Handleiding voor de Grafische Rekenmachines Geschreven voor Wiskunde A, B, C en D op HAVO en VWO fx-CG20 fx-9860GII fx-9860G met OS 2.
1 1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g Het Run-Matrix MENU Eenvoudige berekeningen in het RUN MENU Omrekenen, (uren-min-sec, eenheden, dagen, binair) E notatie Absolute waarde Graden en radialen Kopiëren en plakken Riemann-sommen 2 2a 2b 2c 2d 2e 2f 2g 2h 2i 2j 2k 2l 2m Functievoorschriften Functies invoeren Grafieken plotten Zoom G-Solv Trace Y in het RUN MENU Functie met een parameter Tabellen van grafieken Hellingen Vergelijking raaklijn Integralen berekenen functies met integralen inverse functies 3 3a 3b 3c 3d 3e
5 5a 5b 5c 5d Rijen en recursie Rijen met directe formule Recursie Som van een rij Webgrafieken 6 6a 6b 6c 6d Parametervoorstelling en poolvoorstelling Parametervoorstelling Hellingen bij parametervoorstelling Poolvoorstelling Hellingen bij poolvoorstelling 7 Complexe getallen 8 8a 8b 8c 8d 8e 8f 8g 8h 8i 8j Extra Geheugen Significantie en laten afronden Een stelsel van vergelijkingen oplossen De abc- en abcd- enz.
Voorwoord De symbolen met een rechthoekje eromheen ( zoals e ) geven knoppen op de rekenmachine aan. In deze handleiding gaan we ervan uit dat je de fx-CG20, de fx-9860G II of de fx-9860G met Operating System 2.0 hebt. Op de CASIO-site www.casio-educatie.nl kun je Operating System 2.0 vinden. Daar staat ook een uitleg hoe je die moet instaleren.
Deel 1 Het Run-Matrix menu 1a Eenvoudige berekeningen in het Run-Matrix MENU Typ p Run-Martix 1 Typ 10 - 2 m 4 l De GR gebruikt de wiskundige volgorde bij berekeningen. Eerst vermenigvuldigen, dan aftrekken. Typ nu + 6 l Je krijgt Ans + 6 Bij het vorige antwoord (answer) wordt 6 opgeteld. Typ nu - 12 l en je krijgt -4 De - bij -4 is een kleiner minteken dan het minteken dat je voor de 12 intypte. De kleine min is voor “negatief”, de lange is voor “eraf”.
Je krijgt dan een extra rechthoekje om het getal 3 dat voor de breuk staat in te typen. Wat je NOOIT moet doen is met z een breuk maken, via de cursorpijlen ervoor gaan staan en dan het getal voor de breuk toevoegen. Kijk maar in de afbeelding hiernaast wat er dan gebeurt. Links-boven de verkeerd ingevoerde breuk, rechts het antwoord van de GR. Wortel zes en een kwart lukt alleen bij CG20 met SHIFT ab/c onder de wortel. Zie de eerste wortel onderaan de afbeelding.
Dagen tellen p Financial C =u DAYS=w Zet de cursor op d1 en dan de cursortoets $ Wil je 5 jan 1995 invullen, dan vul je bij M een 1 in, bij D een 5 en bij Y 1995 Daarna vul je bij d2 een datum in. Bij D vul je een aantal dagen in. PRD=q geeft het aantal dagen tussen d1 en d2, rekeninghoudend met schrikkeljaren. d1+D=w telt D dagen verder vanaf de datum van d1 d1-D=e telt D dagen terug vanaf de datum van d1 Van binaire getallen naar decimale getallen enz. Voorbeeld: 12 binair schrijven.
1e Graden en radialen Voor het veranderen van de instelling graden naar radialen of terug druk je op SET UP=L p en kies Angle. Met Rad stel je de GR in op radialen. Met Deg stel je de GR in op graden. 1f Kopiëren en plakken Alleen voor OS 2.0 In MENU GRAPH, TABLE , RECUR of EQUA werkt de Natural Display niet Wel kun je in MENU RUN een functie intypen in Natural Display, maar zonder l Typ CLIP=L 8 en CPY-L=q Open MENU GRAPH of TABLE of RECUR en zet de cursor achter een =teken.
Voorbeeld: Invoeren van functies Kies p Graph 5 Vul achter Y1 de formule x Sluit af met l Vul achter Y2 de formule 2 in x2 − 2 x 2 =f s 1 in 7 Je kunt ook het verschil van twee functies als nieuw voorschrift nemen: vul achter Y3 de formule Y1 – Y2 in. Als de cursor achter het = teken staat kun je met q de Y typen. Met DELETE=w kun je een voorschrift wissen, maar als je de cursor op een regel zet en direct gaat invoeren verdwijnt het vorige voorschrift ook.
2c Zoom Soms weet je niet goed wat een handige Ymin en Ymax instelling is bij een grafiek. Plot eerst de grafiek en typ dan Zoom=w AUTO=y De GR zoekt vanaf Xmin t/m max alle y-coördinaten af en neemt een V-Window met voor Ymin de kleinste en voor max de grootste y-waarde die hij tegen kwam. Vaak is dit handig, soms niet, dan verdwijnen wat bochten in de grafiek en krijg je er alleen maar een saai stuk links en rechts er voor terug.
2e Trace L q geeft een kruisje waarmee je over de grafiek kunt lopen (sturen met de cursorpijlen) Heb je meerdere grafieken dan kun je met cursor omhoog of omlaag van grafiek wisselen. Het is handig om een idee te krijgen van wat punten op de grafiek. Het is echter niet bruikbaar om speciale punten te zoeken, bijvoorbeeld een snijpunt. Trace huppelt daar zeer waarschijnlijk net overheen. Typ je een getal uit het domein in (dus vanaf Xmin t/m Xmax), dan kun je Trace precies op het bijbehorende punt zetten.
CG20 Een erg mooie manier om grafieken te onderzoek 2 Je kunt Y1=Ax +Bx+C intypen Als je plot met MODIFY =y kun je de letters via cursor naar rechts (of links) veranderen met de waarde van step. Of je typt direct de gewenste waarde in met erna l Je kunt maximaal 5 letters verschillende gebruiken. 2h Tabellen van grafieken In p Table 7 is het mogelijk om van een ingevoerd voorschrift een tabel te maken. Een voorschrift invoeren gaat net als bij grafieken. OS2.
2i Hellingen De gemiddelde helling van een grafiek tussen twee punten kun je in p Run-Martix 1 berekenen. Voer Y1= x 3 − 5 x in bij p Graph 5 of Table 7 Typ p Run-Martix 1 We willen de gemiddelde helling berekenen tussen x=4 en x=4,001 Maak eerst een breuk met z en vul dan alles in, zoals in de afbeelding hiernaast. Y1 krijg je met o GRPH=r Y=q en dan 1 De helling van een grafiek in een punt (bijvoorbeeld met x=4) kun je op meerdere manieren berekenen.
Bij OS 2.0 Knippen en plakken kan ook, net als bij grafieken, In p Run-Martix 1 in het tweede rechthoekje vul je nu X in, zie de tweede en derde afbeeldingen hiernaast. Dit moet je in p Graph 5 plakken achter Y1 en achter Y2 of Y3, zie de afbeeldingen hiernaast. 2j (vergelijking) raaklijn In p Graph 5 moet Derivative op On staan. Als dit nog niet zo is, doe dan SET UP=L p ga naar Derivative en kies On=q Plot de grafiek,bijvoorbeeld Y= ( 12 x )3 , waarbij je een raaklijn wilt zoeken.
2m inverse functies Het is ook mogelijk om in een functievoorschrift de x en y te y2 TYPE=e X=r Y=f s verwisselen. Dus bijvoorbeeld x= Typ p Graph 5 Plotten geeft een liggende parabool. Alleen Trace werkt bij deze grafiek. Van G-Solv doet geen enkele opdracht het.
