Operation Manual

20010901
1-4 Wahrscheinlichkeitsverteilungen (DIST)
Es gibt eine Vielzahl verschiedenartigster Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unter denen die
wohl bekannteste die Normalverteilung ist, die für statistische und wahrscheinlichkeits-
theoretische Berechnungen verwendet wird. Die Normalverteilung ist eine stetige und symmetri-
sche Verteilung um den Mittelwertparameter µ , d.h. bei einer statistischen Datenerhebung in
einer normalverteilten Grundgesamtheit werden Daten in unmittelbarer Umgebung von µ
häufiger und weiter links oder rechts von µ liegende Zahlenwerte seltener in der Stichprobe
vorkommen. Dabei spielt als zweiter Parameter die Standardabweichung σ eine wichtige Rolle.
Die Poission-Verteilung, die geometrische Verteilung und andere diskrete Wahrscheinlich-
keitsverteilungen finden ebenfalls häufig Anwendung bei stochastischen Betrachtungen. Welche
Wahrscheinlichkeitsverteilung als wahrscheinlichkeitstheoretisches Datenmodell zur Anwendung
kommen wird, ist oftmals von der praktischen Fragestellung abhängig.
Ist das wahrscheinlichkeitstheoretische Datenmodell für X (die Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Grundgesamtheit X oder der Zufallsgröße X ) bekannt, können Sie z.B. Intervallwahr-
scheinlichkeiten P( X苸[a, b] ) = P(a ≤ X ≤ b), P( X苸(-
∞
, b] ) = P(X ≤ b) oder P( X苸[a,
∞
) )
= P(X ≥ a) usw. berechnen.
So kann zum Beispiel die Verteilungsfunktion verwendet werden, um den Qualitätsanteil bei
der (Massen-)Produktion eines bestimmten Erzeugnisses zu berechnen, indem ein Qualitäts-
merkmal X betrachtet wird. Sobald ein x-Intervall (Wertebereich für X) als Kriterium vorgegeben
ist, können Sie die Normalverteilungswahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die
betrachtete Produktionskennziffer X genau in diesem x-Intervall liegen wird. D.h., Sie berechnen
den Prozentsatz dafür, dass ein vorgegebenes Kriterium erfüllt wird.
Andererseits kann z.B. eine unbekannte Ausschußrate q als Null-Hypothese (zum Beispiel q =
q
o
=10%) in einer dichotomen Grundgesamtheit Y angesetzt und dann mithilfe einer
normalverteilten Testgröße Z untersucht werden, um zu entscheiden, ob (mit einer gewissen
Irrtumswahrscheinlichkeit α) die Null-Hypothese zugunsten einer Alternativhypothese abgelehnt
werden muß.
Weiterhin spielt die Normalverteilung in Form ihrer Umkehrfunktion (Quantile der N(0,1)-
Verteilung) eine wichtige Rolle zur Berechnung der Intervallgrenzen von Vertrauensintervallen
z.B. für den Qualitätsanteil (Erfolgsquote p) innerhalb einer dichotomen Grundgesamtheit Y.
Mithilfe der Normalverteilungsdichte(-funktion) kann für einen vorgegebenen x-Wert die
Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung an der Stelle x berechnet werden.
Mithilfe der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung können unkompliziert Intervallwahr-
scheinlichkeiten der Form P( X苸[a, b] ) = P(a ≤ X ≤ b) für eine Normalverteilung berechnet
werden. Intervallwahrscheinlichkeiten können als schraffierte Fläche unter der (Gaußschen)
Glockenkurve grafisch veranschaulicht werden.
Mithilfe der Umkehrfunktion der (Normal-)Verteilungsfunktion kann schließlich für eine
vorgegebene Intervallwahrscheinlichkeit γ = P( X苸(-
∞
, x
γ
] ) = P( X ≤ x
γ
) die Intervallgrenze
x
γ
(Quantil der Ordnung γ) berechnet werden.
Mithilfe der Studentschen t-Verteilungsdichte(-funktion) kann für einen vorgegebenen x-
Wert die Wahrscheinlichkeitsdichte der t-Verteilung an der Stelle x berechnet werden.
Mithilfe der Verteilungsfunktion einer Student-Verteilung (t-Verteilung) können unkompliziert
Intervallwahrscheinlichkeiten der Form P( X苸[a, b] ) = P( a ≤ X ≤ b ) für eine t-Verteilung
berechnet werden. Als Parameter der t-Verteilung sind deren Freiheitsgrade zu beachten.
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Wahrscheinlichkeitsverteilungen (DIST)