e y e o número p Abra o subprograma1 Determine o tamanho da lista x Abre o subpr
ABS SQ DUP y ΣLIST n / n 1 LIST SWAP CON yv− ABS SQ / NEG 1 + √ “r” TAG SWAP “SSE” TAG » » » » » Calcul e = y - X⋅b Calcule SSE, faça uma cópia Calcule y Crie o vetor de valores n de y Calcule SST Calcule SSE/SST Calcule r = [1–SSE/SST ]1/2 Tag resulta como “r” Troca os níveis da pilha 1 e 2 Tag resulta como SSE Fecha o subprograma 4 Fecha o subprograma 3 Fecha o subprograma 2 Fecha o subprograma 1 Fecha o programa principal Salve este programa sob o nome POLYR para enfatizar o cálculo do coeficiente
Capítulo 19 Números em bases diferentes Neste capítulo apresentamos os exemplos dos cálculos de número em diferentes bases. Definições O sistema de número para cada aritmética do dia a dia é conhecido como o sistema decimal porque usa 10 (Latin, deca) dígitos, a saber 0-9, para escrever qualquer número real. Os computadores, por outro lado use um sistema que é baseado em dois estados possíveis ou sistema binário . Estes dois estados são representados por 0 e 1, ON e OFF ou alta ou baixa voltagem.
Com o sinalizador do sistema 117 configurado para menus SOFT, o menu BASE mostra o seguinte: Com este formato, é evidente que as entradas LOGIC, BIT e BYTE dentro do menu BASE são os próprios submenus. Estes menus são discutidos posteriormente neste capítulo. Funções HEC, DEC, OCT e BIN Os números em sistemas não decimais são escritos precedidos pelo símbolo # na calculadora. O símbolo # está disponível como „â(a tecla 3).
OCT BIN Enquanto o sistema decimal (DEC) tem 10 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), o hexadecimal (HEX) tem 16 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), o octal (OCT) 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) e o binário (BIN) tem apenas 2 dígitos (0,1). Conversão entre os sistemas de números Qualquer que seja o sistema de númeo selecionado, é mencionado como o sistema binário paa usar as funções R B and B R.
Observe que cada vez que inserir um número iniciando com #, você obtém como entrada o número que inseriu precedido por # e seguido pela letra h, o ou b (hexadecimal, octal ou binário). O tipo e letra usada como sufixo depende de qual sistema de base não decimal foi selecionado, ex. HEX, OCT ou BIN.
Operações com os números inteiros binários As operações de adição, subtração, alteração de sinal, multiplicação e divisão são definidas para os números inteiros binários.
1 AND 1 = 1 1 OR 1 = 1 1 XOR 1 = 0 NOT(1) = 0 1 AND 0 = 0 1 OR 0 = 1 1 XOR 0 = 1 NOT(0) = 1 0 AND 1 = 0 0 OR 1 = 1 0 XOR 1 = 1 0 AND 0 = 0 0 OR 0 = 0 0 XOR 0 = 0 Estas funções podem ser usadas para construir afirmações lógicas para programação. Neste capítulo, elas serão usadas para fornecer o resultado das operações bit-a-bit juntamente com as linhas das regras fornecidas acima.
As funções RL, SL, ASR, SR, RR, contidas no menu BIT são usadas para manipular os bits em um número inteiro binário. A definição destas funções é mostrada abaixo: RL: Gire a esquerda um bit, ex. #1100b #1001b SL: Desloque a esquerda um bit, ex. #1101b #11010b ASR: Desloque a direita aritimética um bit, ex. #1100010b #110001b SR: Desloque a direita um bit, ex. #11011b #1101b RR: Gire a direita um bit, ex.
Alguns exemplos são mostrados a seguir: Página 19-8
Capítulo 20 Personalizar os menus e teclado Através do uso de diversos menus da calculadora você passou a conhecer as operações de menus para uma variedade de aplicações. Além disso, você passou a conhecer também diversas funções disponíveis usando o teclado, através da função principal ou combinando-as com as teclas left-shift („), right-shift (‚) ou ALPHA (~). Neste capítulo fornecemos os exemplos de menus personalizados e teclas que talvez considere úteis nas suas próprias aplicações.
RCLMENU: Retorna o número de menu do menu atual Números de menu (funções RCLMENU e MENU) Cada menu pré-definido tem um número anexado. Por exemplo, suponha que você ative o menu MTH („´). Então, ao usar o catálogo de função (‚N) encontra a função RCLMENU ativando-a. No modo ALG pressione apenas ` depois RCLMENU() é mostrado no visor. O resultado é o número 3.01. Assim, você pode ativar o menu MTH usando MENU(3.01), no ALG ou 3.01 MENU, no RPN.
{EXP LN GAMMA !} ` MENU ` para produzir o seguinte menu: Para ativar qualquer uma destas funções você precisa apenas inserir o argumento da função (um número) e depois pressionar a tecla do menu virtual correspondente.
Uma versão mais simples do menu pode ser definida usando MENU({”EXP(“,“LN(“,“GAMMA(“,”!(“}). Menu RPN aumentado A lista apresentada acima para o modo ALG pode ser alterada para usar o modo RPN. A lista alterada será similar a esta: {{“exp”,EXP},{“ln”,LN},{“Gamma”,GAMMA},{“!”,!}} Você pode tentar usar esta lista com TMENU ou MENU no modo RPN para verificar se obtém o mesmo menu conforme anteriormente no modo ALG.
da tecla. De forma similar, rs1, rs2, …, etc., representa a operação right-shift da tecla. Esta lista será armazenada na variável CST se o comando MENU for usado. Você pode ter uma variável CST diferente em cada sub-diretório e pode substituir sempre o conteúdo atual de CST com estas outras variáveis armazenando a lista corretamente formatada para produzir outro menu padrão. Nota: Você pode usar um GROB 21x8 (consulte o capítulo 22) para produzir um ícone nas teclas do menu virtual.
definida). Em geral, uma tecla será descrita pelo arranjo XY,Z, onde X = número de linha, Y = número de coluna, Z = acesso. Podemos combinar uma dada tecla com a tecla USER (left-shift associada com a tecla ~ ou „Ì) para criar uma ação chave personalizada. A princípio, o teclado inteiro pode ser redefinido para fazer um número de operações personalizadas. O submenu PRG/MODES/KEYS Os comandos úteis em personalizar os menus são fornecidos pelo menu KEYS acessível através do menu PRG („°).
Suponha que queira acessar o menu PLOT introduzido com a calculadora HP série 48G, porém atualmente não diretamente disponível via teclado. O número para este menu é 81.01. Você pode ser este menu ativo usando Modo ALG: MENU(81,01). Modo RPN: 81.01 ` MENU ` Se quiser ativar rapidamente este menu do teclado, você pode atribuir este menu para a tecla GRAPH (C) cujo número de referência é 13.0, ex. primeira linha, terceira coluna, função principal.
Para remover a atribuição feita acima, use a função DELKEYS, conforme a seguir: Modo ALG: DELKEYS(13.0) Modo RPN: 13.0 ` DELKEYS ` Atribuir teclas múltiplas definidas pelo usuário A forma mais simples para atribuir diversas teclas definidas pelo usuário é fornecer uma lista de especificações de teclas e comandos.
Capítulo 21 Programar na linguagem do usuário RPL A linguagem do usuário RPL é a linguagem de programação mais comum usada para programar a calculadora. Os componentes do programa pode ser colocado juntos na linha de edição incluindo-os entre os conteúdos do programa « » na ordem apropriada. Uma vez que usuários de calculadora possuem mais experiência de programação no modo RPN, a maioria dos exemplos neste capítulo será apresentada no modo RPN.
[']~„x™K 'x' STO ~„x „´@)HYP @SINH 1#~„x „º „´@)@MTH@ @LIST @ADD@ x SINH 1 x SQ ADD / 'x' PURGE / [']~„x™ „°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE ` _______________________ __________ Armazena nível 1 na variável x Coloca x no nível 1 Calcula sinh do nível 1 Insira 1 e calcule x2 Calcule (1+x2), então divida Exclua a variável x Programa no nível 1 _____________________ Para salvar o programa use: [']~„gK Pressione J para recuperar seu menu de variável e avalie g(3.5) inserindo o valor do argumento no nível 1 (3.
programa, seu valor estaria disponível depois da execução do programa. Por esta razão, a variável x, como usada neste programa, é chamada de uma variável global. Uma implicação do uso de x como uma variável global é que, se tivermos definido previamente uma variável com o nome x, seu valor seria substituído pelo valor que o programa usa e então completamente removido de seu menu de variável depois da execução do programa.
Nota: Para alterar o programa @@@g@@@, coloque o seu nome na pilha (³@@@g@@@ `), depois use „˜. Use as teclas de setas (š™—˜) para mover ao redor do programa. Use o retrocesso/tecla de exclusão, ƒ, para excluir quaisquer caracteres indesejáveis. Para adicionar os conteúdos dos programas (ex.
diretório HOME e usa o valor correspondente para o nome da variável sob consideração no diretório mais próximo do atual. Um programa definido em um dado diretório pode ser acessado a partir deste diretório ou de qualquer subdiretório. Todas essas regras podem parecer confusas para um novo usuário.
STACK: Funções para manipular os elementos da pilha RPN MEM: Funções relacionadas com a manipulação de memória DIR: Funções relacionadas para manipular diretórios ARITH: Funções para manipular os índices armazenados nas variáveis BRCH: Coleção de submenus com ramificação de programas e funções loop IF: IF-THEN--ELSE-END construções para testes CASE: CASE-THEN-END construções para testes START: START-NEXT-STEP construções para testes FOR: FOR-NEXT-STEP construções para loops DO: DO-UNTIL-END construções para
RUN: Funções para executar e depurar os programas Navegar através dos submenus RPN Inicie com a combinação de teclas „° e depois pressione com a tecla do menu apropriada (ex. @)@MEM@@ ). Se quiser acessar um submenu dentro deste submenu (ex. @)@DIR@@ dentro do submenu @)@MEM@@), pressione a tecla correspondente. Para mover no submenu, pressione a tecla L até que encontre a referência para o submenu superior (ex. @)@MEM@@ dentro do submenu @)@DIR@@) ou para o menu PRG (ex. @)@PRG@@ ).
MEM PURGE MEM BYTES NEWOB ARCHI RESTO LIST/ELEM GET GETI PUT PUTI SIZE POS HEAD TAIL LIST/PROC DOLIST DOSUB NSUB ENDSUB STREAM REVLIST SORT SEQ BRCH IFT SEEO GROB GROB BLANK GOR GXOR SUB REPL LCD LCD SIZE ANIMATE PICT PICT PDIM LINHA TLINE BOX ARC PIXON PIXOF PIX? PVIEW PX C C PX BRCH/DO DO UNTIL END: CHARS SUB REPL POS SIZE NUM CHR OBJ STR HEAD TAIL SREPL MODES/FMT STD FIX SCI ENG FM, ML FC? FS?C FC?C LININ MODES/FLAG SF CF FS? FC? FS?C FS?C FC?C STOF RCLF RESET MODES/MISC BEEP.
SPHERE TEMPO DATE DATE TIME TIME TICKS ERROR DOERR ERRN ERRM ERR0 LASTARG TIME/ALRM ACK ACKALARM STOALARM RCLALARM DELALARM FINDALARM ERROR/IFERR IFERR THEN ELSE END RUN DBUG SST SST↓ NEXT HALT KILL OFF Atalhos no menu PRG Muitas das funções listadas acima para o menu PRG estão disponíveis através de outros meios: Os operadores de comparação (≠, ≤, <, ≥, >) estão disponíveis no teclado.
submenu. Isto funciona apenas com a calculadora no modo RPN. Exemplos são mostrados a seguir: „@)@IF@@ „@)CASE@ ‚@)@IF@@ ‚@)CASE@ „@)START „@)@FOR@@ ‚@)START „@)@@DO@@ ‚@)@FOR@@ „@)WHILE Observe que o prompt ( ) inserido está disponível depois da palavra chave de cada construção para que você possa continuar digitando no local certo.
Seqüência de teclas para comandos normalmente usados A seguir apresentamos as seqüências de teclas para acessar os comandos normalmente usados para a programação numérica dentro do menu PRG.
DO UNTIL END @)@BRCH@ @)WHILE@ WHILE REPEAT END @)TEST@ @)TYPE@ „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@@DO@@ „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @UNTIL „°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@END@@ „°@)@BRCH@ @)WHILE@ @WHILE „°)@BRCH@ @)WHILE@ @REPEA „°)@BRCH@ @)WHILE@ @@END@ == AND OR XOR NOT SAME SF CF FS? FC? FS?C FC?C „° @)TEST@ @@@≠@@@ „° @)TEST@ L @@AND@ „° @)TEST@ L @@@OR@@ „° @)TEST@ L @@XOR@ „° @)TEST@ L @@NOT@ „° @)TEST@ L @SAME „° @)TEST@ L L @@@SF@@ „°@)TEST@ L L @@@CF@@ „° @)TEST@ L L @@FS?@ „° @)TEST@ L L @@FC?@ „° @)TEST@ L L @FS?C „° @
PUT PUTI SIZE HEAD TAIL „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ „°@)LIST@ @)ELEM@ @@PUT@ @)ELEM@ @PUTI@ @)ELEM@ @SIZE@ @)ELEM@ L @HEAD@ @)ELEM@ L @TAIL@ @)LIST@ @)PROC@ REVLIST SORT SEQ „°@)LIST@ @)PROC@ @REVLI@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @SORT@ „°@)LIST@ @)PROC@ L @@SEQ@@ @)MODES @)ANGLE@ DEG RAD „°L@)MODES @)ANGLE@ @@DEG@@ „°L@)MODES @)ANGLE@ @@RAD@@ @)MODES @)MENU@ CST MENU BEEP „°L@)MODES @)MENU@ @@CST@@ „°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@ „°L@)MODES @)MISC@ @@BEEP@ @)@@IN@@ @)@RUN@ INFORM INPUT MSGBOX PVIEW
calculadora pode ser incluída em um programa. Assim, você pode usar, por exemplo, as funções do menu MTH. Especificamente, você pode usar as funções para as operações da lista tais como SORT, ΣLIST, etc., disponíveis através do menu MTH/LIST. Como exercícios de programação adicional e tentar as seqüências de teclas listadas acima apresentamos aqui três programas para criar ou manipular as listas.