3b Lijsten Typ p Statistics 2 Je komt dan in het invoerscherm van de lijsten. Hier staat List 1, List 2 enzovoort. De getallen links (onder SUB) zijn regelnummers en worden niet bij berekeningen gebruikt. Onder de eerste regel is plaats voor tekst, bijvoorbeeld “aantal” onder List 1 en “freq” onder List 2. Als je er getallen inzet, wordt daar natuurlijk niet mee gerekend. Hiernaast zie je een scherm waarin bij List 1 scores bij een repetitie zijn ingevuld. Bij List 2 zijn frequenties ingevuld.
3d Manipuleren met lijsten Je kunt lijst 1 als volgt kopiëren naar lijst 4: Zet de cursor op het woord List 4, dan i LIST=q List=q 1 l Wil je lijst 4 weer leegmaken, dan doe je d d u DEL-A=r Wil je lijst 4 vullen met lijst 1 vermenigvuldigd met lijst 2, zet de cursor op het woord List 4 en typ i LIST=q List=q1 m i LIST=q List=q 2 l Met i LIST=q List=q 1 s kun je een lijst, hier lijst 1, kwadrateren. Er zijn natuurlijk nog veel meer mogelijkheden. 3e Frequentiepolygoon, staafdiagram en boxplot enz.
Pie geeft een cirkeldiagram, Bar geeft van meerdere lijsten (maximaal 3) per regel de hoogtes weer in staafjes. In de bespreking hierboven hebben we steeds de te plotten grafiek gemaakt met GPH1. Daarmee ging steeds de vorige grafiek verloren. Er kunnen echter drie verschillende grafieken worden ingesteld. De eerste komt dan in GPH1, de tweede in GPH2 en de derde in GPH3. Let in dat geval wel op, dat je ook bij SET in de bovenste regel kiest voor de juiste grafiek.
Start nu het programma KLAS~IND via: p Program B cursor op KLAS~IND en dan l Volg de instructies, kies bij Start 0 en bij Width 0,1 Als “done” verschijnt kun je naar de lijsten gaan en zien wat er is gebeurd. 3h Normale verdeling Opgaven over de normale verdeling kunnen op 3 manieren gedaan worden. Normale verdeling 1 Alles via p Statistics 2 DIST=y NORM=q Ncd=w of InvN=e Bij Ncd vul je left, right, sigma en mu in en wordt de kans berekend.
Normale verdeling 3 Gebruik NormCD in p Run-Martix 1 Typ OPTN CALC=r SolveN =y en dan OPTN, STAT=y DIST=e NORM=q Ncd =w Het antwoord moet tussen de linker- en rechtergrens liggen. Zorg voor SolveN ( NormCD(left, right, sigma, mu)=kans, x, linkergrens, rechtergrens) Vul alles in, zet een X op de plaats die je moet berekenen. Het = teken typ je in met L . De X wordt meestal ook gevonden als je “ x, linkergrens, rechtergrens “ weglaat.
Kansen berekenen met p Run-Martix 1 We nemen weer als voorbeeld 60 keer een experiment met succeskans 2 3 P(X = 40) bereken je als volgt: OPTN, STAT=y DIST=e BINOMIAL=y Bpd=q vul verder in zoals in de eerste regel van de afbeelding hiernaast. Dus BinomialPD(X, numtrial, p) CG20 P(9 ≤ X ≤ 40) bereken je als volgt: OPTN, STAT=y DIST=e BINOMIAL=y Bcd=w Zorg nu voor BinomialCD(9,40,60, 2 3 ) zoals in de tweede regel van de afbeelding hierboven.
