Operation Manual
20050501
k χ
2
-Test
χ
2
-Test (χ
2
-Homogenitäts- und χ
2
-Unabhängigkeitstest)
Befehl: ChiTest 䡺
Beschreibung: Der χ
2
-Test untersucht Homogenitäts- und Unabhängigkeitshypothesen mit
Hilfe von Kontingenztafeln, die im Zusammenhang mit den festgestellten
Häufigkeiten
x
ij
bei
k
bzw.
l
Merkmalsausprägungen bestehen. Der χ
2
-Test
wird insbesondere für dichotome Variablen (Variable mit zwei möglichen
Werten, wie Ja / Nein) verwendet, d.h.
k
=
l
= 2 (Vierfeldertafel).
Erwartete Häufigkeiten n : Gesamthäufigkeit
(im Fall der Unabhängigkeit (Summe aller
x
ij
)
bzw. Homogenität):
Testgröße, χ
2
-verteilt mit
(
k
-1)(
l
-1) Freiheitsgraden:
Befehlssyntax
Beobachtete Matrix
Definition der Parameter des Befehls ChiTest
Beobachtete Matrix: Name der Matrix, welche die beobachteten Häufigkeiten
enthält (alles positive ganze Zahlen)
Eingabebeispiel
ChiTest matrixa
Berechnungsergebnis-Ausgabe
χ
2
: berechnete
χ
2
-Testgröße ( df = (
k
-1)(
l
-1) Freiheitsgrade)
p : p-Wert (kritische Irrtumswahrscheinlichkeit)
df : Freiheitsgrade ( df = (
k
-1)(
l
-1) )
Tipp
• Die Minimalgröße der Matrix beträgt 2 × 2. Es kommt zu einem Fehler, wenn die Matrix nur eine
Zeile oder nur eine Spalte aufweist.
• Das Ergebnis der Berechnung der erwarteten Häufigkeiten (unter der Nullhypothes, z.B. Unab-
hängigkeit) wird in der mit „Expected“ benannten Systemvariablen gespeichert.
Ein fiktives Beispiel:
Die Komponenten des Zufallsvektors (X,Y) entstammen aus zwei dichotomen Grundgesamt-
heiten X und Y . Eine Stichprobenerhebung ergab die folgende Kontingenztafel: matrixa = [ [
h
11
,
h
1 2
] [
h
21
,
h
22
] ]
, d.h. k = 2, l = 2.
Zu untersuchen ist die Unabhängigkeit der beobachteten
Merkmale
X
und
Y
. Zu berechnen und unter Expected abzuspeichern ist die Matrix
[ [
F
11
,
F
1 2
]
[
F
21
,
F
22
] ].
Weiterhin sind
die Testgröße χ
2
(unter der Nullhypothese H
o
: P(
(X,Y)
=
(x
i
,y
j
)
) =
P(
X
=
x
i
) P(
Y
=
y
j
) für alle Indexpaare, H
A
: ... nicht für alle Indexpaare) und die
kritische Irr-
tumswahrscheinlichkeit p zu bestimmen. Kann die Nullhypothese auf Grundlage der vorliegen-
den Vierfeldertafel abgelehnt werden (Irrtumswahrscheinlichkeit
α
= 0.10) ?
(Antwort im Fall p≥
α
: Nein, keine Ablehnung von
H
o
wegen p≥
α
, d.h. es kann also davon
ausgegangen werden, dass es sich um unabhängige Merkmale handeln könnte.)
7-9-10
Tests
F
ij
=
Σ
x
ij
i=1
k
×
Σ
x
ij
j=1
ΣΣ
i=1
k
j=1
x
ij
χ
2
=
ΣΣ
F
ij
i=1
k
(xij – Fij)
2
j=1