Operação: coloque a lista original no nível 1, pressione @CLIST. Exemplo: {1 2 3 4 5} `@CLIST produz {1 3 6 10 15}. Exemplos de programação sequencial Em geral, um programa é qualquer seqüência das instruções da calculadora incluída entre os conteúdos do programa “ e ». Os subprogramas podem ser inseridos como parte de um programa. Os exemplos apresentados anteriormente neste manual (ex.
q= Cu 5 / 3 y0 S0 n onde Cu é a constante que depende do sistema de unidades usado [Cu = 1.0 para unidades do sistema internacional (S.I.), e Cu = 1.486 para unidades do sistema inglês (E.S.)], n é o coeficiente de resistência de Manning que depende do tipo de lineação de canal e outros fatores, y0 é a profundidade de fluxo e S0 é a inclinação do leito do canal dado como a fração sem dimensão.
1 ` 0.012 ` 2 ` 0.0001 ` @@@q@@@ O resultado é 2.6456684 (ou q = 2.6456684 m2/s). Você pode separar também os dados de entrada com espaços em uma única linha da pilha em vez de usar `. Programas que simulam uma seqüência de operações de pilha Neste caso, os temros envolvidos na sequência de operações estão dentro da pilha. O programa é digitado primeiro abrindo as aspas do programa com ‚å. A seguir, a seqüência de operações é inserida.
Em termos de variáveis Q, g, b e y, o cálculo que acabamos de fazer é escrito como (não digite o seguinte): y ` b *„º g *2* Q „º™/ Como pode ver, y é usado primeiro e depois usamos b, g e Q nesta ordem. Portanto, para calcular é necessário inserir as variáveis na ordem inversas ex. (não digite o seguinte): Q ` g `b `y ` Para os valores específicos sob consideração usamos: 23 ` 32.
O programa resultante será apresentado conforme a seguir: « * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / » Nota: SQ é a função que resulta da sequência de tecla „º. Faça uma cópia extra do programa e salve-o na variável chamada hv: ³~„h~„v K Uma nova variável @@@hv@@@ deve estar disponível no seu menu de tecla. (Pressione J para ver sua lista de variável). O programa deixado na pilha pode ser avaliado usando a função EVAL. O resultado deve ser 0.228174…, conforme anteriormente.
Entrada de dados interativa nos programas No programa seqüencial mostrado na seção anterior, nem sempre fica claro para o usuário a ordem nas quais as variáveis devem ser colocadas na pilha antes de executar o programa. Para o caso do programa @@@q@@@ escrito como « → Cu n y0 S0 ‘Cu/n*y0^(5/3)*√S0’ », É sempre possível reativar a definição do programa na pilha (‚@@@q@@@) para ver a ordem na qual as variáveis devem ser inseridas, a saber, → Cu n y0 S0.
Se seu visor não for configurado para estilo textbook, ou assim, SQ( S 4) S 3 ⋅ SQ( S 2 ⋅ S1) ⋅ 2 se o estilo impresso for seleccionado. Dado que sabemos que a função SQ( ) significa x2, interpretamos o último resultado como S 42 , 2 ⋅ S 3 ⋅ ( S 2 ⋅ S1) 2 que indica a posição dos níveis diferentes de entrada na pilha da fórmula. Comparando este resultado com a fórmula original que programamos, ex.
entrada e saída. O símbolo de retorno ( ) é similar ao [ENTER] em um computador. Os textos entre as aspas (“ “) são digitados diretamente no teclado alfanumérico. salve o programa na variável chamada INPTa (de INPuT a). Tente executar o programa pressionando a tecla do menu @INPTa. O resultado é uma pilha solicitando o usuário a definir o valor de a e colocando o cursor bem em frente do prompt :a: Insira um valor para a, digamos 35, depois pressione `.
Depurar o programa Para descobrir porque ele não funcionou, usamos a função DBUG na calculadora conforme a seguir: ³@FUNCa ` Copia o nome do programa para o nível 1 da pilha „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Iniciar o depurador @SST↓@ Depuração passo a passo resulta: “Insira a:” @SST↓@ Resulta: {“ a:” {2 0} V} @SST↓@ Resulta: usuário é solicitado a inserir o valor de a 2` Insira um valor de 2 para a.
@SST↓@ Resulta: usuário é solicitado a inserir o valor de a Insira um valor de 2 para a. Resulta:“ :a:2” Resulta: a:2 Resulta: pilha vazia, executando → a Resulta: pilha vazia, inserindo o subprograma « 2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Neste ponto estamos dentro do subprograma variável local a. Para ver o valor de a use: ~„aµ « ‘2*a^2+3’ » que usa a Isto mostra realmente que a variável local a = 2 Vamos interromper o depurador neste ponto dado que já sabemos qual é o resultado.
Texto de entrada para dois ou três valores de entrada Nesta seção criaremos um subdiretório, dentro do diretório HOME para arquivar exemplos de textos de entrada para um, dois e três valores de dados de entrada. Estes serão textos de entrada genéricos que podem ser incorporados em qualquer programa futuro, tomando o cuidado de alterar os nomes das variáveis de acordo com as necessidades de cada programa.
Considere a lei de gás ideal, pV = nRT, onde p = pressão do gás (Pa), V = volume do gás (m3), n = número de moles (gmol), R = constante de gás universal = 8.31451_J/(gmol*K) e T = temperatura absoluta (K). Podemos definir a pressão p como uma função de duas variáveis, V e T, como p(V,T) = nRT/V para uma massa dada de gás dado que n permanecerá constante também. Assuma que n = 0.2 gmol, então a função para o programa é p (V , T ) = 8.31451 ⋅ 0.2 ⋅ T J T = (1.
Programa de texto de entrada para três valores de entrada O programa de texto de entrada para três valores de entrada, digamos a e b e c é similar conforme a seguir: « “Enter a, b and c: “ {“ :a: :b: :c: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ » Este programa pode ser facilmente criado alterando o conteúdo de INPT2 para torná-lo parecido conforme imediatamente acima. O programa resultante pode ser então armazenado em uma variável chamada INPT3.
Pressione ` para obter o resultado 199548.24_J/m^3 ou 199548.24_Pa = 199.55 kPa. Entrada através de formulário de entrada A função INFORM („°L@)@@IN@@ @INFOR@.) pode ser usada para criar um formulário de entrada detalhados para um programa. A função INFORM requer cinco argumentos, na ordem: 1. Um título: um texto descrevendo formão formulário de entrada 2. Definições de campo: um lista com uma ou mais definições de campos {s1 s2 … sn}, onde cada definição de campo, si, pode ter um dos dois formatos: a.
A lista nos itens 4 e 5 podem ser listas vazias. Além disso, se nenhum valor for selecionado para estas opções você pode usar o comando NOVAL („°L@)@@IN@@ @NOVAL@). Depois que a função INFORM for ativada você obterá como resultado ou um zero, no caso da opção @CANCEL ser executada, ou uma lista com os valores inseridos nos campos na ordem especificada e o número 1, ex.
3. Informação sobre o formato de campo: { } (uma lista vazia, assim, os valores padrões usados) 4. Lista de valores reajustados: { 120 1 .0001} 5. Lista de valores iniciais: { 110 1.5 .00001} Armazene este programa na variável INFP1. Pressione @INFP1 para executar o programa.
Agora, para inserir estes valores no programa, pressione @@@OK@@@ novamente. Isto ativa a função INFORM produzindo os seguintes resultados na pilha: Assim, demonstramos o uso da função INFORM. Para ver como usar estes valores de entrada em um cálculo altere o programa conforme a seguir: « “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .
Exemplo 2 – Para ilustrar o uso do item 3 (informação sobre o formato de campo) nos argumentos da função INFORM, altere a lista vazia usada no programa INFP1 para { 2 1 }, significando 2 colunas, e apenas um espaço entre etiquetas e valores. Armazene este novo programa na variável INFP2: « “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { 2 1 } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .
b. Uma lista {objeto_exibido resultado_objeto} para que o objeto_exibido esteja listado na caixa de seleção e o resultado_objeto seja selecionado como o resultado se esta seleção for feita. 3. Um número indicando a posição na lista de definição de seleção da seleção padrão. Se este número for 0, nenhuma seleção padrão é ressaltada. Ativar a função CHOOSE retornará um zero, se uma ação @CANCEL for usada, e se uma seleção for feita retorna a seleção feita (ex. v) e o número 1, ex.
Os valores retornados pela função CHOOSE podem ser operados pelos outros comandos do programa conforme mostrado no programa alterado CHP2: « “Units coefficient” { { “S.I. units” 1} { “E.S. units” 1.486} } 1 CHOOSE IF THEN “Cu” TAG ELSE “Operation cancelled” MSGBOX END » Os comandos depois da função CHOOSE neste novo programa indica uma decisão baseada no valor do nível 1 da pilha através da construção IF-THENELSE-END.
no nível 2 da pilha e a tag no nível 1 da pilha. Se estiver interessado em usar o apenas o valor numérico, então apague a tag usando a tecla ƒ. Por exemplo, para decompor a quantidade identificada B:5 (consulte acima), produzirá: “Desetiquetando” uma quantidade etiquetada “Desetiquetar” significa extrair o objeto da quantidade etiquetada. Esta função é acessada através da combinação de teclas: „ ° @)TYPE@ L @DTAG. Por exemplo, dado a quantidade identificada a:2, DTAG retorna ao valor numérico 2.
Armazene o programa de volta em FUNCa usando „ @FUNCa. A seguir, execute o programa pressionando @FUNCa. Insira o valor de 2 ao ser solicitado e pressione `. O resultado é agora o valor etiquetado F:11. Exemplo 2 – resultado e entrada etiquetada da função FUNCa Neste exemplo modificamos o programa FUNCa para que o resultado inclua não apenas a função avaliada, como também uma cópia da entrada com uma tag.
³ @FUNCa ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ 2` @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ @SST↓@ Copia o nome do programa para o nível 1 da pilha Inicia o depurador Depuração passo a passo resulta: “Insira a:” Resulta: {“ a {2 0} V} Resulta: usuário é solicitado a inserir o valor de a Insira um valor de 2 para a.
Nota: Observe que colocamos o cálculo e identificamos a função p(V,T,n), precedida pela reativação das variáveis de entrada V T n, no subprograma [a seqüência de instruções contida dentro do conjunto interno dos símbolos dos programas « « » ]. Isto é importante porque sem o símbolo do programa separando as duas listas de variáveis de entrada(V T N « V T n), o programa assumirá o comando de entrada →V T N V T n que requer seis valores de entrada enquanto apenas três estão disponíveis.
Em resumo: O ponto comum nos três exemplos mostrados é o uso de tags para identificar as variáveis de entrada e saida. Se usarmos um texto de entrada para obter nossos valores de entrada, estes já são identificados e podem ser facilmente reativados na pilha para saída. Uso do comando →TAG permite identificar o resultado de um programa. Usar uma caixa de mensagem Uma caixa de mensagem é uma forma irreal de apresentar o resultado de um programa.
valor algébrico ou não identificado, para um texto, use a função →STR disponível em „°@)TYPE@ @ STR. Usar uma caixa de mensagem para a saída de um programa A função @@@p@@@ , do último exemplo pode ser alterada para: “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ →V T n « V T n ‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p” →TAG →STR MSGBOX » » « Armazene o programa de volta na variável p usando „@@@p@@@. Execute o programa pressionando @@@p@@@. Insira os valores de V = 0.
Incluindo entrada e saída na caixa de mensagem Nós podemos alterar o programa para que o resultado e a entrada sejam incluídos em uma caixa de mensagem. Em relação ao programa @@@p@@@ o programa modificado será similar a: “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V →STR “ ” + T →STR “ ” + n →STR “ ” + ‘(8.
Nota: O sinal de mais (+) neste programa é usado para concatenar os textos. A concatenação é apenas a operação de agrupar textos. Para ver o programa operando: • • • Armazene o programa de volta na variável p usando „@@@p@@@. Execute o programa pressionando @@@p@@@. Insira os valores de V = 0.01_m^3, T = 300_K e n = 0.8_mol quando for solicitado.
Reative o conteúdo do programa @@@p@@@ na pilha usando ‚@@@p@@@ e modifiqueos para parecer conforme a seguir: Nota: Separei o programa arbitrariamente em diversas linhas para fazer uma fácil leitura. Isto não é necessariamente a forma que o programa é mostrado na pilha da calculadora. A seqüência de comandos está correta. Além disso, observe que o caractere não é mostrado na pilha, em vez disso produzir uma nova linha. « “Enter V,T,n [S.I.
4. T ‘1_K’ * : Calcular o valor de T incluindo as unidades S.I. 5. n ‘1_mol’ * : Calcular o valor de n inclui as unidades 6. → V T n : Os valores de V, T e n, localizados respectivamente nos níveis 3, 2 e 1 da pilha são passados para o próximo nível de subprogramação. Para ver a versão do programa em ação faça o seguinte: • • • Armazene o programa de volta na variável p usando [ ][ p ]. Execute o programa pressionando [ p ]. Insira os valores de V = 0.01, T = 300 e n = 0.
Saída da caixa de mensagem sem unidades modifiquemos o programa @@@p@@@ novamente para eliminar o uso de unidades nele. O programa sem unidade será similar a este: « “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V DTAG T DTAG n DTAG → V T n « “V=” V →STR + “ ”+ “T=” T →STR + “ ” + “n=” n →STR + “ ” + ‘8.31451*n*T/V‘ EVAL →STR “p=” SWAP + + + + MSGBOX » » » E quando executar com os dados de entrada V = 0.01, T = 300 e n = 0.
numérico 1. na calculadora) ou falso (representado pelo valor numérico 0. na calculadora).
Os operadores lógicos disponíveis são: AND, OR, XOR (ou exclusivo), NOT e SAME. Os operadores produzirão os resultados que são verdadeiros ou falsos dependendo do valor verdadeiro das afirmações lógicas afetadas. O operador NOT (negação) se aplica a afirmações lógicas individuais. Todas as outras se aplicam a duas afirmações lógicas.
0 0 1 0 1 0 A calculadora inclui também o operador lógico SAME. Este é um operador lógico não padrão usado para determinar se dois objetivos são idêncticos. Se forem idênticos, um valor de 1 (verdadeiro) é devolvido, se não, um valor de 0 (falso) é devolvido. Por exemplo, o seguinte exercício no modo RPN devolve um valor de 0: ‘SQ(2)’ ` 4 ` SAME Observe que o uso de SAME implica uma interpretação muito restrita da palavra "idêntica".
