Instruction Manual

Página 14-5
dz/dt = (dy/dt)⋅(∂z/∂y) + (dx/dt)⋅(∂z/∂x).
El diferencial total de una función z = z(x,y)
De la ecuación pasada, si nos multiplicamos por despegue, conseguimos el
diferencial total de la función z = z(x, y), es decir, dz = (∂z/∂x)⋅dx +
(∂z/∂y)⋅dy.
Una versión diferente de la regla de la cadena se aplica al caso en el cual z
= f(x, y), x = x(u, v), y = y(u, v), tal que z = f[x(u, v), y(u, v) ]. Las fórmulas
siguientes representan la regla de la cadena para esta situación:
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
,
Determinación de extremos en funciones de dos variables
Para que la función z =f(x, y) tenga un punto extremo en (x
o
, y
o
), sus
derivadas ∂f/∂x y ∂f/∂y deben ser iguales a cero en ese punto. Éstas son
condiciones necesarias. Las condiciones suficientes para que la función
tenga un extremo en el punto (x
o
,y
o
) son ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0, y ∆ = (∂
2
f/∂x
2
)⋅
(∂
2
f/∂y
2
)-[∂
2
f/∂x∂y]
2
> 0. El punto (x
o
,y
o
) es un máximo relativo si ∂
2
f/∂x
2
< 0,
o un mínimo relativo si ∂
2
f/∂x
2
> 0. El valor ∆ se conoce como el discriminante.
Si ∆ = (∂
2
f/∂x
2
)⋅ (∂
2
f/∂y
2
)-[∂
2
f/∂x∂y]
2
< 0, tenemos una condición conocida
como punto de la montura, donde la función alcanza un máximo en x si
mantenemos y constante, mientras que, al mismo tiempo, alcanza un mínimo
x se mantiene constante, o viceversa.
Ejemplo 1 - Determínense los puntos extremos (si existen) de la función, f(X,Y)
= X
3
-3X-Y
2
+5. Primero, definimos la función, f(X,Y), y sus derivadas, fX(X,Y) =
∂f/∂X, fY(X,Y) = ∂f/∂Y. Resolviendo simultáneamente las ecuaciones fX(X,Y) =
0 y fY(X,Y) = 0, resulta en: