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Kapitel 2: Main-Menü 69
Beispiel: Lösen einer Differenzialgleichung
x’ + 2x = e
−
t
, wo x(0) = 3 unter
Verwendung der Laplace-Transformation
Lp ist
F(s) = L[ f ( t)] im Ergebnis der Transformation für eine
Differenzialgleichung.
u fourier [Action][Advanced][fourier], invFourier [Action][Advanced][invFourier]
Funktion: „fourier“ ist der Befehl für die Fourier-Transformation, und „invFourier“ ist der Befehl für die inverse
Fourier-Transformation.
Syntax: fourier(
f ( x), x, w, n) invFourier(F ( w), w, x, n)
x: Variable, bezüglich der der Term transformiert wird; w: Parameter der Transformation; n: 0 bis 4,
bezeichnet den zu verwendenden Fourier-Parameter (optional)
Der ClassPad unterstützt die Transformation der folgenden Funktionen.
sin(t), cos(t), log(t), ln(t), abs(t), signum(t), heaviside(t), delta(t), delta(t,n), e
ti
Der ClassPad unterstützt nicht die Transformation der folgenden Funktionen.
tan(t), sin
– 1
(t), cos
– 1
(t), tan
– 1
(t), sinh(t), cosh(t), tanh(t), sinh
– 1
(t), cosh
– 1
(t), tanh
– 1
(t), gamma(t), 't , e
t
Die Fourier-Transformation ist wie folgt definiert:
∫
∞
–∞
()
2π
() =
∫
∞
–∞
()
–2π
() =
Manche Autoren (insbesondere Physiker) ziehen es vor, die Transformation mit der Winkelfrequenz ω ≡ 2π
anstatt mit der Schwingungsfrequenz darzustellen.
Dies zerstört allerdings die Symmetrie der Formeln und wird im nachstehenden Transformationspaar
beschrieben.
∫
∞
–∞
()
–ω
(ω) = [()] =
∫
∞
–∞
(ω)
ω
ω
() =
–1
[(ω)] =
1
2
π
Um die Symmetrie der Transformation wiederherzustellen, wird manchmal die nachstehende Definition
verwendet.
∫
∞
–∞
()
–
() = [ ()] =
1
2
π
∫
∞
–∞
()
() =
–1
[()] =
1
2
π
Die Fourier-Transformationspaare werden mit zwei willkürlichen Konstanten a und b definiert, wie unten
dargestellt.
∫
∞
–∞
()
ω
(ω) =
⏐
⏐
(2
π)
1–
∫
∞
–∞
(ω)
–ω
ω
() =
⏐
⏐
(2
π)
1+
Die Werte von a und b sind durch das Wissenschaftsgebiet bestimmt, in dem die Fourier-Transformation zur
Anwendung kommen soll. Dazu dient der Wert von n (optionaler vierter Parameter für Fourier und invFourier
zur Festlegung der gewünschten Variante der Fourier-Transformation), der wie folgt vorgegeben werden
kann.
Es sind eine ganze Reihe von Varianten der schnellen Fouriertransformation in Gebrauch. Mit den
Parametern
a und b wird diesem Umstand Rechnung getragen. Beispielsweise wird (0, 1) in der modernen
Physik benutzt, (1, –1) wird in der reinen Mathematik benutzt, (1, 1) wird in der Stochastik für die Berechnung
der charakteristischen Funktionen benutzt, (–1, 1) wird in der klassischen Physik benutzt, und (0, –2π) wird in
der Signalverarbeitung benutzt.