Ramificação com IF Nesta seção apresentamos exemplos usando as construções IF…THEN…END e IF…THEN…ELSE…END. A construção IF…THEN…END IF…THEN…END é a forma mais simples de construções de programa IF. O formato geral desta construção é: IF teste_lógico THEN execução_do_programa END. A operação desta construção é conforme a seguir: 1. Avalie teste_lógico. 2. Se teste_lógico for verdadeiro, execute program _statements e continue com o fluxo do programa depois do comando END. 3.
Exemplo: Digite o seguinte programa: « → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ EVAL END ”Done” MSGBOX » » e salve-o sob o nome ‘f1’. Pressione J e verifique a variável @@@f1@@@ está realmente disponível no seu menu de variável. Verifique os seguintes resultados: 0 @@@f1@@@ Resulta: 0 3.5 @@@f1@@@ Resulta: nenhuma ação 1,2 10 @@@f1@@@ Resulta: 1.44 @@@f1@@@ Resulta: nenhuma ação Estes resultados confirmam a operação correta da construção IF…THEN…END.
Isto criará a seguinte entrada na pilha: Exemplo: Digite o seguinte programa: « → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ ELSE ‘1-x’ END EVAL ”Done” MSGBOX »» e salve-o sob o nome ‘f2’. Pressione J e verifique se a variável @@@f2@@@ está realmente disponível no seu menu de variável. Verifique os seguintes resultados: 0 @@@f2@@@ Resulta: 0 1.2 @@@f2@@@ Resulta: 1.44 3.5 @@@f2@@@ Resulta: -2.5 10 @@@f2@@@ Resulta: -9 Estes resultados confirmam a operação correta da construção IF…THEN…ELSE...END.
Ao criar o programa da calculadora que inclui as construções IF, você pode começar a escrever manualmente um pseudocódigo para as construções conforme mostrado acima. Por exemplo, para o programa @@@f2@@@, você pode escrever IF x<3 THEN x2 ELSE 1-x END Enquanto esta simples construção funciona muito bem quando sua função tem apenas duas ramificações, é necessário encaixar as construções IF…THEN…ELSE…END para usar as funções com duas ou três ramificações.
ELSE -2 END END END END Uma construção IF completa como esta é chamada um conjunto de construções aninhadas IF … THEN … ELSE … END. Uma forna provável de avaliar f3(x), baseada na construção IF aninhada mostrada acima é escrever o programa: → x « IF ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ ELSE IF ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ ELSE IF ‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ ELSE IF ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ ELSE –2 END END END END EVAL » » » « Armazene o programa na variável @@@f3@@@ e tente as seguintes avaliações: 1.5 @@f3@@@ 2.5 @@@f3@@@ 4.2 @@@f3@@@ 5.
Teste_Lógicon THEN execução_do_programan END execução_do_programadefault (opcional) END Ao avaliar esta construção, o programa testa cada teste_lógico até que encontra um que seja verdadeiro. Este programa executa o execução_do_programa correspondente e passa o fluxo de programa para a afirmação seguinte a afirmação END. As afirmações CASE, THEN e END estão disponíveis para definição seletiva usando „°@)@BRCH@ @)CASE@ . Se estiver no menu BRCH, ex.
→ x « CASE ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ END ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ END ‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ END ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ END –2 END EVAL » »» « Armazene o programa em uma variável chamada @@f3c@. Depois tente os seguintes exercícios: 1.5 2.5 4.2 5.6 @f3c@ @@f3c@ @@f3c@ @@f3c@ 12 23 @@f3c@ @@f3c@ Result: 2.25, ex. x2. Result: 6.25, ex. x2. Result: -3.2, ex. 1-x. Result: -0.631266… (ex. sin(x), com x nos radianos) Result: 162754.791419 (ex. exp(x)) Result: -2. (ex.
diferentes que podem ser usados para codificar um loop de programa em RPL do usuário, estes são START, FOR, DO e WHILE. Os comandos START e FOR usam um índice ou contador para determinar quantas vezes o loop é executado. Os comandos DO e WHILE baseiam-se na afirmação lógica para decidir quando terminar uma execução de loop. A operação dos comandos de loop são descritas em detalhes nas seguintes seções.
Exemplo – calcular a somatória de S definida acima A construção START…NEXT contém um índice cujo valor é inacessível para o usuário. Dado que o cálculo da soma do próprio índice (k, neste caso) é necessário, devemos criar nosso próprio índice, k, que incrementará o loop cada vez que for executado. Uma possível implementação para o cálculo de S é o programa: « 0. DUP → n S k « 0. n START k SQ S + 1. ‘k‘ STO+ ‘S‘ STO NEXT S “S” TAG » » Digite o programa e salve-o na variável chamada @@@S1@@@.
9. A parte do código ‘S‘ STO armazena o valor do nível 1 da pilha na variável local k. A pilha está agora vazia. 10. A partícula NEXT aumenta o índice em um e envia o controle para o início do loop (etapa 6). 11. O loop é repetido até que o seu índice alcance o valor máximo, n. 12. A última parte do programa ativa o último valor de S (a soma), identificaa e coloca-a no nível 1 da pilha para ser vista pelo usuário como o saída do programa.
@SST↓@ @SST↓@ Pilha vazia [Armazena o valor de SL2 = 0, em SL1 = ‘S’] Pilha vazia (NEXT – fecha o loop) --- número de execução do loop 2 para k = 1 @SST↓@ SL1 = 1. (k) @SST↓@ SL1 = 1. (SQ(k) = k2) @SST↓@ SL1 = 0.(S), SL2 = 1. (k2) @SST↓@ SL1 = 1. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1., SL2 = 1. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1.(k), SL2 = 1., SL3 = 1. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 2.(k+1), SL2 = 1. (S + k2) @SST↓@ SL1 = ‘k’, SL2 = 2., SL3 = 1. (S + k2) @SST↓@ SL1 = 1.
--- para n = 2, o índice loop é exaurido e o controle é passado para a afirmação seguinte NEXT @SST↓@ SL1 = 5. (S é reativado para a pilha) @SST↓@ SL1 = “S”, SL2 = 5 (“S” é colcado na pilha) @SST↓@ SL1 = S:5 (identificar valor de saída) @SST↓@ SL1 = S:5 (deixa o subprograma ») @SST↓@ SL1 = S:5 (deixa o subprograma ») A listagem passo a passo está completa. O resultado da execução do programa @@@S1@@ com n = 2, is S:5.
« → xs xe dx « xs DUP xe START DUP dx + dx STEP DROP xe xs – dx / ABS 1 + →LIST » » e armazene-o na variável @GLIST. Neste programa , xs = o valor inicial do loop, xe = valor final do loop, dx = valor de aumento para loop. O programa coloca os valores de xs, xs+dx, xs+2⋅dx, xs+3⋅dx, … na pilha. Depois calcula o número de elementos gerados usando a parte do código: xe xs – dx / ABS 1. + Finalmente, o programa coloca junto uma lista com os elementos colocados na pilha.
Os comandos envolvidos na construção FOR estão disponíveis através de: „°@)@BRCH@ @)@FOR Dentro de cada menu BRCH („°@)@BRCH@) as seguintes teclas estão disponíveis para gerar as construções FOR (o símbolo indica a posição do cursor): • „ @)@FOR: Inicia a construção FOR…NEXT: FOR NEXT • ‚ @)@FOR: Inicia a construção FOR…NEXT: FOR STEP A construção FOR…NEXT O formulário geral desta afirmação é: valor_início valor_final FOR índice_do_loop execução_do_programa NEXT Para evitar um loop infinito, cert
10 @@@S2@@ 30 @@@S2@@ Resulta: S:385 Resulta: S:9455 20 @@@S2@@ Resulta: S:2870 100 @@@S2@@ Resulta: S:338350 Deve ter observado que o programa é muito mais simples do que aquele que foi armazenado em @@@S1@@. Não existe a necessidade de inicializar k ou aumentar k dentro do programa. O próprio programa assume a produção de tais incrementos.
[‘] @GLIS2 ` Insira o nome do programa no nível 1 Inicie o depurador. „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Use @SST↓@ para entrar no programa e ver a operação detalhada de cada comando. A construção DO A estrutura geral deste comando é: DO execução_do_programa UNTIL teste_lógico END O comando DO inicia um loop indefinido executando o retorno execução_do_programa até que teste_lógico seja FALSO (0). O teste_lógico deve conter o valor de índice cujo valor é alterado em execução_do_programa.
10 @@@S3@@ 30 @@@S3@@ Resulta: S:385 Resulta: S:9455 20 @@@S3@@ Resulta: S:2870 100 @@@S3@@ Resulta: S:338350 Exemplo 3 – gera uma lista usando uma construção DO…UNTIL…END Digite o seguinte programa: → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs DO ‘x+dx’ EVAL DUP ‘x’ STO UNTIL ‘x≥xe’ END n →LIST » » » « e armazene-o na variáve @GLIS3. • • Verifique se na execução do programa 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS3 produz a lista {0.5 1. 1.5 2. 2.5}.
Diferente do comando DO, se a primeira avaliação de teste_lógico for falsa, o loop nunca é executado. Exemplo 1 – calcule a soma de S usando uma construção WHILE…REPEAT…END O seguinte programa calcula a soma n S = ∑k2 k =0 Usando um loop WHILE…REPEAT…END: 0. → n S « WHILE ‘n≥0‘ REPEAT n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO END S “S” TAG » » « Armazene este programa na variável @@@S4@@.
J1 # 1.5 # 0.5 ` [‘] @GLIS4 ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ Insira os parâmetros 1 1.5 0.5 Insira o nome do programa no nível 1 Inicie o depurador. Use @SST↓@ para entrar no programa e ver a operação detalhada de cada comando. Erros e detecção de erros As funções do submenu PRG/ERROR fornecem formas de manipular erros na calculadora e detectar os erros dos programas.
ERRN Esta função retorna um número representando o mais recente erro. Popr exemplo, se tentar 0Y$@ERRN, obterá o número #305h. Este é o número inteiro binário representando o erro: Infinite Result ERRM Esta função retorna um texto representando a mensagem de erro do erro mais recente.
O formulário geral das construções de detecção de erro é mostrado a seguir: IFERR cláusula_detecção THEN cláusula_erro END IF cláusula_detecção THEN cláusula_erro ELSE cláusula_normal END A operação destas construções lógicas é similar a esta das construções IF … THEN … END e da IF … THEN … ELSE … END. Se um erro for detectado durante a execução da cláusula_detecção, então a cláusula_erro é executada. Caso contrário, a cláusula_normal é executada.
programa no modo algébrico e armazene-o na variável P2: « → X ‘2.5-3*X^2’ » Ative primeiro a função RPL> do catálogo de comando (‚N). Todas as funções ativadas no modo ALG têm um par de parênteses anexado ao seu nome. A função RPL> não é exceção, exceto que os parênteses devem ser removidos antes de digitar um programa no visor. Use as teclas de seta (š™) e de exclusão (ƒ) para eliminar os parênteses da afirmação RPL>(). Neste ponto você estará pronto para digitar o programa RPL.
Se usar RPL>, não haverá problema ao carregar este programa no modo algébrico: Página 21-71
Capítulo 22 Programas para manipulação de gráficos Este capítulo inclui um número de exemplos mostrando como usar as funções da calculadora para manipular os gráficos interativamente ou através do uso de programa. Como no capítulo 21 recomendamos usar o modelo RPN e configurar o sinalizador do sistema 117 para as etiquetas de menu SOFT. « » Instroduzimos uma variedade de aplicações gráficas da calculadora no capítulo 12.
Para a tecla definida pelo usuário, é necessário adicionar a esta lista um comando ou programa seguindo por uma referência para a tecla (consulte os detalhes no capítulo 20). Digite a lista { S << 81.01 MENU >> 13.0 } na pilha e use a função STOKEYS („°L@)MODES @)@KEYS@ @@STOK@) para a tecla definida pelo usuário C como o acesso ao menu PLOT. Verifique se tal lista foi armazenada na calculadora usando „°L@)MODES @)@KEYS@ @@RCLK@.
A tecla do menu marcada 3D, STAT, FLAG, PTYPE e PPAR produz menus adicionais que serão apresentados em detalhes posteriormente. Neste ponto, descrevemos as funções diretamente acessíveis através das teclas para o número do menu 81.02. Estas são: LABEL (10) Esta função LABEL é usada para marcar os eixos em uma plotagem incluindo os nomes das variáveis e os valores mínimos e máximos dos eixos. Estes nomes de variáveis são selecionados da informação contida na variável PPAR.
INFO (12) A função INFO é apenas interativa (ex. não pode ser programada). Quando a tecla do menu correspondente for pressionada ela fornece a informação sobre os parâmetros de plotagem atuais. EQ (3) O nome da variável EQ é reservado pela calculadora para armazenar a equação atual em plotagens ou solução para as equações (Consulte o capítulo 2…). A tecla do menu marcada EQ neste menu pode ser usada como seria se tivesse seu menu de variável, ex. se pressionar [ EQ ] listará o conteúdo atual desta variável.
O menu PPAR (2) O menu PPAR lista diferentes opções para a variável PPAR conforme dado pelas seguintes etiquetas de teclas do menu. Pressione L para mover para os próximos menus: Nota: os comandos de SCALE mostrados aqui representam realmente SCALE, SCALEW, SCALEH, nesta ordem. O seguinte diagrama ilustra as funções disponíveis no menu PPAR. As letras anexadas a cada função no diagrama são usadas somente para referência na descrição das funções mostradas abaixo.
Esta informação indica que X é a variável independente (Indep), Y é a variável dependente (Depnd), a faixa do eixo x vai de –6.5 a 6.5 (Xrng), a faixa do eixo y vai de –3.1 a 3.2 (Yrng). A última parte da informação no visor, o valor de RES (RESolução) determina o intervalo da variável independente para gerar a plotagem. As etiquetas da tecla do menu incluidas no menu PPAR(2) representam os comandos que podem ser usados nos programas.
são -6.5 e 6.5, respectivamente. Os valores padrões para xmin e xmax são 3.1 e 3.2, respectivamente. RES (e) O comando RES (resolução) especifica o intervalo entre os valores da variável independente ao produzir uma plotagem específica. A resolução pode ser expressa em termos de unidades de usuário como um número real ou em termos de pixels como um inteiro binário (números começando com #, ex. #10). A resolução é armazenada como o quarto item na variável PPAR.
Nota: Alterações introduzidas usando SCALE, SCALEW ou SCALEH, podem ser usadas para aumentar ou diminuir uma plotagem. ATICK (l) O comando ATICK (marca TICK no eixo) é usada para configurar as anotações de marca de seleção para o eixos.
