Operation Manual

20050501
7-11-1
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
7-11 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Es gibt eine Vielzahl verschiedenartigster Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unter denen die
wohl bekannteste die Normalverteilung ist, die für statistische und wahrscheinlichkeits-
theoretische Berechnungen verwendet wird.
Die Normalverteilung ist eine stetige und symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung um den
Mittelwertparameter µ , d.h. bei einer statistischen Datenerhebung in einer normalverteilten
Grundgesamtheit werden Daten in unmittelbarer Umgebung von µ häufiger und weiter links
oder rechts von µ liegende Zahlenwerte seltener in der Stichprobe vorkommen. Dabei spielt
als zweiter Parameter die Standardabweichung σ eine wichtige Rolle.
Die Poisson-Verteilung, die geometrische Verteilung und andere diskrete Wahrscheinlich-
keitsverteilungen finden ebenfalls häufig Anwendung bei stochastischen Betrachtungen. Welche
Wahrscheinlichkeitsverteilung als wahrscheinlichkeitstheoretisches Datenmodell zur Anwendung
kommen wird, ist oftmals von der praktischen Fragestellung abhängig.
Ist das wahrscheinlichkeitstheoretische Datenmodell für X (die Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Grundgesamtheit X oder der Zufallsgröße X ) bekannt, können Sie z.B. Intervallwahr-
scheinlichkeiten P( X[a, b] ) = P(a ≤ X ≤ b), P( X(-
∞
, b] ) = P(X ≤ b) oder P( X[a,
∞
) )
= P(X ≥ a) usw. berechnen.
Nachfolgend ist eine Liste zweier stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen aufgeführt (Normal-
verteilung und t-Verteilung), die neben der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auch die Ver-
teilungsfunktion (Intervallwahrscheinlichkeiten) und die Umkehrfunktion (Quantilberechnung)
beschreibt.
Zusätzlich zu den obigen Verteilungen bietet der ClassPad auch Informationen über die
χ
2
-Verteilung, die F-Verteilung, die Binomialverteilung, die Poisson’sche Verteilung und die
geometrische Verteilung. Die dafür zu verwendenden Befehle sind im folgenden Abschnitt
beschrieben.
Normalverteilungs-
dichtefunktion
Beschreibung
Bezeichnung
Berechnet für einen vorgegebenen
x -Wert die Wahrscheinlich-
keitsdichte einer Normalverteilung an der Stelle
x .
Intervallwahrscheinlichkeit
einer Normalverteilung
(Verteilungsfunktion)
Berechnet für zwei vorgegebene
x -Werte x = a und x = b die im
Intervall [
a , b ] vorhandene Wahrscheinlichkeit, die als schraffierte
Fläche unter der Gauß’schen Glockenkurve darstellbar ist.
Umkehrfunktion der
Verteilungsfunktion einer
Normalverteilung (Quantile)
Berechnet für eine vorgegebene Intervallwahrscheinlichkeit
γ die
die rechte Intervallgrenze
x γ , wenn die linke Intervallgrenze als - ∞
vorgegeben ist. Diese Zahl x γ , wird auch als Quantil bezeichnet.
Intervallgrenzen für symmetrisch um den Mittelwert liegende oder
bis +
∞ gehende Intervalle können auch berechnet werden.
Student’sche
t -Verteilungsdichtefunktion
Berechnet für einen vorgegebenen
x -Wert die Wahrscheinlich-
keitsdichte einer Student’schen
t -Verteilung an der Stelle x .
Berechnet für zwei vorgegebene
x -Werte x = a und x = b die im
Intervall [
a , b ] vorhandene Wahrscheinlichkeit, die als schraffierte
Fläche unter der Student’schen
t -Dichtefunktion darstellbar ist.
Umkehrfunktion der
Verteilungsfunktion einer
Student’schen
t -Verteilung
Intervallwahrscheinlichkeit
einer Student
’ schen t -Verteilung
(Verteilungsfunktion)
Die Umkehrfunktion der Student’schen Verteilungsfunktion hat keinen
eigenen Berechnungsbefehl. Jedoch kann für eine vorgegebene Inter-
vallwahrscheinlichkeit das entsprechende Quantil als fiktive Vertrauens-
intervallgrenze erhalten werden.