Met p LET OP: Table 7 neem je Y1 = BinomialCD(X,60, 2 3 ) Zoek in de tabel naar het antwoord 0,9 Net zo kun je het aantal experimenten bereken als het aantal successen bekend is omdat het antwoord een geheel getal moet zijn lukt deze opgave niet met p Run-Martix 1 en SolveN (BinomialCD(X,60, p 2 3 )=0.9) of met Graph 5 en dan plotten en intersect . 3j Hypergeometrische verdeling Je kunt met je GR bij een hypergeometrische verdeling kansen laten uitrekenen.
De vergelijking is y = ax + b met a=2 en b=4 Dus de vergelijking is y = 2x + 4 Typ nu GPRH=q SET=u 2 r is niet belangrijk op dit moment, maar r = 1 betekent dat de lijn precies door de gegeven punten gaat. Heb je drie punten ingevoerd, die niet op een rechte lijn liggen, dan vind je een zo goed mogelijk passende lijn, maar r2 ≠1 Je kunt bij drie punten ook voor X^2 kiezen, dan krijg je de vergelijking van de best passende parabool.
Je kunt matrices opslaan in het matrixgeheugen en ze een naam geven. Typ p Run-Martix 1 ►MAT=e Er verschijnt een lijst op het scherm. Als je een matrix wilt invoeren ga je met de cursor naar een letter en vervolgens met de cursor naar rechts. Je kunt nu de afmetingen van de matrix opgeven. Voor de afmetingen 2 × 3 typ je 2 l 3 l Als je na het laatste getal nog een keer op l drukt verschijnt de matrix en kun je alle elementen invoeren. 1 2 − 3 in.
Zie voor het invoeren 4a Je berekent C x D als volgt: Typ i MAT=w Mat=q a C m Mat q aDl In plaats van i MAT=w Mat=q kun je ook typen L2 Alleen als de antwoordmatrix te groot is verschijnt er een Ans-scherm, dit verlaat je met d Het is verstandig om de cursor op de getallen te zetten en rechts onderin af te lezen. De getallen die niet in de matrix passen worden afgekapt, NIET AFGEROND.
4g Met matrices een stelsel vergelijkingen op lossen Matrices worden ook gebruikt bij het oplossen van een stelsel vergelijkingen. De belangrijkste techniek is het vegen van matrices. 2 − 1 3 19 Voer eerst in de matrix F = 1 1 − 5 − 21 0 4 3 0 Met Ref Mat F wordt matrix F in de rij echelon vorm omgezet. p Run-Martix 1 i MAT=w ►=u Ref=r ►=u Mat=q a F Met Rref Mat F wordt matrix F in de gereduceerde rij echelon vorm omgezet.
De n vind je met CATALOG=L4 Nu de letter N =8 in typen. Dat gaat veel sneller dan met de cursor naar de n lopen. Kies voor n(RECUR). Alleen als die er niet is, kies je voor n(STAT) Typ een keer, of twee keer, d en je bent weer bij het invoerscherm terug. 5b Recursie Je kunt in de GR van een rij een recursievergelijking invoeren. Typ p Recursion 8 Typ eventueel een keer, of twee keer, d om het invoerscherm te krijgen. Typ TYPE=e an+1 =w Je kunt nu een formule invoeren.
Bij OS 2.0 Knippen en plakken kan ook, zie 5a Door op SET=y te drukken krijg je het invoerscherm voor de start- en eindwaarde van n. De startwaarde voor je webgrafiek voer je in achter anStr Meestal neem je hiervoor dezelfde waarde als bij a0 of a1 (de waarden die bij b en c staan zijn niet belangrijk voor de grafiek) Druk op l of TABL=u en kijk naar de uitkomsten, voor je een V-Window kiest. Bij een webgrafiek kies je de x en y instellingen altijd hetzelfde.
6b Hellingen bij parametervoorstellingen Om de hellingen te kunnen aflezen zet je in SETUP=L p de optie Derivative op On. Via Trace=q krijg je behalve de coördinaten ook de hellingen. Maar het leest niet erg eenvoudig af, zie tweede afbeelding. Je kunt ook een tabel laten maken door p Table 7 te kiezen. Type moet dan op Param staan en niet op Y= Je ziet in die tabel bij elk waarde van T achtereenvolgens de waarden van x en y en de waarden van de afgeleide dx , dt dy dy en de helling .