O menu 3D dentro da PLOT (7) O menu 3D contém dois submenus, PTYPE e VPAR, e uma variável, EQ. Já conhecemos o significado de EQ, portanto, nos concetraremos no conteúdo dos menus PTYPE e VPAR. O diagrama abaixo mostra a ramificação do menu 3D. O menu PTYPE dentro de 3D (IV) O menu PTYPE sob 3D contém as seguintes funções: Estas funções correspondentes as opções gráficas Slopefield, Wireframe, YSlice, Ps-Contour, Gridmap e Pr-Surface apresentadas anteriormente neste capítulo.
A seguir, descrevemos o significado destas funções: INFO (S) and VPAR (W) Ao pressionar @INFO (S) você obterá a informação mostrada no visor esquerdo acima. As faixas em Xvol, Yvol e Zvol descrevem a extensão do paralelepípedo no espaço onde o gráfico será gerado. Xrng e Yrng descrevem a faixa de valores de x e y, respectivamente, como as variáveis independentes no plano x-y que será usdo para gerar funções da forma z = f(x,y). Pressione L e @INFO (Y) para obter a informação no visor direito acima.
idéia do ponto de visão em relação ao espaço atual do gráfico e sua projeção no plano do visor. NUMX(U) and NUMY (V) As funções NUMX e NUMY são usadas para especificar o número de pontos ou etapas ao longo de cada direção para ser usado na geração da grade base onde obter os valores de z = f(x,y). VPAR (W) Isto é apenas uma referência para a variável VPAR. RESET (X) Reajusta os parâmetros no visor para os valores padrão. Pressione L@)@3D@@ para retornar ao menu 3D.
O menu STAT fornece para plotagens relacionadas com as análises estatísticas. Dentro deste menu encontramos os seguintes menus: O diagrma abaixo perntence a ramificação do menu STAT dentro do PLOT. Os números e letras acompanhando cada função ou menu são usados para a referência nas descrições que seguem a figura. O menu PTYPE dentro de STAT (I) O menu PTYPE fornece as seguintes funções: Estas teclas correspondentes aos tipos de plotagens Bar (A), Histogram (B), e Scatter(C), apresentados anteriormente.
As funções listadas neste menu são usadas para manipular a matriz estatística ΣDAT. As funções Σ+ (D) e Σ- (E), adicionam ou removem as linhas com os dados da matriz ΣDAT. CLΣ (F) limpa a matriz ΣDAT (G) e a tecla do menu ΣDAT é apenas como uma referência para as aplicações interativas. Maiores detalhes sobre o uso destas funções são apresentados em um capítulo sobre as aplicações estatísticas. Pressione @)STAT para retornar ao menu STAT.
Estas funções correspondem aos Ajustes Linear, Logaritmo, Exponencial, Potência ou o Melhor Ajuste. Ajuste de dados é descrito em mais detalhes em um capítulo posterior. Pressione £@PAR para retornar ao menu ΣPAR. ΣPAR (K) ΣPAR é apenas uma referência para a variável ΣPAR de uso interativo. RESET (L) Esta função reajusta o conteúdo de ΣPAR para seus valores padrões. Pressione L @)STAT para retornar ao ambiente STAT menu. Pressione [PLOT] para retornar ao menu principal PLOT.
Gráficos bidimensionais Os gráficos bidimensionais gerados por funções, a saber, Function, Conic, Parametric, Polar, Truth e Differential Equation, use PPAR com o formato: { (xmin, ymin) (xmax, ymax) indep res axes ptype depend } Os gráficos bidimensionais gerados dos dados na matriz estatísticas ΣDAT, a saber, Bar, Histogram e Scatter, use a variável ΣPAR com o formato: { x-column y-column slope intercept model } enquanto ao mesmo tempo usa PPAR com o formato mostrado acima.
A variável EQ Todas as plotagens, exceto estas baseadas no ΣDAT, requerem a definição da função ou funções a serem plotadas armazenando as expressões ou referências para estas funções na variável EQ. Em resumo, para produzir uma plotagem em um programa, é necessário carregar EQ, se for necessário. Então carregar PPAR, PPAR e ΣPAR ou PPAR e VPAR.
@)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL Remova as etiquetas do menu Retorna ao visor normal da calculadora (*) Menu PLOT disponível através da tecla definida pelo usuário Cconforme mostrado anteriormente neste capítulo. Exemplo 2 – Uma plotagem paramétrica (Uso RAD como ângulos): „ÌC Obtém um menu PLOT @)PTYPE @PARAM Selecionar PARAMETRIC como o tipo de plotagem { ‘SIN(t)+i*SIN(2*t)’ } ` Define a função complexa X+iY „ @@EQ@@ Armazena a função complexa no EQ @)PPAR Mostra os parâmetros de plotagem {t 0 6.
@)PPAR { θ 0 6.29} ` @INDEP Mostra os parâmetros de plotagem Define ‘θ’ como a variável indep. ~y` @DEPND Define ‘Y’ como a variável dependente Define (-3,3) como a faixa x Define (-0.5,2.5) como a faixa y Lista de definição de eixos Define o centro do eixo, seleções, etiquetas Retorna para o menu PLOT Apaga a imagem, desenha os eixos, etiquetas Desenhe a função e mostre a imagem Remova as etiquetas do menu Retorna ao visor normal da calculadora 3 \# 3 @XRNG 0.5 \# 2.5 @YRNG L { (0,0) {.5 .
Exemplos de plotagens geradas por programas Nesta seção mostramos como implementar com programas a geração dos últimos três exemplos. Ativar o menu PLOT antes de começar a digitar o programa para facilitar a inserção de comandos gráficos („ÌC consulte acima). Exemplo 1 – Uma plotagem de função: Insira o seguinte programa: « {PPAR EQ} PURGE ‘√r’ STEQ ‘r’ INDEP ‘s’ DEPND FUNCTION { (0.,0.) {.4 .2} “Rs” “Sr” } AXES –1. 5. XRNG –1. 5.
PARAMETRIC Selecione PARAMETRIC como o tipo de plotagem { (0.,0.) {.5 .5} “X(t)” “Y(t)” } AXES –2.2 2.2 XRNG –1.1 1.1 YRNG ERASE DRAW DRAX LABEL Configura a informação do eixo Configure a faixa x Configura a faixa y Apague e desenhe, eixos e etiquetas PICTURE Reativa os visores dos gráficos para a pilha » Fecha o programa Armazena o programa na variável PLOT2. Para executá-lo pressione J, se for necessário, e depois @PLOT2.
Armazena o programa na variável PLOT3. Para executá-lo pressione J, se for necessário, e depois pressione @PLOT3. Estes exercícios ilustram o uso do comando PLOT nos programas. Eles apenas fazem uma demonstração superficial das aplicações do programa de plotagens. Gostaria de convidar o leitor a fazer seus próprios exercícios sobre plotagens de programação.
das coordenadas definidas pelo usuário no PPAR se mantém inalteradas, porém o tamanho dos gráficos são alterados para #h × #v pixels. PICT e o visor dos gráficos PICT, a área de armazenagem para o gráfico atual pode ser vista como um gráfico bidimensional com um tamanho mínimo de 131 pixels de largura por 64 pixels de altura. A largura máxima de PICT é 2048 pixels sem restrição na altura máxima.
BOX Este comando toma como entrada dois pares ordenados (x1,y1) (x2, y2) ou dois pares de coordenadas de pixels {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Desenha a caixa cujas diagonais são representadas pelos dois pares de coordenadas na entrada. ARC Este comando é usado para desenhar um arco. ARC toma como entrada os seguintes objetos: • • • As coordendas do centro do arco como (x,y) nas coordenadas do usuário ou {#n, #m} em pixels. Raio de um arco como r (coordenadas do usuário) ou #k (pixels).
PIX?, PIXON e PIXOFF Estas funções tomam como entrada as coordenadas do ponto nas coordenadas do usuário, (x,y), ou em pixels {#n, #m}. • • • PIX? Verifica se o pixel no local (x,y) ou {#n, #m} está ligado. PIXOFF desliga o pixel no local (x,y) ou {#n, #m}. PIXON liga o pixel no local (x,y) ou {#n, #m}.
« DEG 0. 100. XRNG 0. 50. YRNG ERASE (5., 2.5) (95., 47.5) BOX (50., 50.) 10. 0. 360. ARC (50., 50.) 12. –180. 180. ARC 1 8 FOR j (50., 50.) DUP ‘12*COS(45*(j-1))’ NUM ‘12*SIN(45*(j-1))’ NUM R C + LINE NEXT { } PVIEW » Inicie o programa Selecione grau para as medidas angulares Configure a faixa x Configura a faixa y Apaga a imagem Caixa de desenho de (5,5) para (95,95) Desenha um centro de círculo (50,50), r =10. Desenha um centro de círculo (50,50), r =12.
O programa, disponível no disquete ou CD ROM que acompanha a sua calculadora, usa quatro subprogramas FRAME, DXBED, GTIFS e INTRP. O programa principal chamado XSECT, toma como entrada uma matriz de valores de x e y e a elevação da superfície da água Y (consulte a figura abaixo), nesta ordem. O programa produz um gráfico da seção cruzada que indica os dados de entrada com pontos no gráfico e mostra a superfície livre na seção cruzada.
@XYD1! @XYD1! @XYD1! @XYD1! 2 3 4 6 @XSECT @XSECT @XSECT @XSECT Seja paciente ao executar o programa XSECT. Devido ao número relativamente grande de funções gráficas usadas, a não contagem de iterações pode levar algum tempo para produzir o gráfico (aproximadamente 1). Conjunto de dados 1 x 0.4 1.0 2.0 3.4 4.0 5.8 7.2 7.8 9.0 Y 6.3 4.9 4.3 3.0 1.2 2.0 3.8 5.3 7.2 Conjunto de dados 2 x 0.7 1.0 1.5 2.2 3.5 4.5 5.0 6.0 7.1 8.0 9.0 10.0 10.5 11.0 y 4.8 3.0 2.0 0.9 0.4 1.0 2.0 2.5 2.0 0.7 0.0 1.5 3.4 5.
Este programa mantém o tamanho da variável PICT em 131 pixels – o tamanho mínimo de pixel para o eixo horizontal – e ajusta o número de pixels nos eixos verticais para que uma escala 1:1 seja mantida entre os eixos vertical e horizontal. Coordenadas de pixel A figura abaixo mostra as coordenadas gráficas para o visor típico (mínimo) de 131×64 pixels. As coordenadas de pixels são medidas do canto esquerdo superior do visor {# 0h # 0h}, que corresponde as coordendas definidas pelo usuário (xmin, ymax).
• Pressione @ERASE @DRAW. Espere até que a calculadora gere todos os gráficos necessários. Quando estiver pronta, mostrará uma onda sinusoidal progressiva no seu visor. Animar uma coleção de gráficos A calculadora fornece a função ANIMATE para animar um número de gráficos que foram colocados na pilha. Você pode gerar um gráfico no visor de gráficos usando os comandos nos menus PLOT e PICT. Para colocar o gráfico gerado na pilha, use PICT RCL.
0 ‘2*π’ NUM ARC PICT RCL NEXT 11 ANIMATE » Desenha o centro do círculo r = 5(j-1) Coloca PICT atual na pilha Fecha o loop FOR-NEXT Anima Termina o programa Armazene este programa em uma variável chamada PANIM (animação de plotagem). Para executar este programa pressione J (se necessário) @PANIM. Leva mais de um minuto para a calculadora gerar os gráficos e continuar com a animação. Portanto, seja realmente paciente aqui.
Salve este programa em uma variável chamada RANIM (ReANIMar). Para executá-lo pressione @RANIM. O seguinte programa animará os gráficos na WLIST para frente e para trás: « WLIST DUP REVLIST + OBJ ANIMATE » Inicie o programa Coloque a lista WLIST na pilha, faça uma cópia extra Ordem reversa, concatena as 2 listas Decomponha a lista, nível 1 da pilha = 22 Inicie a animação Fecha o programa Salve este programa em uma variável chamada RANI2 (ReANImar versão 2). Para executá-lo pressione @RANI2.
Armazene este programa em uma variável chamada PWAN (animação de plotagem). Para executar este programa pressione J (se necessário) @PWAN. Verá que a calculadora desenha cada função de potência individual antes de iniciar a animação onde cinco funções serão plotadas rapidamente um depois do outro. Para interromper a animação, pressione $.
Se pressionar ˜ então o gráfico contido no nível 1 é mostrado na exibiçao gráfica da calculadora. Pressione @CANCL para retornar ao visor normal da calculadora. O gráfico no nível 1 não está ainda no formato GROB, embora seja, por definição, um objeto de gráficos. Para converter um gráfico na pilha em um GROB use: 3` „°L@)GROB @ GROB .
Assim, GROBs podem ser usados para documentar os gráficos colocando as equações ou texto nas exibiões gráficas. O menu GROB O menu GROB, acessível através „°L@)GROB @ GROB, contém as seguintes funções. Pressione L para mover para o próximo menu. GROB Das funções que já usamos SUB, REPL, (do menu graphics EDIT), ANIMATE [ANIMA] e GROB. ([ PRG ] é simplesmente uma forma de retornar ao menu de programa).
pixels {#n #m}. GOR usa a função OR para determinar o status de cada pixel (ex. Ligado ou desligado) na região de sobreposição entre grob1 e grob2. GXOR A função GXOR (XOR gráficos) executam a mesma operação de GOR, mas usa XOR para deteminar o status final de pixels na área de sobreposição entre os objetos gráficos grob1 e grob2. Nota: Em ambos GOR e GXOR, quanto grob2 for substituido por PICT, estas funções não produzem nenhuma saída.
FUNCTION ‘SIN(X)’ STEQ ERASE DRAX DRAX LABEL DRAW (-6.28,-2.) (6.28,2.) BOX PICT RCL “SINE FUNCTION” 1 GROB (-6., 1.
o elemento é girado pelo ângulo φ. Neste caso, as resistências normais são σ’xx e σ’yy, enquanto as resistências ao cisalhamento são τ’xy e τ’yx. A relação entre o estado original de resistências (σxx, σyy, τxy, τyx) e o estado de resistência quando os eixos são girados no sentido anti-horário por f (σ’xx, σ’yy, τ’xy, τ’yx), pode ser representada graficamente pela construção mostrada na figura acima.
A condição de resistência para o qual a resistência ao cisalhamento, τ’xy, é zero, indicada pelo segmento D’E’, produz a tão chamada resistências principais, σPxx (no ponto D’) e σPyy (no ponto E’). Para obter as resistências principais, é necessário girar o sistema de coordenadax’-y’ por um ângulo φn, sentido anti-horário em relação ao sistema x-y. ´No círculo Mohr, o ângulo entre os segmentos AC e D’C mede 2φn.
subprogramas que são criados como variáveis separdas na calculadora. Estes subprogramas são ligados pelo programa principal que chamaremos de MOHRCIRCL. Criamos primeiro um subdiretório chamado de MOHRC dentro do diretório HOME e entramos dentro deste diretório para digitar os programas. A próxima etapa é criar o programa principal e os subprogramas dentro do subdiretório.
MOHRC. Antes de reordenar as variáveis, execute o programa novamente pressionado a tecla @MOHRC. Use o seguinte: @MOHRC 25˜ 75˜ 50` Ative o programa principal MOHRCIRCL Insira σx = 25 Insira σy = 75 Insira τxy = 50 e termine a entrada de dados. Neste ponto o programa MOHRCIRCL inicia a ativação dos subprogramas para produzir a figura. Tenha paciencia. O Círculo de Mohr resultante será similar a esta figura a esquerda.
Para encontrar os valores normais pressione š até que o cursor retorne a interseção do círculo com a seção positiva do eixo σ. Os valores encontrados neste ponto são φ = 59o e (σ’xx, τ’xy) = (1.06E2,-1.40E0) = (106, -1.40). Agora, esperamos que o valor de τ’xy = 0 no local dos eixos principais. O que acontece é que, dado que limitamos a resolução na variável independente para ser ∆φ = 1o, perdemos o ponto atual onde as resistências ao cisalhamento tornam-se zero.
Para executar o programa use: J@PRNST Inicia o programa PRNST 25˜ Insira σx = 25 75˜ Insira σy = 75 50` Insira τxy = 50 e termine de inserir os dados. O resultado é: Organizar as variáveis no subdiretório Executar o programa MOHRCIRCL pela a primeira vez produziu um par de novas variáveis, PPAR e EQ. Estas são Plot PARameter e EQuation, variáveis necessárias para plotar o círculo.
12.5˜ 6.25\˜ 5\` Insira σx = 12.5 Insira σy = -6.25 Insira τxy = -5 e termine de inserir os dados. O resultado é: Para desenhar o círculo de Mohr use o programa @MOHRC conforme a seguir: J@MOHRC 12.5˜ 6.25\˜ 5\` Inicie o programa PRNST Insira σx = 12.5 Insira σy = -6.25 Insira τxy = -5 e termine de inserir os dados. O resultado é: Para encontrar os valores das resistências correspondente a rotação de 35o no ângulo da partícula resistente, usamos: $š @TRACE @(x,y)@.
Um formulário de entrada para o programa de círculo de Mohr Uma forma interessante de colocar os dados de entrada é substituir o subprograma INDAT com o seguinte programa que ativa um formulário de entrada: « “MOHR’S CIRCLE” { { “σx:” “Normal stress in x” 0 } { “σy:” “Normal stress in y” 0 } { “τxy:” “Shear stress” 0} } { } { 1 1 1 } { 1 1 1 } INFORM DROP » Com esta substituição de programa, executando @MOHRC produzirá um formulário de entrada conforme a seguir: Pressione @@@OK@@@ para continuar a execução
O resultado depois de pressionar @@@OK@@@ é o seguinte: Página 22-45
Capítulo 23 Segmentos de caractere/textos Segmentos de caracteres são objetos da calculadora incluídos entre aspas duplas. Eles são tratados como texto pela calculadora. Por exemplo, o segmento “SINE FUNCTION”, pode ser transformado em um GROB (objeto gráfico), para marcar um gráfico ou pode ser usado como resultado em um programa. Conjuntos de caracteres digitados pelo usuário como entrada para um programa são tratados como textos. Além disso, os objetos no resultado de programa são também textos.
Exemplos das aplicações destas funções são mostrados a seguir: Concatenação de segmento Os segmentos podem ser concatenados (agrupados) usando o sinal de mais +, por exemplo: Os segmentos de concatenação é uma forma prática para criar resultados em programas. Por exemplo, concatenar "YOU ARE " AGE + " YEAR OLD" cria o segmento "YOU ARE 25 YEAR OLD", onde 25 é armazenado na variável chamada AGE. O menu CHARS O submenu CHARS é acessível através do menu PRG (programação) ex. „°.
A operação NUM, CHR, OBJ e STR foi apresentada anteriormente neste capítulo. Temos também visto as funções SUB e REPL em relação aos gráficos anteriormente neste capítulo.
A lista de caracteres A coleção inteira de caracteres disponível na calculadora é acessível através da seqüência de tecla ‚±. Quando você ressalta qualquer caractere, digamos o caractere , verá que a esquerda do fundo do visor é mostrada a seqüência da tecla que obtém tal caractere ( . para este caso) e o código numérico correspondente ao caractere (10 neste caso).
Capítulo 24 Objetos e sinalizadores da calculadora Os números, listas, vetores, matrizes, algébricos, etc. são objetos da calculadora. Eles são classificados de acordo com a sua natureza em 30 tipos diferentes, que são descritos abaixo. Os sinalizadores são variáveis que podem ser usadas para controlar as propriedades da calculadora. Os sinalizadores foram introduzidos no capítulo 2.
Número Tipo Exemplo ____________________________________________________________________ 21 Número real extendido Long Real 22 Número complexo extendido Long Complex 23 Matriz linkada Linked Array 24 Objeto de caractere Character 25 Objeto de código Code 26 Dados da biblioteca Library Data.
Sinalizadores de sistema Os sinalizadores de sistema são acessíveis usando H @)FLAGS!. Pressione as teclas com a seta para ver uma lista de todos os sinalizadores do sistema com seu número e uma breve descrição. Os primeiros dois visores com os sinalizadores do sistema são mostrados a seguir: Você reconhecerá estes sinalizadores porque alguns são ativados ou desativados no menu MODES(ex. sinalizador 95 para modo Algebric, 103 para modo Complex, etc.).
As funções para manipular os sinalizadores da calculadora estão disponíveis no menu PRG/MODES/FLAG. O menu PRG está ativado com „°.
Capítulo 25 Funções de dia e hora Neste capítulo demonstramos algumas das funções e cálculos usando as horas e dias. O menu TIME O menu TIME, disponível através da sequência de teclas ‚Ó (a tecla 9) fornece as seguintes funções que são descritas a seguir: Configurar um alarme Opção 2. Set alarm.. fornece um formulário de entrada para permitir que o usuário configue um alarme.
Navegar nos alarmes Opção 1. Browse alarms... no menu TIME permite que você verifique seus alarmes atuais. Por exemplo, depois de inserir o alarme usado no exemplo acima, esta opção mostrará o seguinte visor: Este visor fornece quatro etiquetas de teclas do menu virtual: EDIT : Para editar o alarme selecionado, fornece um formulário de entrada de configuração de alarme NEW : Para programar um novo alarme PURG : Para excluir um alarme OK : Retorna ao visor normal Configurar a hora e a dia Opção 3.
A aplicação destas funções é apresentada abaixo. DATE: DATE: TIME: TIME: Coloca o dia atual na pilha Configura o dia do sistema para o valor especificado Coloca a hora aual no formato de 24 hs HH.MMSS Configura a hora do sistema para o valor especificado no formato 24-hrs HH.MM.SS TICKS: Fornece a hora do sistema como números inteiros binários em unidades de tiques do relógio sendo 1 tique = 1/8192 seg. ALRM.
Cálculos com dias Para cálculo com dias, use as funções DATE+, DDAYS. Aqui está um exemplo de aplicação destas fuñções juntamente com um exemplo de funções TICKS: Cálculos com horas As funções HMS, HMS , HMS+ e HMS- são usadas para manipular os valores no formato HH.MMSS. Este é o mesmo formato usado para calcular com as medidas angulares em graus, minutos e segundos. Assim, estas operações são úteis não apenas para o cálculo da hora, como também de cálculos angulares.
RCLALARM(x): Retorna na pilha o alarme especificado (x) da lista de alarme do sistema DELALARM(x): Exclui o alarme x da lista de alarme do sistema FINDALARM(x): Retorna ao primeiro alarme vencido depois da hora espeficada O argumento x na função STOALARM é uma lista contendo uma referência de dias(mm.ddyyy), hora do dia em formato de 24 hr (hh.mm), um segmento contendo o texto do alarme e o número de repetições do alarme. Por exemplo, STOALARM({6.092003,18.25,"Test",0}.
Capítulo 26 Gerenciar a memória No capítulo 2 do manual do usuário introduzimos os conceitos e operações básicas para criar e gerenciar as variáveis e diretórios. Neste capítulo discutimos o gerenciamento da memória da calculadora em termos de partição e técnicas para proteger os dados. Estrutura da memória A calculadora contém um total de 2.5 MB de memória do qual 1 MB é usada para armazenar o sistema operacional (memória do sistema) e 1.
Porta 1 (ERAM) pode conter até 255 KB de dados. Porta 1, juntamente com a Porta 0 e o diretório HOME constitui o segmento RAM da calculadora (memória de acesso aleatório) da memória da calculadora. O segmento da memória RAM requer fornecimento de alimentação contínuo das baterias da calculadora para ser operada. Para evitar a perda do conteúdo da memória RAM, incluímos a bateria de backup CR2032. Consulte os detalhes adicionais no final deste capítulo.
porta de memória. Quando um dado diretório, subdiretório ou porta for selecionada, pressione @@@OK@@@ para ver o conteúdo do objeto selecionado. Outra forma de acessar a porta de memória é usar o menu LIB (‚á, associado com a tecla 2). Esta ação produz a seguinte tela: Se qualquer biblioteca estiver ativa na sua calculadora, ela será exibida neste visor. A biblioteca @)HP49D (demo) é mostrada no visor acima. Pressionar a tecla correspondente (A) para ativar esta biblioteca.
diretório HOME, a calculadora obtém novamente o valor CRC e o compara ao valor original. Se for observada qualquer discrepância, a calculadora avisa ao usuário que os dados restaurados podem estar corrompidos. Backup dos objetos na porta de memória A operação de backup de um objeto da memória do usuário em uma das portas da memória é similar a operação de copiar uma variável de um subdiretório a outro (consulte os detalhes no capítulo 2 do manual do usuário).
: Número_da_portaNúmero_da_porta : Nome_Backup ` ARCHIVE Restaurar o diretório HOME Para restaurar o diretório home no modo algébrico use o comando: RESTORE(: Número_da_portaNúmero_da_porta : Nome_Backup) Por exemplo, para restaurar o diretório HOME do objeto de backup HOME1, use: RESTORE(:1:HOME1) No modo RPN: : Número_da_portaNúmero_da_porta : Nome_Backup ` RESTORE Nota: Ao restaurar um backup do diretório HOME ocorrem duas coisas: • O diretório de backup sobrescreve o diretório HOME atual.
No modo algébrico use : _da_porta : Nome_Backup) No modo RPN use: Nome_Backup PURGE PURGE(: Número_da_portaNúmero :Número_da_portaNúmero_da_porta: Para restaurar o objeto de backup: • Use o File Manager („¡) para copiar o objeto de backup da porta de memória para o diretório HOME. • Quando um objeto de backup é restaurado, a calculadora faz uma verificação de integridade no objeto restaurado calculando seu valor CRC.
: Número_da_portaNúmero_da_porta : Nome_Backup ` RCL Os cartões SD A calculadora fornece uma porta de memória onde você pode inserir um cartão flash SD para fazer o backup dos objetos da calculadora ou para fazer o download de objetos de outras fontes. Insira a placa com a etiqueta voltada para cima. O cartão SD na calculadora aparecerá como a porta número 3. O acesso a um objeto do cartão SD é feito de forma similar, como se estivesse localizado nas portas 0, 1 ou 2.
Você pode armazenar objetos apenas na raiz do SD, ex. nenhuma árvore de sub-diretório pode ser construída na porta 3 (estas características podem ser alteradas em uma futura atualização da flash ROM). Para armazenar um objeto, use a função STO conforme a seguir: • No modo algébrico: Para armazenar um objeto, pressione K, digite o nome do objeto armazenado usando a porta 3 (ex. :3:VAR1), pressione `. • No modo RPN: Para armazenar um objeto, digite o nome do objeto armazenado usando a porta 3 (ex.
• No modo RPN: Digite o nome do objeto armazenado usando a porta 3 (ex. :3:VAR1) e pressione I@PURGE . Usar as bibliotecas As bibliotecas são programas em linguagens binária criadas pelo usuário que podem ser carregadas na calculadora e colocadas a disposição para uso de dentro de qualquer subdiretório do diretório HOME. As bibliotecas podem ser instaladas na calculadora como uma variável regular e depois instaladas e anexadas ao diretório HOME.
Criar bibliotecas Uma biblioteca pode ser escrita nas linguagens Assembler, SYSRPL ou usando uma biblioteca de criação de matriz, tais como LBMKR. O último programa está disponível online (consulte por exemplo, http://www.hpcalc.org). Os detalhes para programar a calculadora na linguagem Assembler ou em SYSRPL estão além do conteúdo deste documento. O usuário está convidado a obter informações adicionais sobre o assunto online.
Apêndice A Usar os formulários de entrada de dados Este exemplo de configuração da hora e dia ilustra o uso de formulários de entradas de dados na calculadora. Algumas regras gerais: • Use as teclas com as setas (š™˜—) para mover de um campo para o próximo no formulário de entrada. • Use qualquer uma das teclas @CHOOS para visualizar as opções disponíveis para qualquer campo dado no formulário de entrada.
o aplicativo. O visor resultante é um formulário de entrada de dados com campos de entrada para um número de variáveis (n, I%YR, PV, PMT, FV). Neste caso em particular podemos oferecer valores para todas exceto uma das variáveis, digamos, n = 10, I%YR = 8.5, PV = 10000, FV = 1000 e resolver uma variável PMT (o significado destas variáveis é apresentado mais tarde). Tente o seguintes: 10 @@OK@@ 8.5 @@OK@@ 10000 @@OK@@ ˜1000 @@OK@@ — š @SOLVE! Insira n = 10 Insira I%YR = 8.