De pitch –waarde typ je in als π : 50 Neem je Xmin = -100 en max = 100, Ymin = -100 en Ymax = 100, θmin = 0 en max = 100 en ptch = 0,1 dan is de grafiek completer, maar is het geen spin meer. 6d Hellingen bij poolvoorstellingen Om de hellingen te kunnen aflezen zet je in SETUP=L p de optie Derivative op On. Via Trace=q krijg je de waarde van θ, van r en de hellingen, bij het kruisje kun je de waarden van x en y aflezen. Maar het leest niet erg eenvoudig af als de grafiek door de getallen loopt.
Deel 8 Extra’s 8a Geheugen Geheugens kun je vullen in p Q Een geheugens vul je als volgt: Als je 2 in geheugen A en 3 in geheugen B wilt zetten, typ je 2 b a A=f l en 3 b a B=g l (De pijl is de toets boven de AC/on knop) Met deze geheugens kun je gewoon rekenen, zie de afbeelding hiernaast. In plaats van A kun je ook andere letters gebruiken. De geheugens X, Y en T veranderen als je een grafiek plot en daarna een punt op de grafiek zoekt.
Je kunt ook getallen laten afronden op 3 decimalen. Typ dan SET UP= L p Dan kun je bij Display de instelling veranderen in Fix=q en kies dan 3. Zie hiernaast de eerste berekening. Je kunt alleen de antwoorden laten afronden, maar er wordt met het onafgeronde antwoord doorgerekend. Zie de derde berekening. Het antwoord is 2.
Het antwoord staat in een tabel, maar als je er met de cursor op gaat staan, zie je rechts onderin, als dat kan, het antwoord als breuk. De eerste twee afbeeldingen horen bij de vergelijking 2x 2 + 5x + 2 = 0 De derde afbeeldingen hoort bij de vergelijking 2x 2 + 6x + 2 = 0 8e De solver Typ p Equation A en kies Solver=e Bij de Solver kun je vergelijkingen intypen, ( x + 3)( x + 2) = 4 − x 2 Het = teken typ je in met L . Kies op de regel eronder voor de x de waarde 0 Na l wordt een oplossing gezocht.
Let op: soms krijg je de foutmelding Time Out Press: [EXIT] Er volgt daarna wel een x-waarde, zoals in de afbeelding hiernaast, maar links en rechts zijn verschillend en rechts onderaan staat Retry Je kunt heel eenvoudig weer op l drukken, dat lukt soms, maar deze keer blijf je bezig en vind je nooit het antwoord. Geef een nieuwe startwaarde voor het zoeken naar x op. 100 of 1000 zijn goede mogelijkheden. Ook kun je in p Run-Martix 1 een Solver gebruiken, maar daar kun je alleen met de letter x werken.
8g Grafiek met domein plotten In p Graph 5 kun je achter een voorschrift een domein opgeven. Zie afbeelding hiernaast. Met L menn kun je de haken typen. Je kunt in deze grafiek niet gebruiken in p Run-Martix 1 of p I 8h Extra grafieken geheugens In p Graph 5 of p Table 7 kun je 20 voorschriften opslaan. Maar er is ook de mogelijkheid om een aantal grafieken, met hun instellingen voor V-Window en assen op te slaan. Dit kan 20 keer.
Deel 9 e-Activity’s e-Activity’s maken en gebruiken gaat via p eActivity 3 Het grote geheugen van 1,5 MB wordt hiervoor gebruikt. e-Activity’s zijn teksten, of vooraf ingetypte functies, berekeningen, lijsten of matrices. 9860G(II) LET OP, als je een bestand delete is zijn geheugenplaats voorlopig onbruikbaar, zo raakt het geheugen vol. Wil je geheugenruimte vrij maken, sla dan eerst je bestanden op de computer op (zie hieronder).