!RESET !CALC !TYPES !CANCL @@OK@@ Reinicia os campos para os valores padrões Pressione para acessar a pilha para os cálculos Pressione para determinar o tipo de objeto no campo ressaltado Cancela a operação Aceita a entrada de dados Se pressionar !RESET será solicitado a selecionar entre as duas opções: Se selecionar Reset value apenas o valor ressaltado será restaurado para o valor padrão.
(No modo RPN, teremos usado 1136,22 ` 2 `/). Pressione @@OK@@ para inserir este novo valor. O formulário de entrada parecerá agora desta forma: Pressione !TYPES para ver o tipo de dados no campo PMT (o campo ressaltado). Obterá a seguinte especificação: Isto indicar que o valor no campo PMT deve ser um número real. Pressione @@OK@@ par retornar ao formulário de entrada e depois L para recuperar o primeiro menu. A seguir pressione a tecla ` ou $ para retornar a pilha.
Apêndice B O teclado da calculadora A figura abaixo mostra um diagrama do teclado da calculadora com a numeração de suas linhas e colunas. A figura mostra 10 linhas de teclas combinadas com 3, 5 ou 6 colunas. A linha 1 tem 6 teclas, a linha 2 e 3 tem 3 teclas cada e a linha 4 até 10 tem 5 teclas cada. Existem 4 teclas com seta localizadas no lado direito do teclado no espaço ocupado pelas linhas 2 e 3. Cada tecla tem três, quatro ou cinco funções.
Para operar estas funções de teclas pressione apenas a tecla correspondente. Verifiquemos as teclas pela linha e coluna onde estão localizadas no desenho acima, assim, a tecla (10,1) é a tecla ON. Funções principais de tecla no teclado da calculadora Funções principais de teclado As teclas A até F são associadas com as opções que aparecem no fundo do visor da calculadora. Assim, estas teclas ativarão uma variedade de funções que são alteradas de acordo com o menu ativo.
As teclas com as setas, —˜š™, são usadas para mover um caractere de cada vez na direção da tecla pressionada (ex. acima, abaixo, esquerda ou direita). A função APPS ativa o menu de aplicações. A função MODE ativa o menu de modos da calculadora. A função TOOL ativa um menu de ferramentas úteis para manipular variáveis e obter ajuda na calculadora. A função VAR mostra as variáveis armazenadas no diretório atual.
Existe uma tecla ponto decimal (.) e uma tecla de espaço (SPC). A tecla ENTER é usada para inserir um número, expressão ou função no visor ou pilha e A tecla ON é usada para ligar a calculadora. Funções alternadas de tecla A tecla left-shift verde, key (8,1), a tecla right-shift vermelha, key (9,1) e a tecla ALPHA amarela, key (7,1) podem ser combinadas com algumas das outras teclas para ativar as funções alternadas mostradas no teclado.
Nestes diagramas, o caractere ou função resultante para cada combinação de tecla é mostrado no fundo branco. Se as teclas left-shift, right-shift ou ALPHA forem ativadas, elas são mostradas em um fundo com sombra. As teclas que não são ativas são mostradas no fundo preto. Funções Left-shift O seguinte desenho mostra as funções, caracteres ou menus associados com as diferentes teclas da calculadora quando a tecla left-shift „ for ativada.
Funções left-shift „ do teclado da calculadora A função CMD mostra os comandos mais recentes. A função PRG ativa os menus de programas. A função MTRW ativa o Editor de Matriz. A função MTH ativa o menu da função matemática. A tecla DEL é usada para excluir as variáveis. A tecla ex calcular a função exponencial de x. A tecla x2 calcula o quadrado de x (isto é mencionado como a função SQ).
As funções ASIN, ACOS e ATAN calculam as funções arcoseno, arcocoseno e arco-tangente, respectivamente. A função 10x calcula o anti-logaritmo de x. As teclas ≠, ≤ e ≥ são usadas para comparar os números reais. A função ABS calcular o valor absoluto de um número real ou a magnitude de um número complexo ou de um vetor. A função USER ativa o teclado definido pelo usuário. A função S.SLV ativa o menu do solucionador simbólico.
Funções right-shift … do teclado da calculadora Funções Right-shift O seguinte desenho mostra as funções, caracteres ou menus associados com as diferentes teclas da calculadora quando a tecla right-shift … for ativada: As funções BEGIN, END, COPY, CUT e PASTE são usadas para editar os objetos. A tecla UNDO é usada para desfazer a última operação da calculadora. A função CHARS ativa o menu de caracteres.
A A A A A função função função função função EQW é usada para iniciar o Editor de Equação. CAT é usada mostrar o catálogo de comandos. CLEAR limpa a pilha operacional. LN calcula o logaritmo natural. x y calcular a raiz x de y. A função Σ é usada para inserir as somatórias (ou o sigma da letra grega). A função ∂ é usada para calcular as derivadas. A função ∫ é usada para calcular as integrais. A função LOG calcula o logaritmo de base 10.
Caracteres ALFA O seguinte desenho mostra os caracteres associados com as diferentes teclas da calculadora quando ALPHA ~ for ativado. Observe que a função ~ é usada para inserir as letras em maiúscula do alfabeto inglês (A a Z). Os números, símbolos matemáticos, (-, +), pontos decimais (.) e o espaço (SPC) são as mesmas das funções principais destas teclas. A função ~ produz um asterisco (*) quando combinada com a tecla vezes, ex. ~*.
Caracteres left-shift alfa O seguinte desenho mostra os caracteres associados com as diferentes teclas da calculadora quando ALPHA ~ for combinado com a tecla left-shift „. Observe que a função ~„ é usada para inserir as letras em minúscula do alfabeto inglês (A a Z). Os números, símbolos matemáticos, (-, +, ×), pontos decimais (.) e o espaço (SPC) são as mesmas das funções principais destas teclas. Para as teclas ENTER e CONT funcionam também com as suas funções principais quando a combinação ~„ for usada.
Caracteres right-shift alfa O seguinte desenho mostra os caracteres associados com as diferentes teclas da calculadora quando ALPHA ~ for combinado com a tecla rightshift …. "' Funções Alfa ~… do teclado da calculadora Observe que a combinação ~… é usada para inserir um número de caracteres especiais na pilha da calculadora.
principais mesmo quando a combinação ~… for usada. Os caracteres especiais gerados pela combinação ~… incluem as letras gregas (α, β, ∆, δ, ε, ρ, µ, λ, σ, θ, τ, ω e Π), outros caracteres gerados pela combinação ~… são |, ‘, ^, =, <, >, /, “, \, __, ~, !, ?, <<>> « » e @.
Apêndice C Configurações CAS CAS significa sistema algébrico do computado. Este é o centro matemático da calculadora onde as operações e funções matemáticas simbólicas e funções são programadas. O CAS oferece um número de configurações que podem ser ajustados de acordo com o tipo de operação de interesse. Para ver as configurações CAS opcionais use o seguinte: • Pressione o botão H para ativar formulário de entrada CALCULATOR MODES.
Pressionar a tecla L mostra as opções restantes no formulário de entrada CALCULATOR MODES: @RESET !!CANCL @@@OK@@@@ Permite que o usuário reinicie uma opção ressaltada Fecha este formulário de entrada e retorna para o visor normal. Usa esta tecla para aceitar as configurações. • Para recuperar o menu original na caixa de entrada CALCULATOR MODES, pressione a tecla L. O importante neste ponto é alterar as configurações CAS. Isto é feito pressionando a tecla @@ CAS@@.
retornar ao visor normal da calculadora nesta altura, pressione a tecla @@@OK@@@ novamente. Selecionar a variável independente Muitas das funções fornecidas pelo CAS usam uma variável independente pré-determinada. Por definição, tal variável é a letra X (maiúscula) conforme mostrado na caixa de entrada CAS MODES acima.
Modo CAS Numeric e Symbolic Quando o modo CAS Numeric for selecionado, certas constantes na calculadora são exibidas no seu valor de ponto de flutuação total. Por definição, a opção _Numeric foi desmarcada, significando que estas constantes pré-definidas serão exibidas como seu símbolo, em vez de seus valores, no visor da calculadora.
No modo Algebraic, o objeto inserido pelo usuário no lado esquerdo do visor, seguido imediatamente por um resultado no lado direito do visor. Os resultados mostrados acima mostram que as expressões simbólicas para ln(2), ex., o logaritmo natural de 2 e 5 , ex., a raiz quadrada de 5.
que inserir um número inteiro, ele é automaticamente transformado em um número real, conforme ilustrado a seguir: Sempre que a calculadora listar um valor inteiro seguindo por um ponto decimal, indica que o número inteiro foi convertido para uma representação real. Isto indicará que o número foi inserido enquanto o CAS foi definido para o modo APPROX. Recomenda-se que você selecione o modo EXACT como o modo CAS padrão e altere o modo para APPROX se solicitado pela calculadora ao fazer uma operação.
também mais lenta. Assim, recomendamos que você selecione o modo REAL como o modo padrão e altere o modo para COMPLEX se solicitado pela calculadora ao fazer uma operação. 2 2 O seguinte exemplo mostra o calculo do valor 5 − 8 usando o modo de operação Algebraic, primeiro com a opção Real CAS selecionada.
Modo CAS verbose e não verbose Quando a opção _Verbose CAS for selecionada, certos cálculos são fornecidos com as linhas de comentários no visor principal. Se a opção _Verbose CAS não for selecionada, então estas aplicações de cálculos não mostrarão as linhas de comentários. As linhas de comentários aparecerão momentaneamente nas linhas do topo do visor enquanto a operação estiver sendo calculada.
Assim, as etapas intermediárias mostradas representam os coeficientes do quociente e resíduos da divisão sintética etapa por etapa com seria feita manualmente, ex. − 3X 2 + 3X − 2 X 3 − 5X 2 + 3X − 2 2 =X + = X −2 X −2 X 2 − 3X + − 3X − 2 8 = X 2 − 3X − 3X − . X −2 X −2 Modo CAS - Aumento de potência Quando a opção _Incr pow CAS for marcada, os polinômios serão listados para que os termos sejam potências aumentando nas variável independente.
„Üx+3™Q5` No primeiro caso a opção _Incr pow foi selecionada, enquanto na segunda não foi selecionada. No primeiro exemplo, na notação RPN, é mostrado abaixo: A mesma seqüência de teclas foi usada para produzir cada um dos resultados: ³„Üx+3™Q5`µ Configuração CAS rigorosa Quando a opção _Rigorous CAS for selecionada, a expressão algébrica |X|, ex. O valor absoluto, não é simplificado para X. Se a opção _Rigorous CAS não for selecionada, a expressão algébrica |X| é simplificada para X.
Agora, verá uma lista de todos os comandos em ordem alfabética. Você pode usar a tecla com a seta para baixo, ˜, para navegar através da lista. Para mover para cima na lista use a tecla com a seta para cima, —. As teclas com as setas estão localizadas no lado direito do teclado entre a primeira e quarta linha de teclas.
A ajuda indica que o comando ou função, ATAN2S substitui o valor de atan(x), o arco-tangente de um valor x, pelo seu equivalente em termos da função asin (arcoseno), ex. A quarta e quinta linhas no visor fornecem um exemplo de aplicação da função ATAN2S. Linha quatro, a saber, ATAN2S(ATAN(X)), é a instrução de operação a ser feita, enquanto a linha cinco, a saber, ASIN(X/√(X^2+1)), é o padrão.
mostra o ECHO do comando de exemplo. Para ativar o comando, pressione a tecla `. O resultado é: Observe que, as novas linhas dos resultados são produzidas, o visor (ou pilha) pressiona as linhas existentes para cima e preenche o fundo do visor com mais resultados. A AJUDA, descrita nesta seção, será muito útil para mencionar a definição de diversos comandos CAS disponíveis na calculadora.
parte HP 00048-90126) e o Manual de Referência Avançado da HP 48G (nº da parte HP 00048-90136) ambos publicados pela Hewlett-Packard Company, Corvallis, Oregon, em 1993. Termos e condições do usuário final do CAS Uso do programa CAS exige que o usuário tenha um conhecimento adequado de matemática. Não existe acordo para o programa CAS, de acordo com o permitido pela lei aplicável.
Apêndice D Conjunto adicionais de caracteres Enquanto você pode usar qualquer letra inglesa maiúscula e minúscula do teclado, existem 255 caracteres disponíveis na calculadora. Incluindo os caracteres especiais θ, λ, etc., que podem ser usados nas expressões algébricas. Para acessar estes caracteres usamos a combinação de teclas …± (associadas com a tecla EVAL). Resultado é o seguinte visor: Usar as teclas com setas, š™˜—, podemos navegar através da coleção de caracteres.
~„d~…9 e o código é 240). O visor exibe também três funções associadas com as teclas, f4, f5 e f6. Estas funções são: @MODIF : @ECHO1 : @ECHO : Abre a visor de gráfico onde o usuário pode alterar o caractere ressaltado. Usar esta opção cuidadosamente, já que alterará o caractere até a próxima reinicialização da calculadora. (Imagine o efeito de alterar o formato do caractere 1 para parecer como um 2!).
A seguir, listamos algumas das combinações de teclas ~‚ mais comuns: Letras gregas α β δ ε θ λ µ ρ σ τ ω ∆ Π (alfa) (beta) (delta) (epsilon) (theta) (lâmbda) (mu) (rho) (sigma) (tau) (ômega) (delta maiúscula) (pi maiúscula) ~‚a ~‚b ~‚d ~‚e ~‚t ~‚n ~‚m ~‚f ~‚s ~‚u ~‚v ~‚c ~‚p Outros caracteres ~ ! ? \ @ (til) (fatorização) (interrogação) (barra a esquerda) (símbolo de ângulo) (arroba) ~‚1 ~‚2 ~‚3 ~‚5 ~‚6 ~‚` Alguns caracteres normalmente usados que não tem atalhos de teclado simples são: x (x barra
Apêndice E A árvore de seleção no Editor de Equação A árvore de expressão é um diagrama que mostra como o Editor de Equação interpreta uma expressão. A forma da árvore da expressão é determinada por um número de regras conhecidas como a hierarquia da operação. As normas são conforme a seguir: 1. As operações em parênteses são executadas primeiro, dos parênteses do interior para o exterior e da esquerda para a direita na expressão. 2. Argumentos de funções são executados a seguir, da esquerda para a direita.
que o cursor de edição esteja em volta do y no primeiro fator no denominador. Depois, pressione a tecla com a seta para cima para ativar o cursor de seleção ( ) em volta do y. Pressionado a tecla com a seta para cima, —, continuamente, podemos seguir a árvore de expressão que usará o y para a conclusão da expressão.
novamente. Depois, pressione a tecla com a seta à direita até que o cursor fique em cima do x no segundo termo no numerador. Depois, pressione a tecla com a seta acima para selecionar este x. As etapas na avaliação da expressão, começando deste ponto, são mostradas abaixo: Etapa B1 Etapa B2 Etapa B3 Etapa B4 = Etapa A5 Etapa B5 = Etapa A6 Podemos também seguir a avaliação da expressão começando de 4 no argumento da função SIN no denominador.
Etapa C1 Etapa C2 Etapa C3 Etapa C4 Etapa C5 = Etapa B5 = Etapa A6 A árvore da expressão para a expressão apresentada acima é mostrada a seguir: Página E-4
As etapas na avaliação dos três termos (A1 até A6, B1 até B5 e C1 até C5) são mostrados a seguir ao círculo contendo os números, variáveis ou operadores.
Apêndice F O menu aplicações (APPS) O menu aplicações (APPS) está disponível através da tecla G (primeira tecla na segunda linha do teclado). A tecla G mostra as seguintes aplicações: As diferentes aplicações são descritas a seguir. Funções Plotagens. Selecionar a opção 1. Plot functions.. no APPS produzirá a seguinte lista de menu de opções relacionadas com gráficos: As seis opções mostradas são equivalente a seqüência de teclas listas das abaixo: Entrada de equação… „ñ Visor do gráfico..
Funções I/O.. Selecionar a opção 2.I/O Plot functions.. no APPS produzirá a seguinte lista de menu de funções de entrada/saída: Estas diferentes aplicações são descritas a seguir. Envia para a HP 49.. Obtenha da HP 49 Imprime o display Imprime.. Transfere.. Inicia o servidor..
Solucionador numérico.. Selecionar a opção 3. Constants lib.. no menu APPS produz o menu de solucionador numérico: Esta operação é equivalente para a seqüência de teclas ‚Ï. O menu de solucionador numérico é apresentado em detalhes no capítulo 6 e 7. Hora e dia.. Selecionar a opção 5.Time & date.. no menu APPS produz o menu de hora e dia: Esta operação é equivalente para a seqüência de teclas ‚Ó. O menu de hora e dia é apresentado em detalhes no capítulo 26. Editor de Equação Selecionar a opção 6.
Esta operação é equivalente a seqüência de teclas ‚O. O Editor de Equação é introduzido em detalhes no capítulo 2. Exemplos do uso do Editor de Equação estão disponíveis neste manual. Gerenciado de arquivo.. Selecionar a opção 7.File manager.. no menu APPS lança o aplicativo de gerenciador de arquivo: Esta operação é equivalente à seqüência de teclas „¡.O gerenciado de arquivo é introduzido no capítulo 2. Matrix Writer Selecionar a opção 8.Matrix Writer..
Editor de texto.. Selecionar a opção 9.Text editor.. no menu APPS lança o aplicativo de editor de texto: O editor de texto pode ser iniciando em diversos casos pressionado a tecla coma a seta para baixo ˜. Se um objeto no visor for algébrico, pressionar ˜provavelmente iniciará o Editor de Equação. O editor de texto é introduzido no capítulo 2 e é apresentado em detalhes no apêndice L. Menu Matemática Selecionar a opção 10. menu Math..
Menu CAS.. Selecionar a opção 11. menu CAS.. no menu APPS produz o menu CAS simbólico : Esta operação é também disponível ao pressionar a tecla P. O menu CAS simbólico é introduzido no capítulo 5 (operações algébrica e aritmética). Outras funções do menu CAS são apresentadas no capítulo 4 (números complexos), 6 (soluções de equações), 10 (criação de matriz), 11 (operação com matriz), 13 (cálculos), 14 (cálculos multivariados) e 15 (análise vetorial).
Apêndice G Atalhos úteis Apresentando aqui um número de atalhos do teclado normalmente usados na calculadora: • Ajusta o contraste do visor: $ (manter) + ou $ (manter) - • Alterne entre RPN e ALG modalidades: H\@@@OK@@ ou H\`.
• Configura/limpa o sinalizador de sistema117 (menus CHOOSE boxes e SOFT) H @)FLAGS —„ —˜ @ @CHK@@ • No modo ALG, SF(-117) seleciona modo SOFT CF(-117) seleciona modo CHOOSE BOXES, • No modo RPN, 117 \` SF seleciona modo SOFT 117 \` CF seleciona modo SOFT • Altera a medida do ângulo: o Para grau: ~~deg` o Para radiano: ~~rad` • Caracteres especiais: o Símbolo do ângulo (∠): ~‚6 o Símbolo fatorial (!): ~‚2 o Símbolo de grau (o): ~‚(manter)6 • Bloqueia/desbloqueia o teclado alfa: o Bloqueia o teclad
• Operação de teste de sistema (manter $, libere-a depois de inserir as segunda e terceira teclas): o o o o o o o o • Menus não acessíveis através do teclado: No RPN, insira menu_número, digite MENU. No modo ALG , digite MENU(menu_número).
Apêndice H Listagens de mecanismo de ajuda CAS O mecanismo de ajuda CAS está acessível através da combinação de teclas: I L@HELP `. Os primeiros visores de ajuda são mostrados abaixo: Os comandos são listados em ordem alfabética. Usando as teclas com as setas verticais —˜ é possível navegar através da lista do mecanismo de ajuda. Algumas sugestões úteis sobre navegação são mostradas a seguir: • • • • Você pode manter a tecla com a seta ˜ e observar as apresentações e depois liberar a tecla.
necessário. Pressione @@OK@@ para ativar o comando. Por exemplo, para localizar o comando PROPFRAC, você pode usar a seguinte seqüência de teclas: I L@HELP ` ~~pr ~ ˜˜@@OK@@ I L@HELP ` ~~pro ~ ˜@@OK@@ I L@HELP ` ~~prop ~ @@OK@@ Consulte o apêndice C para obter mais informações sobre o CAS (Sistema algébrico do computador). O apêndice C inclui outros exemplos de programas do mecanismo de ajuda do CAS.
Apêndice I Lista de catálogo de comando Esta é uma lista de todos os comandos no catálogo de comando (‚N). Estes comandos que pertencem ao CAS (sistema algébrico do computador) são listados no apêndice H. As entradas do dispositivo de ajuda CAS estão disponíveis para um comando dado se a tecla @HELP mostra quando você ressalta este comando em particular. Pressione esta tecla para obter a entrada de dispositivo de ajuda CAS para o comando.
Apêndice J O menu MATHS O menu MATHS, acessível através do comando MATHS (disponível no catálogo N), contém os seguintes submenus: O submenu CMPLX O submenu CMPLX contém as funções referentes às operações com os números complexos: Estas funções são descritas no capítulo 4. O submenu CONSTANTS O submenu CONSTANTS fornece acesso para as constantes matemáticas da calculadora. Estas funções são descritas no capítulo 3.
O submenu HYPERBOLIC O submenu HYPERBOLIC contém as funções hiperbólicas e suas inversas. Estas funções são descritas no capítulo 3. O submenu INTEGER O submenu INTEGER fornece as funções para a manipulação de números inteiros e alguns polinômios. Estas funções são descritas no capítulo 5. O submenu MODULAR O submenu MODULAR fornece as funções para a aritmética modular com os números e polinômios. Estas funções são descritas no capítulo 5.
O submenu POLYNOMIAL O submenu POLYNOMIAL inclui as funções para a geração e manipulação de polinômios. Estas funções são descritas no capítulo 5. O submenu TESTS O submenu TESTS inclui os operadores (e.g., ==, <, etc.), operadores lógicos (ex. AND, OR, etc.), a função IFTE e os comandos ASSUME e UNASSUME. Os operadores relacionais e lógicos são apresentados no capítulo 21 no contexto de programação de calculadora na linguagem RPL do usuário. A função IFTE é introduzida no capítulo 3.
Apêndice K O menu MAIN O menu MAIN está disponível no catálogo de comando. Este menu inclui os seguintes submenus: Para o comando CASCFG Esta é a primeira entrada no menu MAIN e este comando configura o CAS. Para a informação de configuração CAS, consulte o apêndice C. O submenu ALGB O submenu ALGB inclui os seguintes comandos: Estas funções, exceto para 0.MAIN MENU e 11.UNASSIGN estão disponíveis no menu ALG (‚×). Explicações detalhadas destas funções são encontradas no capítulo 5.
O submenu DIFF O submenu DIFF contém as seguintes funções: Estas funções estão também disponíveis através do submenu CALC/DIFF (iniciar com „Ö). Estas funções estão descritas nos capítulos 13, 14 e 15, exceto para a função TRUNC, que é descrita depois de usar sua entrada do mecanismo de ajuda CAS: O submenu MATHS O menu MATHS é descrito em detalhe no apêndice J. O submenu TRIGO O submenu TRIGO contém as seguintes funções: Estas funções estão também disponíveis no menu TRIG (‚Ñ).
O submenu SOLVER O submenu SOLVER inclui as seguintes funções: Estas funções estão também disponíveis através do submenu CALC/SOLVE (iniciar com „Ö). As funções estão descritas no capítulo 6, 11 e 16. O submenu CMPLX O menu CMPLX inclui as seguintes funções: O menu CMPLX está também disponível no teclado (‚ß). Algumas das funções no CMPLX estão também disponíveis no menu COMPLEX (iniciar com „´). Estas funções numéricas complexas são apresentadas no capítulo 4.
Os submenus INTEGER, MODULAR e POLYNOMIAL são apresentados em detalhe no apêndice J. O submenu EXP&LN O submenu EXP&LN contém as seguintes funções: Este menu está também acessível através do teclado usando „Ð. As funções neste menu são apresentadas no capítulo 5. O submenu MATR O submenu MATR contém as seguintes funções: Estas funções estão também disponíveis através do menu MATRICES no teclado („Ø). As funções são descritas no capítulo 10 e 11.
Estas funções estão também disponíveis através do submenu CONVERT/REWRITE (iniciar com „Ú).
Apêndice L Comandos da linha de edição Ao disparar a linha de edição usando „˜ na pilha RPN ou no modo ALG, as seguintes funções são fornecidas (pressione L para consultar as funções residuais): As funções são rapidamente descritas conforme a seguir: SKIP: SKIP : DEL: DEL : DEL L: INS: Salta os caracteres até o início da palavra. Salta os caracteres até o final da palavra. Exclui os caracteres até o início da palavra. Exclui os caracteres até o final da palavra. Exclui os caracteres da linha.
Os itens mostrados neste visor são auto explicativos. Por exemplo, posições X e Y significa que a posição em uma linha (X) e o número de linha (Y). Stk Size significa o número de objetos no histórico de modo ALG ou na pilha RPN. Mem(KB) significa o espaço de memória livre. Clip Size é o número de caracteres na área de transferência. Clip Size é o número de caracteres na seleção COPY atual. EXEC: Executa o comando selecionado. HALT: Interrompe a execução de comando.
O submenu SEARCH As funções do submenu são SEARCH: Find : Use esta função para encontrar um segmento na linha de comando. O formulário de entrada com este comando é mostrado a seguir: Replace: Use este comando para encontrar e substituir um segmento. O formulário de entrada fornecido para este comando é: Find next..: Encontra o próximo padrão de busca conforme definido no Encontrar Replace Selection: substitui a seleção com o padrão de substituição definido com Substituir comando.
Goto Line: para mover para uma linha específica. O formulário de entrada fornecido com este comando é: Goto Position: Move para a posição desejada na linha de comando. O formulário de entrada fornecido para este comando é: Labels: Move para o símbolo desejado na linha de comando. O submenu Style O submenu Style inclui os seguintes estilos: BOL: ITALI: UNDE: INV: Negrito Itálicos Sublinhado Inverso O comando FONT permite que o usuário selecione a fonte para o editor de comando.
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Apêndice M Índice A A árvore de seleção no Editor de Equação, E-1 A construção CASE, 21-53 A distribuição beta, 17-7 A distribuição exponencial, 17-7 A distribuição gama, 17-7 A distribuição qui-quadrada, 17-12 A distribuição Weibull, 17-8 A equação de Cauchy ou Euler, 16-55 A função massa de probabilidade, 17-4 A variável VPAR, 12-47 A variável VX, 5-22 ABCUV, 5-11 ABS, 3-4,4-6,11-7 ACK, 25-4 ACKALL, 25-4 ACOS, 3-6 ACOSH, 3-9 ADD, 8-9,12-22 ADDTMOD, 5-12,5-16 AJUDA, 1-7 Ajustar o contraste do visor, 1-2 Aj
ASR, 19-7 Assim, GROBs, 22-33 ASSUME, J-3 Atalhos no menu PRG, 21-9 Atalhos, G-1 ATAN, 3-6 ATANH, 3-9 ATICK, 22-8 Atualmente sub-menus,13-1 Modo CAS - Aumento de potência, C-9 AUTO, 22-3 Autoteste contínuo, G-3 Autoteste interativo, G-3 Avaliação passo a passo, 13-17 AXES, 22-8,22-14 AXL, 9-26 AXM, 11-15 AXQ, 11-54 B B R, 19-3 Baterias, 1-1 BEG, 6-33 BIN, 3-2 Bloqueia/desbloqueia o teclado ALFA, G-2 BOL, L-4 BOX, 12-50 BOXZ, 12-53 Buscar, 5-4 C C PX, 19-7 C R, 4-6 CHOOSE boxes, 1-4 Calculadora, G-1 Calcu
Classificados, 21-15 CLKADJ, 25-3 CMD, 2-64 CMDS, 2-26 CNCT, 22-14 CNTR, 12-54 Coeficiente de correlação de amostra, 18-13 Coeficiente de correlação, 18-11 Coeficiente de variação, 18-5 COL-, 10-21 COL+, 10-21 COL , 10-20 Cola, 2-28 COLLECT, 5-5 Colocado, 1-15 Comando MAIN/CASCFG, K-1 Comandos da linha de edição, L-1 Comandos não CAS, C-13 COMB, 17-2 Combinações, 17-1 Tamanho, 2-37,5-20 CON, 10-9 Concatenação de segmento, 23-2 COND, 11-10 Condição de uma matriz, 11-9 Configuração, 10-27 Configuração CAS rig
Da plotagem além da própria, 22-40 Dados agrupados, 8-18 DARCY, 3-33 DATE+, 25-3 DBUG, 21-36 DDAYS, 25-3 De saídas marcadas 1-15 DEC, 19-2 Decompor listas, 8-2 Decompor um vetor, 9-12 Decomposição, 11-51 Decomposição de valor singular, 11-51 Decomposição de ciclo Jordan de uma matriz, 11-49 Decomposição, 11-50 DEFINE, 3-35 Definição da função, 3-37 DEFN, 12-19 DEG, 3-1 DEL L, L-1 DEL, 12-48 DEL , L-1 DELALARM, 25-5 DELKEYS, 20-6 Delta de Kronecker, 10-1 Depende, 18-23 DEPND, 22-6 Depurar os programas, 21-23
Distribuição normal padrão, 17-18, Distribuição normal pdf, 17-10 Distribuição normal, 17-9 Distribuição Poisson, 17-5 Distribuições contínuas para inferência estatística, 17-9 Distribuições de probabilidade contínua, 17-6 Distribuições de probabilidade relacionados para inferência DIV, 15-4 DIV2, 5-12 DIV2MOD, 5-12, 5-16 Divergência , 15-4 DIVIS, 5-10 Divisão sintética, 5-28, DIVMOD, 5-12, 5-16 Do solucionador numérico, 6-19, 6-26 DOERR, 21-67 DOLIST, 8-12 DOMÍNIO, 13-9 DOSUBS, 8-12 DOT, 9-11 DOT+, 12-48 D
Equações diferenciais, 16-1 Equações diferenciais, linear, 16-4 Equações diferenciais, não linear, 16-4 Equações diferenciais, série Fourier, 16-42, Equações diferenciais, soluções gráficas, 16-73 Equações diferenciais, soluções numéricas, 16-63 Equações diferenciais, 16-43 Equações diferenciasi, campos de inclinação, 16-3 Equações, sistemas lineares, 11-17 Editar, 2-9 Grade, 12-38, 12-40 Grasnde, 2-14 Ajuda, 2-12 Avaliar, 2-5 CMDS, 2-26 Cursosr, 2-12, Derivadas, 2-30 Fator, 2-16 Integrais, 2-30 Simplificar
Ferramentas de manipulação de unidades, 3-28 Ferramentas TIME, 25-2 FFT, 16-51 Final, 2-28 FINDALARM, 21-9 Fluxo, 7-6 Fómula de Euler, 4-1 Fonte do visor, 1-27 Formas quadráticas de matriz, 11-53 Formas QUADráticas, 11-54 Formato científico, 1-20 Formato engenharia, 1-21 Formatos fixos, 1-19 Formato numérico, 9-14 Formato padrão, 1-18 Formatos de gráficos, 12-1 Formulário de entrada CALCULATOR MODES, C-2 Formulários de entrada de dados, A-1 Formulário de entrada, 21-28 Formulários no menu NUM.
Gerar uma tabela de valores para uma função, 12-18 GET, 10-6 GETI, 8-11 GOR, 22-34 Goto Line, L-4 Gradiente, 15-1 Gráfico de ln(X), 12-9 Gráficos bidimensionais, 22-15 Gráficos de dispersão, 12-32 Gráficos de funções transcendentais, 12-8 Gráficos original, 12-26 Gráficos, 12-1 Grande, 12-20 Graus, 1-23 GRD, 3-1 GROB, 22-30 GROBADD, 12-56 GXOR, 22-35 H HADAMARD, 11-5 HALT, L-2 HEAD, 8-11 HERMITE, 5-12, 5-21 HESS, 15-1 HEX, 3-1, 19-2 HILBERT, 10-15 Histogramas de frequência, 12-2 Histogramas, 12-32 HMS-, 25
integrais duplas nas coordenadas polares, 14-10 Integrais duplas, 14-9 Integrais inadequadas, 13-21 Integrais múltiplas, 14-8 Integrais, 13-14 Integrais, 13-16 Iinterativas usando o menu PLOT, 22-16 Intervalos de confiança e teste de hipótese na regressa linear, 18-54 Intervalos de confiança para a variação, 18-35 Intervalos de confiança, 18-23 INTVX, 13-15 INV, 4-5, L-4 Inversa modular, 5-18 INVMOD, 5-12 IP, 3-14 IREMAINDER, 5-11 I-SECT, 12-7 ISOL, 6-1 ISOM, 11-56 ISPRIME? , 5-11 ITALI, L-4 J Jacobiana, 1
M MAD, 11-49 Mais próximo, 1-19 MANT, 3-14 MAP, 8-13 MARCA, 12-49 Marcar, 21-21 Marcas de classe, 8-19 Marcas, 21-20 MARK, 12-48 MATRIX, 10-4 Matriz aumentada, 11-32 Matriz de permutação, 11-35, 11-53 Matriz diagonal, 10-13 Matriz Hessian, 14-7 Matriz identidade, 10-1, 11-6 Matriz inversa, 11-6 Matriz triangular inferior, 11-51 Matriz triangular superior, 11-51 Matriz, 10-2 Matrizes ortogonais, 11-8 Matrizes, 11-41 MAX, 8-6, Máximo, 5-20,18-3,12-18 MAXR, 3-17, Mecanismo de ajuda CAS, C-10 Média geométrica,
Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu Menu MATHS, G-3, J-1 MATHS/ INTEGER, J-2 MATHS/CMPLX, J-1 MATHS/CONSTANTS, J-1 MATHS/HYPERBOLIC, J-2 MATHS/MODULAR, J-2 MATHS/POLYNOMIAL, J-3 MATHS/TESTS, J-3 MATRIX/MAKE, 10-4, MTH, 3-8 MTH/PROBABILITY, 17-1 MTH/VECTOR, 9-11 NORM, 11-6 OPER, 11-15 PLOT (menu 81), G-3 PLOT, 22-17 PRG, 21-5 PRG/MODES/KEYS, 20-6 PRG/MODES/MENU, 20-1 REW
Momento da força, 9-18 Mostra os parâmetros de lotagem, 22-17 MSGBOX, 21-31 MSLV, 7-5 MSOLVR, 7-13 MTRW, B-6 Multiplicação da matriz, 11-2 Multiplicação de vetor-matriz, 11-3 Multiplicação matriz-vetor, 11-4 MULTMOD, 5-16 N Nas variações, 18-27 NDIST, 17-10 NEG, 22-27 NEXTPRIME, 5-11 Norma Frobenius, 11-7 Normalmente, 11-8 NOT, 19-5 Notas adicionais sobre regressão linear, 18-52 NOVO, 2-41 NSUB, 21-8 NUM, 21-24 NUM.
Operador de concatenação, 21-1 Operadores lógicos, 21-46 Operadores relacionais, 21-45 Operadores, 21-45 OR, 19-5 Ordem,22-31 Organizar dados, 2-34 O subdiretórios, 2-36 OUT, 21-6 Outros caracteres, B-13 P PA2B2, 5-11 Para a calculadora, 3-32 Para construir, 6-17 Parte imaginária, 4-1 Parte real, 4-1 PARTFRAC, 5-12 Passo a passo de derivadas, 13-17 PCAR, 11-46 PCOEF, 5-12, 5-23 PDIM, 21-8 Percentuais, 18-15 PERÍODO, GL-2 PERM, 17-2 Permutações, 17-1 PEVAL, 5-25 PGDIR, 2-45 IP (X):, 3-14 PICT, 12-7 Pivot pa
POWMOD, 5-13 PPAR, 12-3, 12-11 Prefixos das unidades, 3-25 PREVAL, 13-16 PREVPRIME, 5-11 Primeira ordem, 14-3 Primeiro menu de gráficos, 12-21 PRIMIT, 2-37 Probabilidade, 17-1, 17-6 Produção de gráficos B-5 Produto escalar, 9-11 Produto vetorial, 9-2 Programa de texto de entrada, 21-27 Programa está uma caixa de mensagem, 21-39 Programa GROB, 22-36 Programa usando uma saída 21-39 Programação de calculadora, J-3 Programação modular, 22-38 Programação sequencial, 21-15 Programação usando as funções de desenho
RDZ, 17-1 RE, 4-6 REALASSUME, 2-37 RECT, 4-3 RECV, 2-35 REF, rref, RREF, 11-43 Referências de pixel, 19-7 Regra de cadeia, 13-6 Regras de cadeia de derivadas parcial, 14-1 REINICIAR, 22-30 Reinício “a frio”, G-3 Reinício “quente”, G-3 Reinício, G-3 Relações linearizadas, 18-12 RENAM, 2-35 REPL, 10-12 Representação cartesiana, 4-1 Representação diagonal de uma forma quadrática, 11-55 Representação polar, 4-3 RES, 22-7 RESIDUAL, 5-11, 11-25 RESOLVER, 6-1 RESOLVER, 6-2, 7-1 Resultante de forças, 9-17 RESULTANT
Série Fourier para uma onda triangular, 16-36 Série Fourier, 16-28 Série Maclaurin, 13-24 Série Taylor, 13-24 Série, 13-24 Series finitas, 16-57 Séries Maclaurin, 13-25 SI, 3-31 SIDENS, 3-33 SIGMA, 13-15 SIGMAVX, 13-15 SIGN, 3-14 SIGN, 4-6 SIGNTAB, 12-56, 13-10 Simbólico, C-4 Símbolo do ângulo (∠), G-2 Símbolo fatorial (!), G-2 SIMP2, 5-10, 5-26 Simplificar a configuração CAS na racional, C10, Simplificar uma expressão, 2-24 SIMPLIFICAR, 5-25 SIN, 3-7 Sinalizador de sistema105 (modo EXACT e APPROX CAS), G-1
STURMAB, 5-12 STWS, 19-4 SUB, 10-12 Sub-expressão, 2-16 Submenu DIFFE, 6-31 Submenu IFERR, 21-68 Submenu LIST, 8-10 Submenu SOLVR, 6-28 SUBST, 5-6 Substitui a seleção, L-3 Substituição de programa, 22-44 Substituir, L-3 SUBTMOD, 5-13, 5-16 Suficientemente rápido, 16-50 SVD, 11-51 SVL, 11-51 SYLVESTER, 11-54 SYST2MAT, 11-42, T Tabela, 12-18, 12-27 TABVAL, 12-56, 13-10 TABVAR, 12-56, 13-11 TAIL, 8-11 Tamanho da palavra, 19-4 Tamanho do cabeçalho, 1-30 TAN, 3-7 TANH, 3-9 TAYLR, 13-25 TAYLR0, 13-25 TCHEBYCHEFF
U UBASE, 3-23 UFACT, 3-28 Última pilha, 1-25 UNASSIGN, K-1 UNASSUME, J-3 UNDE, L-4 Unidade de pressão, 21-26 Unidade, 3-18 Unidades de base, 3-22 Unidades de força, 3-24 Unidades de massa, 3-18 Unidades disponíveis, 3-19 Unidades disponíveis, 3-19 Unidades do ângulo, 22-29 Unidades não listadas, 3-21 Usadas em plotagens, 12-30 Usar os formulários de entrada de dados, A-1 Usar uma caixa de mensagem, 21-39 Use o File Manager, 26-5 UTPC, 17-12 UTPF, 17-13 UTPN, 17-10 UTPT, 17-11 UVAL, 3-28 V V-->, 9-12 Valor,
YCOL, 22-13 YRNG, 22-6 YVOL, 22-10 YYRNG, 22-10 Z ZAUTO, 12-53 ZDECI, 12-54 ZDFLT, 12-53 ZEROS, 6-4 ZFACT, 12-52 ZFACTOR, 3-33 ZIN, 12-52 ZINTG, 12-54 ZLAST, 12-52 ZOOM, 12-20 ZOUT, 12-52 ZSQR, 12-54 ZTRIG, 12-54 ZVOL, 22-10 Outros caracteres %, 3-12 %CH, 3-12 %T, 3-12 Σ, 2-30, 16-32 ΣDATA, 18-19 ΣLIST, 8-9 ΣLIST, 8-9 ΣLIST, 8-9 ΣPAR, 22-14 ARRY, 9-6, 9-21 BEG, L-1 COL, 10-19 DATE, 25-3 DIAG, 10-13 END, L-1 GROB, 22-34 HMS, 25-3 LCD, 22-35 LIST, 9-20 ROW, 10-23 STK, 3-31 STR, 23-1 TAG, 21-3
Garantia Limitada calculadora gráfica hp 49g+; Duração da garantia: 12 meses 1. A HP garante ao usuário que a máquina, os acessórios e os equipamentos da HP estarão livre de defeitos de materiais ou mão-deobra após a data da compra, durante o período acima especificado. Se a HP for notificada da ocorrência de tais defeitos durante o período de garantia, a HP irá, por opção sua, consertar ou substituir produtos que estejam comprovadamente com defeito.
SATISFATÓRIA OU ADEQUAÇÃO A UM OBJETIVO PARTICULAR, ESTARÁ LIMITADA AO PERÍODO DE GARANTIA DETERMINADO ACIMA. Alguns países, estados ou províncias não permitem limitação da duração de uma garantia implícita, então a limitação ou exclusão acima talvez não se aplique a seu caso. Esta garantia lhe assegura direitos legais específicos e talvez você tenha outros direitos que variam de país para país, de estado para estado ou de província para província. 7.
Países da Europa Oriental Finlândia França Alemanha Grécia Holanda Itália Noruega Portugal Espanha Suécia Suíça Turquia Reino Unido República Tcheca África do Sul Luxemburgo Outros países europeus Ásia do Pacífico América Latina +420-5-41422523 +358-9640009 +33-1-49939006 +49-69-95307103 +420-5-41422523 +31-2-06545301 +39-02-75419782 +47-63849309 +351-229570200 +34-915-642095 +46-851992065 +41-1-4395358 (Alemão) +41-22-8278780 (Francês) +39-02-75419782 (Italiano) +420-5-41422523 +44-207-4580161 +420-5-41
Chile Colômbia Peru América Central e Caribe Guatemala Porto Rico Costa Rica América do Norte 800-360999 9-800-114726 0-800-10111 1-800-711-2884 1-800-999-5105 1-877-232-0589 0-800-011-0524 País: EUA Canadá Telefones: 1800-HP INVENT (905) 206-4663 or 800- HP INVENT ROTC = Restante do país Acesse http://www.hp.com para obter os útimos serviços e informações de suporte.
user is encouraged to try to correct the interference by one or more of the following measures: n Reorient or relocate the receiving antenna. n Relocate the calculator, with respect to the receiver. Connections to Peripheral Devices To maintain compliance with FCC rules and regulations, use only the cable accessories provided. Canada This Class B digital apparatus complies with Canadian ICES-003. Cet appareil numerique de la classe B est conforme a la norme NMB-003 du Canada.
